MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qustgplem Structured version   Unicode version

Theorem qustgplem 21127
Description: Lemma for qustgp 21128. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qustgp.h  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
qustgpopn.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
qustgpopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
qustgpopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
qustgpopn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
qustgplem.m  |-  .-  =  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  [ ( z (
-g `  G )
w ) ] ( G ~QG  Y ) )
Assertion
Ref Expression
qustgplem  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  e.  TopGrp )
Distinct variable groups:    x, w, z, G    w, J, x, z    w, F, z   
w, X, x, z   
w, H, x, z   
w, K, x, z   
w, Y, x, z
Allowed substitution hints:    F( x)    .- ( x, z, w)

Proof of Theorem qustgplem
Dummy variables  t 
b  a  c  d  p  q  r  s  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qustgp.h . . . 4  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
21qusgrp 16865 . . 3  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )
32adantl 468 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  e.  Grp )
41a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y ) ) )
5 qustgpopn.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  X  =  ( Base `  G )
)
7 qustgpopn.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
8 ovex 6331 . . . . . . . 8  |-  ( G ~QG  Y )  e.  _V
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( G ~QG  Y
)  e.  _V )
10 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  G  e.  TopGrp )
114, 6, 7, 9, 10qusval 15441 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  =  ( F  "s  G ) )
124, 6, 7, 9, 10quslem 15442 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
13 qustgpopn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
14 qustgpopn.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
1511, 6, 12, 10, 13, 14imastopn 20727 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  K  =  ( J qTop  F )
)
1613, 5tgptopon 21089 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1716adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
18 qtoptopon 20711 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  ->  ( J qTop  F
)  e.  (TopOn `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) ) )
1917, 12, 18syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) ) )
2015, 19eqeltrd 2511 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  K  e.  (TopOn `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) ) )
214, 6, 9, 10qusbas 15444 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  =  ( Base `  H
) )
2221fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  (TopOn `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  =  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )
2320, 22eleqtrd 2513 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )
24 eqid 2423 . . . 4  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
2524, 14istps 19943 . . 3  |-  ( H  e.  TopSp 
<->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H )
) )
2623, 25sylibr 216 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  e.  TopSp
)
27 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( -g `  H )  =  (
-g `  H )
2824, 27grpsubf 16726 . . . 4  |-  ( H  e.  Grp  ->  ( -g `  H ) : ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) --> (
Base `  H )
)
293, 28syl 17 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( -g `  H ) : ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) --> (
Base `  H )
)
30 cnvimass 5205 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( -g `  H
) " u ) 
C_  dom  ( -g `  H )
31 fdm 5748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-g `  H ) : ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) ) --> ( Base `  H
)  ->  dom  ( -g `  H )  =  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) )
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  dom  ( -g `  H )  =  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) )
3332adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  dom  ( -g `  H )  =  ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) ) )
3430, 33syl5sseq 3513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( -g `  H
) " u ) 
C_  ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) ) )
35 relxp 4959 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )
36 relss 4939 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( -g `  H
) " u ) 
C_  ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) )  ->  ( Rel  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  ->  Rel  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
3734, 35, 36mpisyl 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  Rel  ( `' ( -g `  H
) " u ) )
3834sseld 3464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  ->  <. x ,  y >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) ) ) )
39 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
4039elqs 7422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  <->  E. a  e.  X  x  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
4121adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  =  ( Base `  H ) )
4241eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  (
x  e.  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  <->  x  e.  ( Base `  H ) ) )
4340, 42syl5bbr 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. a  e.  X  x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  <-> 
x  e.  ( Base `  H ) ) )
44 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
4544elqs 7422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  <->  E. b  e.  X  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )
4641eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  (
y  e.  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  <->  y  e.  (
Base `  H )
) )
4745, 46syl5bbr 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. b  e.  X  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y )  <-> 
y  e.  ( Base `  H ) ) )
4843, 47anbi12d 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  (
( E. a  e.  X  x  =  [
a ] ( G ~QG  Y )  /\  E. b  e.  X  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  y  e.  ( Base `  H )
) ) )
49 reeanv 2997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  X  E. b  e.  X  (
x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  <->  ( E. a  e.  X  x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  E. b  e.  X  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) ) )
50 opelxp 4881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  y  e.  ( Base `  H )
) )
5148, 49, 503bitr4g 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( x  =  [
