Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusgrp2 Structured version   Unicode version

Theorem qusgrp2 16792
 Description: Prove that a quotient structure is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp2.u s
qusgrp2.v
qusgrp2.p
qusgrp2.r
qusgrp2.x
qusgrp2.e
qusgrp2.1
qusgrp2.2
qusgrp2.3
qusgrp2.4
qusgrp2.5
qusgrp2.6
Assertion
Ref Expression
qusgrp2
Distinct variable groups:   ,,,,,,,   ,,,,,   ,   ,,   ,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,,)   (,)

Proof of Theorem qusgrp2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusgrp2.u . . . 4 s
2 qusgrp2.v . . . 4
3 eqid 2422 . . . 4
4 qusgrp2.r . . . . 5
5 fvex 5888 . . . . . 6
62, 5syl6eqel 2518 . . . . 5
7 erex 7392 . . . . 5
84, 6, 7sylc 62 . . . 4
9 qusgrp2.x . . . 4
101, 2, 3, 8, 9qusval 15436 . . 3 s
11 qusgrp2.p . . 3
121, 2, 3, 8, 9quslem 15437 . . 3
13 qusgrp2.1 . . . . 5
14133expb 1206 . . . 4
15 qusgrp2.e . . . 4
164, 6, 3, 14, 15ercpbl 15443 . . 3
174adantr 466 . . . . 5
18 qusgrp2.2 . . . . 5
1917, 18erthi 7415 . . . 4
206adantr 466 . . . . 5
2117, 20, 3divsfval 15441 . . . 4
2217, 20, 3divsfval 15441 . . . 4
2319, 21, 223eqtr4d 2473 . . 3
24 qusgrp2.3 . . 3
254adantr 466 . . . . 5
26 qusgrp2.4 . . . . 5
2725, 26erthi 7415 . . . 4
286adantr 466 . . . . 5
2925, 28, 3divsfval 15441 . . . 4
3025, 28, 3divsfval 15441 . . . 4
3127, 29, 303eqtr4d 2473 . . 3
32 qusgrp2.5 . . 3
33 qusgrp2.6 . . . . . 6
3425, 33ersym 7380 . . . . 5
3525, 34erthi 7415 . . . 4
3625, 28, 3divsfval 15441 . . . 4
3725, 28, 3divsfval 15441 . . . 4
3835, 36, 373eqtr4rd 2474 . . 3
3910, 2, 11, 12, 16, 9, 13, 23, 24, 31, 32, 38imasgrp2 16789 . 2
404, 6, 3divsfval 15441 . . . . 5
4140eqcomd 2430 . . . 4
4241eqeq1d 2424 . . 3
4342anbi2d 708 . 2
4439, 43mpbird 235 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  cvv 3081   class class class wbr 4420   cmpt 4479  cfv 5598  (class class class)co 6302   wer 7365  cec 7366  cqs 7367  cbs 15109   cplusg 15178  c0g 15326   s cqus 15392  cgrp 16657 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-fz 11786  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-0g 15328  df-imas 15395  df-qus 15397  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-grp 16661 This theorem is referenced by:  qusgrp  16860  frgp0  17398  pi1grplem  22067
 Copyright terms: Public domain W3C validator