Theorem qusp 14908

Description: A quotient space is a topology.

Hypotheses

Ref	Expression
qusp.1	|- X = U.J
qusp.2	|- Er R

Assertion

Ref	Expression
qusp	|- (J e. Top -> {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} e. Top)

Distinct variable groups:   x,X   x,J   x,R

Proof of Theorem qusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 449	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ U.y C_ (X/.R)) /\ A.x e. y U.x e. J) -> U.y C_ (X/.R))
2		simpll 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ U.y C_ (X/.R)) /\ A.x e. y U.x e. J) -> J e. Top)
3		df-ral 2109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.x e. y U.x e. J <-> A.x(x e. y -> U.x e. J))
4		hba1 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.x(x e. y -> U.x e. J) -> A.xA.x(x e. y -> U.x e. J))
5		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. J -> A.x z e. J)
6		eleq1a 1966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (U.x e. J -> (z = U.x -> z e. J))
7	6	imim2i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. y -> U.x e. J) -> (x e. y -> (z = U.x -> z e. J)))
8	7	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x e. y -> U.x e. J) -> (z = U.x -> (x e. y -> z e. J)))
9	8	imp3a 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((x e. y -> U.x e. J) -> ((z = U.x /\ x e. y) -> z e. J))
10	9	a4s 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.x(x e. y -> U.x e. J) -> ((z = U.x /\ x e. y) -> z e. J))
11	4, 5, 10	19.23ad 1415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.x(x e. y -> U.x e. J) -> (E.x(z = U.x /\ x e. y) -> z e. J))
12	11	19.21aiv 1664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.x(x e. y -> U.x e. J) -> A.z(E.x(z = U.x /\ x e. y) -> z e. J))
13	3, 12	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.x e. y U.x e. J -> A.z(E.x(z = U.x /\ x e. y) -> z e. J))
14	13	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. Top /\ U.y C_ (X/.R)) /\ A.x e. y U.x e. J) -> A.z(E.x(z = U.x /\ x e. y) -> z e. J))
15		abss 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ({z | E.x(z = U.x /\ x e. y)} C_ J <-> A.z(E.x(z = U.x /\ x e. y) -> z e. J))
16	14, 15	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ U.y C_ (X/.R)) /\ A.x e. y U.x e. J) -> {z | E.x(z = U.x /\ x e. y)} C_ J)
17		uniopn 8867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ {z | E.x(z = U.x /\ x e. y)} C_ J) -> U.{z | E.x(z = U.x /\ x e. y)} e. J)
18	2, 16, 17	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. Top /\ U.y C_ (X/.R)) /\ A.x e. y U.x e. J) -> U.{z | E.x(z = U.x /\ x e. y)} e. J)
19		uniuni 3806	. . . . . . . . . . . 12 |- U.U.y = U.{z | E.x(z = U.x /\ x e. y)}
20	18, 19	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ U.y C_ (X/.R)) /\ A.x e. y U.x e. J) -> U.U.y e. J)
21	1, 20	jca 310	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ U.y C_ (X/.R)) /\ A.x e. y U.x e. J) -> (U.y C_ (X/.R) /\ U.U.y e. J))
22	21	exp31 407	. . . . . . . . 9 |- (J e. Top -> (U.y C_ (X/.R) -> (A.x e. y U.x e. J -> (U.y C_ (X/.R) /\ U.U.y e. J))))
23		unissb 3208	. . . . . . . . 9 |- (U.y C_ (X/.R) <-> A.x e. y x C_ (X/.R))
24	22, 23	syl5ibr 224	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> (A.x e. y x C_ (X/.R) -> (A.x e. y U.x e. J -> (U.y C_ (X/.R) /\ U.U.y e. J))))
25	24	imp3a 388	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> ((A.x e. y x C_ (X/.R) /\ A.x e. y U.x e. J) -> (U.y C_ (X/.R) /\ U.U.y e. J)))
26		r19.26 2219	. . . . . . 7 |- (A.x e. y (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J) <-> (A.x e. y x C_ (X/.R) /\ A.x e. y U.x e. J))
27	25, 26	syl5ib 223	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (A.x e. y (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J) -> (U.y C_ (X/.R) /\ U.U.y e. J)))
28		df-ral 2109	. . . . . 6 |- (A.x e. y (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J) <-> A.x(x e. y -> (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)))
29	27, 28	syl5ibr 224	. . . . 5 |- (J e. Top -> (A.x(x e. y -> (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)) -> (U.y C_ (X/.R) /\ U.U.y e. J)))
30		ssab 2677	. . . . 5 |- (y C_ {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} <-> A.x(x e. y -> (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)))
31		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
32	31	uniex 3794	. . . . . 6 |- U.y e. _V
33		sseq1 2637	. . . . . . 7 |- (x = U.y -> (x C_ (X/.R) <-> U.y C_ (X/.R)))
34		unieq 3185	. . . . . . . 8 |- (x = U.y -> U.x = U.U.y)
35	34	eleq1d 1963	. . . . . . 7 |- (x = U.y -> (U.x e. J <-> U.U.y e. J))
36	33, 35	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (x = U.y -> ((x C_ (X/.R) /\ U.x e. J) <-> (U.y C_ (X/.R) /\ U.U.y e. J)))
37	32, 36	elab 2403	. . . . 5 |- (U.y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} <-> (U.y C_ (X/.R) /\ U.U.y e. J))