a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) ) ) )
523ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  H  e.  Grp )
5352, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( -g `  H ) : ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) --> (
Base `  H )
)
54 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-g `  H ) : ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) ) --> ( Base `  H
)  ->  ( -g `  H )  Fn  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) ) )
55 elpreima 6015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-g `  H )  Fn  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) )  -> 
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  <-> 
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  /\  (
( -g `  H ) `
 <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u
) ) )
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  <-> 
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  /\  (
( -g `  H ) `
 <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u
) ) )
57 df-ov 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [ a ] ( G ~QG  Y ) ( -g `  H
) [ b ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( ( -g `  H
) `  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >. )
58 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)
59 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  a  e.  X )
60 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  b  e.  X )
61 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
621, 5, 61, 27qussub 16870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( [
a ] ( G ~QG  Y ) ( -g `  H
) [ b ] ( G ~QG  Y ) )  =  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y ) )
6358, 59, 60, 62syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( [ a ] ( G ~QG  Y ) ( -g `  H ) [ b ] ( G ~QG  Y ) )  =  [ ( a ( -g `  G
) b ) ] ( G ~QG  Y ) )
6457, 63syl5eqr 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( -g `  H ) `
 <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >. )  =  [
( a ( -g `  G ) b ) ] ( G ~QG  Y ) )
6564eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( ( -g `  H
) `  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u  <->  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u
) )
66 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)
67 qustgplem.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  .-  =  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  [ ( z (
-g `  G )
w ) ] ( G ~QG  Y ) )
68 tgpgrp 21085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
6968adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  G  e.  Grp )
705, 61grpsubf 16726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( -g `  G ) : ( X  X.  X
) --> X )
71 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
-g `  G ) : ( X  X.  X ) --> X  -> 
( -g `  G )  Fn  ( X  X.  X ) )
7269, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( -g `  G )  Fn  ( X  X.  X ) )
73 fnov 6416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
-g `  G )  Fn  ( X  X.  X
)  <->  ( -g `  G
)  =  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  ( z ( -g `  G
) w ) ) )
7472, 73sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( -g `  G )  =  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  ( z ( -g `  G
) w ) ) )
7513, 61tgpsubcn 21097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
7675adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( -g `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
7774, 76eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  ( z (
-g `  G )
w ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
78 ecexg 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
798, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
8079, 7fnmpti 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F  Fn  X
81 qtopid 20712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F ) ) )
8217, 80, 81sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F ) ) )
8315oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
8482, 83eleqtrrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
857, 84syl5eqelr 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
86 eceq1 7405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( z (
-g `  G )
w )  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ ( z ( -g `  G
) w ) ] ( G ~QG  Y ) )
8717, 17, 77, 17, 85, 86cnmpt21 20678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  [ ( z ( -g `  G
) w ) ] ( G ~QG  Y ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
8867, 87syl5eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  .-  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
8988ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
90 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  u  e.  K )
91 cnima 20273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 
.-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K )  /\  u  e.  K )  ->  ( `'  .-  " u
)  e.  ( J 
tX  J ) )
9289, 90, 91syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( `'  .-  " u )  e.  ( J  tX  J ) )
9317ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
94 eltx 20575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( ( `'  .-  " u )  e.  ( J  tX  J )  <->  A. t  e.  ( `'  .-  " u
) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( t  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
9593, 93, 94syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( `'  .-  " u
)  e.  ( J 
tX  J )  <->  A. t  e.  ( `'  .-  " u
) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( t  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
9692, 95mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  A. t  e.  ( `'  .-  " u
) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( t  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u ) ) )
97 ecexg 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ ( z (
-g `  G )
w ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
988, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  [ ( z ( -g `  G
) w ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
9967, 98fnmpt2i 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .-  Fn  ( X  X.  X
)
100 elpreima 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (  .-  Fn  ( X  X.  X
)  ->  ( <. a ,  b >.  e.  ( `'  .-  " u )  <-> 
( <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X )  /\  (  .-  `  <. a ,  b
>. )  e.  u
) ) )
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( `'  .-  " u
)  <->  ( <. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X )  /\  (  .-  `  <. a ,  b >. )  e.  u ) )
102 opelxp 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
)  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )
103102anbi1i 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
)  /\  (  .-  ` 
<. a ,  b >.
