Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quotcl2 Structured version   Unicode version

Theorem quotcl2 22880
 Description: Closure of the quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
quotcl2 Poly Poly quot Poly

Proof of Theorem quotcl2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 9522 . . 3
21adantl 464 . 2 Poly Poly
3 mulcl 9524 . . 3
43adantl 464 . 2 Poly Poly
5 reccl 10173 . . 3
65adantl 464 . 2 Poly Poly
7 neg1cn 10598 . . 3
87a1i 11 . 2 Poly Poly
9 plyssc 22779 . . 3 Poly Poly
10 simp1 995 . . 3 Poly Poly Poly
119, 10sseldi 3437 . 2 Poly Poly Poly
12 simp2 996 . . 3 Poly Poly Poly
139, 12sseldi 3437 . 2 Poly Poly Poly
14 simp3 997 . 2 Poly Poly
152, 4, 6, 8, 11, 13, 14quotcl 22879 1 Poly Poly quot Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 972   wcel 1840   wne 2596  cfv 5523  (class class class)co 6232  cc 9438  cc0 9440  c1 9441   caddc 9443   cmul 9445  cneg 9760   cdiv 10165  c0p 22258  Polycply 22763   quot cquot 22868 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-0p 22259  df-ply 22767  df-coe 22769  df-dgr 22770  df-quot 22869 This theorem is referenced by:  plyrem  22883  facth  22884  fta1lem  22885  quotcan  22887  vieta1lem1  22888
 Copyright terms: Public domain W3C validator