38	29, 30, 37	3imtr4g 612	. . . 4 |- (J e. Top -> (y C_ {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} -> U.y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}))
39	38	19.21aiv 1664	. . 3 |- (J e. Top -> A.y(y C_ {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} -> U.y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}))
40		ssinss1 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y C_ (X/.R) -> (y i^i z) C_ (X/.R))
41	40	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((y C_ (X/.R) /\ z C_ (X/.R)) /\ (U.y e. J /\ U.z e. J)) -> (y i^i z) C_ (X/.R))
42	41	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ ((y C_ (X/.R) /\ z C_ (X/.R)) /\ (U.y e. J /\ U.z e. J))) -> (y i^i z) C_ (X/.R))
43		qusp.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Er R
44	43	uninqs 14340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y C_ (X/.R) /\ z C_ (X/.R)) -> U.(y i^i z) = (U.y i^i U.z))
45	44	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((J e. Top /\ ((y C_ (X/.R) /\ z C_ (X/.R)) /\ (U.y e. J /\ U.z e. J))) -> U.(y i^i z) = (U.y i^i U.z))
46		inopn 8869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((J e. Top /\ U.y e. J /\ U.z e. J) -> (U.y i^i U.z) e. J)
47	46	3expib 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (J e. Top -> ((U.y e. J /\ U.z e. J) -> (U.y i^i U.z) e. J))
48	47	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((U.y e. J /\ U.z e. J) -> (J e. Top -> (U.y i^i U.z) e. J))
49	48	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((y C_ (X/.R) /\ z C_ (X/.R)) /\ (U.y e. J /\ U.z e. J)) -> (J e. Top -> (U.y i^i U.z) e. J))
50	49	impcom 378	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((J e. Top /\ ((y C_ (X/.R) /\ z C_ (X/.R)) /\ (U.y e. J /\ U.z e. J))) -> (U.y i^i U.z) e. J)
51	45, 50	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ ((y C_ (X/.R) /\ z C_ (X/.R)) /\ (U.y e. J /\ U.z e. J))) -> U.(y i^i z) e. J)
52	42, 51	jca 310	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ ((y C_ (X/.R) /\ z C_ (X/.R)) /\ (U.y e. J /\ U.z e. J))) -> ((y i^i z) C_ (X/.R) /\ U.(y i^i z) e. J))
53	52	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- (J e. Top -> (((y C_ (X/.R) /\ z C_ (X/.R)) /\ (U.y e. J /\ U.z e. J)) -> ((y i^i z) C_ (X/.R) /\ U.(y i^i z) e. J)))
54		an4 564	. . . . . . . . . . 11 |- (((y C_ (X/.R) /\ U.y e. J) /\ (z C_ (X/.R) /\ U.z e. J)) <-> ((y C_ (X/.R) /\ z C_ (X/.R)) /\ (U.y e. J /\ U.z e. J)))
55	53, 54	syl5ib 223	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> (((y C_ (X/.R) /\ U.y e. J) /\ (z C_ (X/.R) /\ U.z e. J)) -> ((y i^i z) C_ (X/.R) /\ U.(y i^i z) e. J)))
56	55	expdimp 406	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ (y C_ (X/.R) /\ U.y e. J)) -> ((z C_ (X/.R) /\ U.z e. J) -> ((y i^i z) C_ (X/.R) /\ U.(y i^i z) e. J)))
57		ax-17 1317	. . . . . . . . . 10 |- ((z C_ (X/.R) /\ U.z e. J) -> A.x(z C_ (X/.R) /\ U.z e. J))
58		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
59		sseq1 2637	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> (x C_ (X/.R) <-> z C_ (X/.R)))
60		unieq 3185	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = z -> U.x = U.z)
61	60	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> (U.x e. J <-> U.z e. J))
62	59, 61	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> ((x C_ (X/.R) /\ U.x e. J) <-> (z C_ (X/.R) /\ U.z e. J)))
63	57, 58, 62	elabf 2402	. . . . . . . . 9 |- (z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} <-> (z C_ (X/.R) /\ U.z e. J))
64		ax-17 1317	. . . . . . . . . 10 |- (((y i^i z) C_ (X/.R) /\ U.(y i^i z) e. J) -> A.x((y i^i z) C_ (X/.R) /\ U.(y i^i z) e. J))
65	31	inex1 3452	. . . . . . . . . 10 |- (y i^i z) e. _V
66		sseq1 2637	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (y i^i z) -> (x C_ (X/.R) <-> (y i^i z) C_ (X/.R)))
67		unieq 3185	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (y i^i z) -> U.x = U.(y i^i z))
68	67	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (y i^i z) -> (U.x e. J <-> U.(y i^i z) e. J))
69	66, 68	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (x = (y i^i z) -> ((x C_ (X/.R) /\ U.x e. J) <-> ((y i^i z) C_ (X/.R) /\ U.(y i^i z) e. J)))
70	64, 65, 69	elabf 2402	. . . . . . . . 9 |- ((y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} <-> ((y i^i z) C_ (X/.R) /\ U.(y i^i z) e. J))
71	56, 63, 70	3imtr4g 612	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (y C_ (X/.R) /\ U.y e. J)) -> (z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} -> (y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}))
72	71	r19.21aiv 2175	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ (y C_ (X/.R) /\ U.y e. J)) -> A.z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} (y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)})
73	72	ex 402	. . . . . 6 |- (J e. Top -> ((y C_ (X/.R) /\ U.y e. J) -> A.z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} (y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}))