)  e.  u )  <-> 
( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (  .-  `  <. a ,  b
>. )  e.  u
) )
104 df-ov 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a 
.-  b )  =  (  .-  `  <. a ,  b >. )
105 oveq12 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  ( z ( -g `  G ) w )  =  ( a (
-g `  G )
b ) )
106105eceq1d 7406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  [ ( z (
-g `  G )
w ) ] ( G ~QG  Y )  =  [
( a ( -g `  G ) b ) ] ( G ~QG  Y ) )
107 ecexg 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
1088, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  [ ( a ( -g `  G
) b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
109106, 67, 108ovmpt2a 6439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( a  .-  b
)  =  [ ( a ( -g `  G
) b ) ] ( G ~QG  Y ) )
110104, 109syl5eqr 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  (  .-  `  <. a ,  b >. )  =  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y ) )
111110eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( (  .-  `  <. a ,  b >. )  e.  u  <->  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u
) )
112111pm5.32i 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  /\  (  .-  ` 
<. a ,  b >.
)  e.  u )  <-> 
( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  [
( a ( -g `  G ) b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u ) )
113101, 103, 1123bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( `'  .-  " u
)  <->  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  [
( a ( -g `  G ) b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u ) )
114 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  =  <. a ,  b
>.  ->  ( t  e.  ( c  X.  d
)  <->  <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d ) ) )
115 opelxp 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( c  X.  d
)  <->  ( a  e.  c  /\  b  e.  d ) )
116114, 115syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  <. a ,  b
>.  ->  ( t  e.  ( c  X.  d
)  <->  ( a  e.  c  /\  b  e.  d ) ) )
117116anbi1d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( t  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) )  <->  ( (
a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
1181172rexbidv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  <. a ,  b
>.  ->  ( E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( t  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u ) )  <->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
119118rspccv 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. t  e.  ( `'  .-  " u ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
t  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( `'  .-  " u ) )  ->  ( <. a ,  b >.  e.  ( `'  .-  " u )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
120113, 119syl5bir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. t  e.  ( `'  .-  " u ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
t  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( `'  .-  " u ) )  ->  ( ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u
)  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( (
a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
12196, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  [
( a ( -g `  G ) b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
12266, 121mpand 680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
123 simp-4l 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  G  e.  TopGrp )
12458adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )
125 simprll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  c  e.  J
)
1261, 5, 13, 14, 7qustgpopn 21126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  c  e.  J
)  ->  ( F " c )  e.  K
)
127123, 124, 125, 126syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F "
c )  e.  K
)
128 simprlr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  d  e.  J
)
1291, 5, 13, 14, 7qustgpopn 21126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  d  e.  J
)  ->  ( F " d )  e.  K
)
130123, 124, 128, 129syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F "
d )  e.  K
)
13159adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  a  e.  X
)
132 eceq1 7405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  a  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
133132, 7, 79fvmpt3i 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  X  ->  ( F `  a )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
134131, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F `  a )  =  [
a ] ( G ~QG  Y ) )
135123, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
136 toponss 19936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  c  e.  J )  ->  c  C_  X )
137135, 125, 136syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  c  C_  X
)
138 simprrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( a  e.  c  /\  b  e.  d ) )
139138simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  a  e.  c )
140 fnfvima 6156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  Fn  X  /\  c  C_  X  /\  a  e.  c )  ->  ( F `  a )  e.  ( F " c
) )
14180, 140mp3an1 1348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  C_  X  /\  a  e.  c )  ->  ( F `  a
)  e.  ( F
" c ) )
142137, 139, 141syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  ( F " c ) )
143134, 142eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " c ) )
14460adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  b  e.  X
)
145 eceq1 7405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  b  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )
146145, 7, 79fvmpt3i 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  e.  X  ->  ( F `  b )  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )
147144, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F `  b )  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )
148 toponss 19936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  d  e.  J )  ->  d  C_  X )
149135, 128, 148syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  d  C_  X
)
150138simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  b  e.  d )
151 fnfvima 6156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  Fn  X  /\  d  C_  X  /\  b  e.  d )  ->  ( F `  b )  e.  ( F " d
