MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quotcl2 Structured version   Unicode version

Theorem quotcl2 22880
Description: Closure of the quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
quotcl2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )  /\  G  =/=  0p )  ->  ( F quot  G )  e.  (Poly `  CC ) )

Proof of Theorem quotcl2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 9522 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
21adantl 464 . 2  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )  /\  G  =/=  0p )  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )
)  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
3 mulcl 9524 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
43adantl 464 . 2  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )  /\  G  =/=  0p )  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )
)  ->  ( x  x.  y )  e.  CC )
5 reccl 10173 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
65adantl 464 . 2  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )  /\  G  =/=  0p )  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
7 neg1cn 10598 . . 3  |-  -u 1  e.  CC
87a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )  /\  G  =/=  0p )  ->  -u 1  e.  CC )
9 plyssc 22779 . . 3  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
10 simp1 995 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )  /\  G  =/=  0p )  ->  F  e.  (Poly `  S )
)
119, 10sseldi 3437 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )  /\  G  =/=  0p )  ->  F  e.  (Poly `  CC )
)
12 simp2 996 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )  /\  G  =/=  0p )  ->  G  e.  (Poly `  S )
)
139, 12sseldi 3437 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )  /\  G  =/=  0p )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
14 simp3 997 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )  /\  G  =/=  0p )  ->  G  =/=  0p )
152, 4, 6, 8, 11, 13, 14quotcl 22879 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )  /\  G  =/=  0p )  ->  ( F quot  G )  e.  (Poly `  CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    e. wcel 1840    =/= wne 2596   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443    x. cmul 9445   -ucneg 9760    / cdiv 10165   0pc0p 22258  Polycply 22763   quot cquot 22868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-0p 22259  df-ply 22767  df-coe 22769  df-dgr 22770  df-quot 22869
This theorem is referenced by:  plyrem  22883  facth  22884  fta1lem  22885  quotcan  22887  vieta1lem1  22888
  Copyright terms: Public domain W3C validator