74		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- ((y C_ (X/.R) /\ U.y e. J) -> A.x(y C_ (X/.R) /\ U.y e. J))
75		sseq1 2637	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (x C_ (X/.R) <-> y C_ (X/.R)))
76		unieq 3185	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> U.x = U.y)
77	76	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (U.x e. J <-> U.y e. J))
78	75, 77	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (x = y -> ((x C_ (X/.R) /\ U.x e. J) <-> (y C_ (X/.R) /\ U.y e. J)))
79	74, 31, 78	elabf 2402	. . . . . 6 |- (y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} <-> (y C_ (X/.R) /\ U.y e. J))
80	73, 79	syl5ib 223	. . . . 5 |- (J e. Top -> (y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} -> A.z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} (y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}))
81	80	19.21aiv 1664	. . . 4 |- (J e. Top -> A.y(y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} -> A.z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} (y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}))
82		df-ral 2109	. . . 4 |- (A.y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}A.z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} (y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} <-> A.y(y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} -> A.z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} (y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}))
83	81, 82	sylibr 217	. . 3 |- (J e. Top -> A.y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}A.z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} (y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)})
84	39, 83	jca 310	. 2 |- (J e. Top -> (A.y(y C_ {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} -> U.y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}) /\ A.y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}A.z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} (y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}))
85		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
86	85	elpw 3037	. . . . . . . 8 |- (x e. ~P(X/.R) <-> x C_ (X/.R))
87	86	bicomi 189	. . . . . . 7 |- (x C_ (X/.R) <-> x e. ~P(X/.R))
88	87	a1i 8	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (x C_ (X/.R) <-> x e. ~P(X/.R)))
89	88	anbi1d 679	. . . . 5 |- (J e. Top -> ((x C_ (X/.R) /\ U.x e. J) <-> (x e. ~P(X/.R) /\ U.x e. J)))
90	89	abbidv 2008	. . . 4 |- (J e. Top -> {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} = {x | (x e. ~P(X/.R) /\ U.x e. J)})
91		ssab2 2691	. . . . 5 |- {x | (x e. ~P(X/.R) /\ U.x e. J)} C_ ~P(X/.R)
92		uniexg 3795	. . . . . . . . 9 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
93		qusp.1	. . . . . . . . 9 |- X = U.J
94	92, 93	syl5eqel 1975	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> X e. _V)
95	94	adantl 424	. . . . . . 7 |- (({x | (x e. ~P(X/.R) /\ U.x e. J)} C_ ~P(X/.R) /\ J e. Top) -> X e. _V)
96		qsexg 5352	. . . . . . 7 |- (X e. _V -> (X/.R) e. _V)
97		pwexg 3489	. . . . . . 7 |- ((X/.R) e. _V -> ~P(X/.R) e. _V)
98	95, 96, 97	3syl 24	. . . . . 6 |- (({x | (x e. ~P(X/.R) /\ U.x e. J)} C_ ~P(X/.R) /\ J e. Top) -> ~P(X/.R) e. _V)
99		ssexg 3457	. . . . . 6 |- (({x | (x e. ~P(X/.R) /\ U.x e. J)} C_ ~P(X/.R) /\ ~P(X/.R) e. _V) -> {x | (x e. ~P(X/.R) /\ U.x e. J)} e. _V)
100	98, 99	syldan 516	. . . . 5 |- (({x | (x e. ~P(X/.R) /\ U.x e. J)} C_ ~P(X/.R) /\ J e. Top) -> {x | (x e. ~P(X/.R) /\ U.x e. J)} e. _V)
101	91, 100	mpan 759	. . . 4 |- (J e. Top -> {x | (x e. ~P(X/.R) /\ U.x e. J)} e. _V)
102	90, 101	eqeltrd 1971	. . 3 |- (J e. Top -> {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} e. _V)
103		istopg 8865	. . 3 |- ({x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} e. _V -> ({x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} e. Top <-> (A.y(y C_ {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} -> U.y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}) /\ A.y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}A.z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} (y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)})))
104	102, 103	syl 12	. 2 |- (J e. Top -> ({x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} e. Top <-> (A.y(y C_ {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} -> U.y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}) /\ A.y e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)}A.z e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} (y i^i z) e. {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)})))
105	84, 104	mpbird 213	1 |- (J e. Top -> {x | (x C_ (X/.R) /\ U.x e. J)} e. Top)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  A.wral 2105  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  Er wer 5315  /.cqs 5317  Topctop 8857

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-top 8861

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