Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quotlem Structured version   Unicode version

Theorem quotlem 22986
 Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl
plydiv.tm
plydiv.rc
plydiv.m1
plydiv.f Poly
plydiv.g Poly
plydiv.z
quotlem.8 quot
Assertion
Ref Expression
quotlem quot Poly deg deg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem quotlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . 5 Poly
2 plydiv.g . . . . 5 Poly
3 plydiv.z . . . . 5
4 eqid 2402 . . . . . 6
54quotval 22978 . . . . 5 Poly Poly quot Poly deg deg
61, 2, 3, 5syl3anc 1230 . . . 4 quot Poly deg deg
7 plydiv.pl . . . . . . 7
8 plydiv.tm . . . . . . 7
9 plydiv.rc . . . . . . 7
10 plydiv.m1 . . . . . . 7
117, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4plydivalg 22985 . . . . . 6 Poly deg deg
12 reurex 3023 . . . . . 6 Poly deg deg Poly deg deg
1311, 12syl 17 . . . . 5 Poly deg deg
14 addcl 9603 . . . . . . 7
1514adantl 464 . . . . . 6
16 mulcl 9605 . . . . . . 7
1716adantl 464 . . . . . 6
18 reccl 10254 . . . . . . 7
1918adantl 464 . . . . . 6
20 neg1cn 10679 . . . . . . 7
2120a1i 11 . . . . . 6
22 plyssc 22887 . . . . . . 7 Poly Poly
2322, 1sseldi 3439 . . . . . 6 Poly
2422, 2sseldi 3439 . . . . . 6 Poly
2515, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4plydivalg 22985 . . . . 5 Poly deg deg
26 id 22 . . . . . . 7 deg deg deg deg
2726rgenw 2764 . . . . . 6 Poly deg deg deg deg
28 riotass2 6265 . . . . . 6 Poly Poly Poly deg deg deg deg Poly deg deg Poly deg deg Poly deg deg Poly deg deg
2922, 27, 28mpanl12 680 . . . . 5 Poly deg deg Poly deg deg Poly deg deg Poly deg deg
3013, 25, 29syl2anc 659 . . . 4 Poly deg deg Poly deg deg
316, 30eqtr4d 2446 . . 3 quot Poly deg deg
32 riotacl2 6252 . . . 4 Poly deg deg Poly deg deg Poly deg deg
3311, 32syl 17 . . 3 Poly deg deg Poly deg deg
3431, 33eqeltrd 2490 . 2 quot Poly deg deg
35 oveq2 6285 . . . . . . 7 quot quot
3635oveq2d 6293 . . . . . 6 quot quot
37 quotlem.8 . . . . . 6 quot
3836, 37syl6eqr 2461 . . . . 5 quot
3938eqeq1d 2404 . . . 4 quot
4038fveq2d 5852 . . . . 5 quot deg deg
4140breq1d 4404 . . . 4 quot deg deg deg deg
4239, 41orbi12d 708 . . 3 quot deg deg deg deg
4342elrab 3206 . 2 quot Poly deg deg quot Poly deg deg
4434, 43sylib 196 1 quot Poly deg deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 366   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2753  wrex 2754  wreu 2755  crab 2757   wss 3413   class class class wbr 4394  cfv 5568  crio 6238  (class class class)co 6277   cof 6518  cc 9519  cc0 9521  c1 9522   caddc 9524   cmul 9526   clt 9657   cmin 9840  cneg 9841   cdiv 10246  c0p 22366  Polycply 22871  degcdgr 22874   quot cquot 22976 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-0p 22367  df-ply 22875  df-coe 22877  df-dgr 22878  df-quot 22977 This theorem is referenced by:  quotcl  22987  quotdgr  22989
 Copyright terms: Public domain W3C validator