) )
15280, 151mp3an1 1348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  C_  X  /\  b  e.  d )  ->  ( F `  b
)  e.  ( F
" d ) )
153149, 150, 152syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  ( F " d ) )
154147, 153eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  [ b ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " d ) )
155 opelxpi 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " c )  /\  [ b ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " d ) )  ->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( ( F " c
)  X.  ( F
" d ) ) )
156143, 154, 155syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  ( F
" d ) ) )
157137sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  p  e.  c )  ->  p  e.  X )
158149sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  q  e.  d )  ->  q  e.  X )
159157, 158anim12dan 846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( p  e.  X  /\  q  e.  X
) )
160 eceq1 7405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  p  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ p ]
( G ~QG  Y ) )
161160, 7, 79fvmpt3i 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  X  ->  ( F `  p )  =  [ p ] ( G ~QG  Y ) )
162 eceq1 7405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  q  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ q ] ( G ~QG  Y ) )
163162, 7, 79fvmpt3i 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( q  e.  X  ->  ( F `  q )  =  [ q ] ( G ~QG  Y ) )
164 opeq12 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F `  p
)  =  [ p ] ( G ~QG  Y )  /\  ( F `  q )  =  [
q ] ( G ~QG  Y ) )  ->  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  =  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [ q ] ( G ~QG  Y )
>. )
165161, 163, 164syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  -> 
<. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  =  <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >. )
166159, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  =  <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >. )
167124adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )
1681, 5, 24quseccl 16866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  p  e.  X )  ->  [ p ] ( G ~QG  Y )  e.  ( Base `  H
) )
1691, 5, 24quseccl 16866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  q  e.  X )  ->  [ q ] ( G ~QG  Y )  e.  ( Base `  H
) )
170168, 169anim12dan 846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( [ p ]
( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )  /\  [ q ] ( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )
) )
171167, 159, 170syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( [ p ]
( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )  /\  [ q ] ( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )
) )
172 opelxpi 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( [ p ] ( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )  /\  [ q ] ( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )
)  ->  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [ q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) )
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) ) )
1741, 5, 61, 27qussub 16870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  p  e.  X  /\  q  e.  X
)  ->  ( [
p ] ( G ~QG  Y ) ( -g `  H
) [ q ] ( G ~QG  Y ) )  =  [ ( p (
-g `  G )
q ) ] ( G ~QG  Y ) )
1751743expb 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( [ p ]
( G ~QG  Y ) ( -g `  H ) [ q ] ( G ~QG  Y ) )  =  [ ( p ( -g `  G
) q ) ] ( G ~QG  Y ) )
176167, 159, 175syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( [ p ]
( G ~QG  Y ) ( -g `  H ) [ q ] ( G ~QG  Y ) )  =  [ ( p ( -g `  G
) q ) ] ( G ~QG  Y ) )
177 oveq12 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z  =  p  /\  w  =  q )  ->  ( z ( -g `  G ) w )  =  ( p (
-g `  G )
q ) )
178177eceq1d 7406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  =  p  /\  w  =  q )  ->  [ ( z (
-g `  G )
w ) ] ( G ~QG  Y )  =  [
( p ( -g `  G ) q ) ] ( G ~QG  Y ) )
179 ecexg 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ ( p (
-g `  G )
q ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
1808, 179ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  [ ( p ( -g `  G
) q ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
181178, 67, 180ovmpt2a 6439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  ->  ( p  .-  q
)  =  [ ( p ( -g `  G
) q ) ] ( G ~QG  Y ) )
182159, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( p  .-  q
)  =  [ ( p ( -g `  G
) q ) ] ( G ~QG  Y ) )
183176, 182eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( [ p ]
( G ~QG  Y ) ( -g `  H ) [ q ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( p 
.-  q ) )
184 df-ov 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [ p ] ( G ~QG  Y ) ( -g `  H
) [ q ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( ( -g `  H
) `  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [ q ] ( G ~QG  Y ) >. )
185 df-ov 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( p 
.-  q )  =  (  .-  `  <. p ,  q >. )
186183, 184, 1853eqtr3g 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( ( -g `  H
) `  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [ q ] ( G ~QG  Y ) >. )  =  (  .-  `  <. p ,  q >. )
)
187 opelxpi 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( p  e.  c  /\  q  e.  d )  -> 
<. p ,  q >.  e.  ( c  X.  d
) )
188 simprrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u ) )
189188sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  <. p ,  q >.  e.  ( c  X.  d ) )  ->  <. p ,  q >.  e.  ( `'  .-  " u ) )
190187, 189sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  <. p ,  q >.  e.  ( `'  .-  " u
) )
191 elpreima 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  (  .-  Fn  ( X  X.  X
)  ->  ( <. p ,  q >.  e.  ( `'  .-  " u )  <-> 
( <. p ,  q
>.  e.  ( X  X.  X )  /\  (  .-  `  <. p ,  q
>. )  e.  u
) ) )
19299, 191ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( <.
p ,  q >.  e.  ( `'  .-  " u
)  <->  ( <. p ,  q >.  e.  ( X  X.  X )  /\  (  .-  `  <. p ,  q >. )  e.  u ) )
193192simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( <.
p ,  q >.  e.  ( `'  .-  " u
)  ->  (  .-  ` 
<. p ,  q >.
)  e.  u )
194190, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
(  .-  `  <. p ,  q >. )  e.  u )
195186, 194eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( ( -g `  H
) `  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [ q ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u )
19653, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( -g `  H )  Fn  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) )
197196ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( -g `  H )  Fn  ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) ) )
198 elpreima 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
-g `  H )  Fn  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) )  -> 
( <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  <-> 
( <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  /\  (
( -g `  H ) `
 <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u
) ) )
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  <-> 
( <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  /\  (
( -g `  H ) `
 <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u
) ) )
200173, 195, 199mpbir2and 931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) )
201166, 200eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) )
202201ralrimivva 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  A. p  e.  c 
A. q  e.  d 
<. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) )
203 opeq1 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  ( F `  p )  ->  <. z ,  w >.  =  <. ( F `  p ) ,  w >. )
204203eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  ( F `  p )  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  <. ( F `  p ) ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
205204ralbidv 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  ( F `  p )  ->  ( A. w  e.  ( F " d ) <.
z ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  A. w  e.  ( F " d )
<. ( F `  p
) ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) ) )
206205ralima 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  Fn  X  /\  c  C_  X )  -> 
( A. z  e.  ( F " c
) A. w  e.  ( F " d
) <. z ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. p  e.  c  A. w  e.  ( F " d
) <. ( F `  p ) ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
20780, 206mpan 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c 
C_  X  ->  ( A. z  e.  ( F " c ) A. w  e.  ( F " d ) <. z ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  <->  A. p  e.  c  A. w  e.  ( F " d ) <.
( F `  p
) ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) ) )
208 opeq2 4186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  ( F `  q )  ->  <. ( F `  p ) ,  w >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. )
209208eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( F `  q )  ->  ( <. ( F `  p
) ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
210209ralima 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F  Fn  X  /\  d  C_  X )  -> 
( A. w  e.  ( F " d
) <. ( F `  p ) ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. q  e.  d  <. ( F `
 p ) ,  ( F `  q
) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
21180, 210mpan 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d 
C_  X  ->  ( A. w  e.  ( F " d ) <.
( F `  p
) ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  A. q  e.  d 
<. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) ) )
212211ralbidv 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d 
C_  X  ->  ( A. p  e.  c  A. w  e.  ( F " d ) <.
( F `  p
) ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  A. p  e.  c 
A. q  e.  d 
<. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) ) )
213207, 212sylan9bb 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  C_  X  /\  d  C_  X )  -> 
( A. z  e.  ( F " c
) A. w  e.  ( F " d
) <. z ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. p  e.  c  A. q  e.  d  <. ( F `
 p ) ,  ( F `  q
) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
214137, 149, 213syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( F " c
) A. w  e.  ( F " d
) <. z ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. p  e.  c  A. q  e.  d  <. ( F `
 p ) ,  ( F `  q
) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
215202, 214mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  A. z  e.  ( F " c ) A. w  e.  ( F " d )
<. z ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) )
216 dfss3 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F " c
)  X.  ( F
" d ) ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. y  e.  ( ( F "
c )  X.  ( F " d ) ) y  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) )
217 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( y  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  <. z ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
218217ralxp 4993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  ( ( F " c )  X.  ( F " d
) ) y  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  A. z  e.  ( F " c ) A. w  e.  ( F " d )
<. z ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) )
219216, 218bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F " c
)  X.  ( F
" d ) ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. z  e.  ( F " c
) A. w  e.  ( F " d
) <. z ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u ) )
220215, 219sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( ( F
" c )  X.  ( F " d
) )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) )
221 xpeq1 4865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( r  =  ( F "
c )  ->  (
r  X.  s )  =  ( ( F
" c )  X.  s ) )
222221eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  ( F "
c )  ->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  <->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  s ) ) )
223221sseq1d 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  ( F "
c )  ->  (
( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u )  <->  ( ( F " c )  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
224222, 223anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  ( F "
c )  ->  (
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) )  <->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( ( F " c
)  X.  s )  /\  ( ( F
" c )  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
225 xpeq2 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  ( F "
d )  ->  (
( F " c
)  X.  s )  =  ( ( F
" c )  X.  ( F " d
) ) )
226225eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
d )  ->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  s )  <->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  ( F
" d ) ) ) )
227225sseq1d 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
d )  ->  (
( ( F "
c )  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u )  <->  ( ( F " c )  X.  ( F " d
) )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
228226, 227anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  ( F "
d )  ->  (
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  s )  /\  ( ( F
" c )  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) )  <->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( ( F " c
)  X.  ( F
" d ) )  /\  ( ( F
" c )  X.  ( F " d
) )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
229224, 228rspc2ev 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F " c
)  e.  K  /\  ( F " d )  e.  K  /\  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  ( F
" d ) )  /\  ( ( F
" c )  X.  ( F " d
) )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
230127, 130, 156, 220, 229syl112anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
231230expr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( c  e.  J  /\  d  e.  J
) )  ->  (
( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
232231rexlimdvva 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
233122, 232syld 46 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
23465, 233sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( ( -g `  H
) `  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) ) )
235234adantld 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  /\  (
( -g `  H ) `
 <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u
)  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) ) )
23656, 235sylbid 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
237 opeq12 4187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  ->  <. x ,  y >.  =  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>. )
238237eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
239237eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) }  <->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) } ) )
240 opex 4683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  _V
241 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  ->  ( w  e.  ( r  X.  s )  <->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( r  X.  s ) ) )
242241anbi1d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  ->  ( ( w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) )  <-> 
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
2432422rexbidv 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  ->  ( E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) )  <->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
244240, 243elab 3219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) }  <->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
245239, 244syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) }  <->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
246238, 245imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) } )  <->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) ) )
247236, 246syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( x  =  [
a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) } ) ) )
248247rexlimdvva 2925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( x  =  [
a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) } ) ) )
24951, 248sylbird 239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) } ) ) )
250249com23 82 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) )  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) } ) ) )
25138, 250mpdd 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) } ) )
25237, 251relssdv 4944 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( -g `  H
) " u ) 
C_  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) } )
253 ssabral 3533 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( -g `  H
) " u ) 
C_  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) }  <->  A. w  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
254252, 253sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  A. w  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
255 eltx 20575 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( Base `  H )
)  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )  -> 
( ( `' (
-g `  H ) " u )  e.  ( K  tX  K
)  <->  A. w  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
25623, 23, 255syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( `' ( -g `  H
) " u )  e.  ( K  tX  K )  <->  A. w  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
257256adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  (
( `' ( -g `  H ) " u
)  e.  ( K 
tX  K )  <->  A. w  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
258254, 257mpbird 236 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( -g `  H
) " u )  e.  ( K  tX  K ) )
259258ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  A. u  e.  K  ( `' ( -g `  H )
" u )  e.  ( K  tX  K
) )
260 txtopon 20598 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( Base `  H )
)  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )  -> 
( K  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) ) )
26123, 23, 260syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) ) )
262 iscn 20243 . . . 4  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) )  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )  -> 
( ( -g `  H
)  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  <->  ( ( -g `  H ) : ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) --> (
Base `  H )  /\  A. u  e.  K  ( `' ( -g `  H
) " u )  e.  ( K  tX  K ) ) ) )
263261, 23, 262syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( -g `  H )  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)  <->  ( ( -g `  H ) : ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) --> (
Base `  H )  /\  A. u  e.  K  ( `' ( -g `  H
) " u )  e.  ( K  tX  K ) ) ) )
26429, 259, 263mpbir2and 931 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( -g `  H )  e.  ( ( K  tX  K
)  Cn  K ) )
26514, 27istgp2 21098 . 2  |-  ( H  e.  TopGrp 
<->  ( H  e.  Grp  /\  H  e.  TopSp  /\  ( -g `  H )  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) ) )
2663, 26, 264, 265syl3anbrc 1190 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   {cab 2408   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    C_ wss 3437   <.cop 4003    |-> cmpt 4480    X. cxp 4849   `'ccnv 4850   dom cdm 4851   "cima 4854   Rel wrel 4856    Fn wfn 5594   -->wf 5595   -onto->wfo 5597   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    |-> cmpt2 6305   [cec 7367   /.cqs 7368   Basecbs 15114   TopOpenctopn 15313   qTop cqtop 15394    /.s cqus 15397   Grpcgrp 16662   -gcsg 16664  NrmSGrpcnsg 16805   ~QG cqg 16806  TopOnctopon 19910   TopSpctps 19911    Cn ccn 20232    tX ctx 20567   TopGrpctgp 21078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-tpos 6979  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-ec 7371  df-qs 7375  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-fz 11787  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-topgen 15335  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-qus 15402  df-plusf 16480  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-subg 16807  df-nsg 16808  df-eqg 16809  df-oppg 16990  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-tmd 21079  df-tgp 21080
This theorem is referenced by:  qustgp  21128
  Copyright terms: Public domain W3C validator