MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quotcl Structured version   Unicode version

Theorem quotcl 22801
Description: The quotient of two polynomials in a field  S is also in the field. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plydiv.tm  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
plydiv.rc  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  x
)  e.  S )
plydiv.m1  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  S
)
plydiv.f  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plydiv.g  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plydiv.z  |-  ( ph  ->  G  =/=  0p )
Assertion
Ref Expression
quotcl  |-  ( ph  ->  ( F quot  G )  e.  (Poly `  S
) )
Distinct variable groups:    x, y, F    ph, x, y    x, G, y    x, S, y

Proof of Theorem quotcl
StepHypRef Expression
1 plydiv.pl . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
2 plydiv.tm . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
3 plydiv.rc . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  x
)  e.  S )
4 plydiv.m1 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  S
)
5 plydiv.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
6 plydiv.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
7 plydiv.z . . 3  |-  ( ph  ->  G  =/=  0p )
8 eqid 2392 . . 3  |-  ( F  oF  -  ( G  oF  x.  ( F quot  G ) ) )  =  ( F  oF  -  ( G  oF  x.  ( F quot  G ) ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8quotlem 22800 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F quot  G
)  e.  (Poly `  S )  /\  (
( F  oF  -  ( G  oF  x.  ( F quot  G ) ) )  =  0p  \/  (deg `  ( F  oF  -  ( G  oF  x.  ( F quot  G ) ) ) )  <  (deg `  G
) ) ) )
109simpld 457 1  |-  ( ph  ->  ( F quot  G )  e.  (Poly `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587   class class class wbr 4380   ` cfv 5509  (class class class)co 6214    oFcof 6455   0cc0 9421   1c1 9422    + caddc 9424    x. cmul 9426    < clt 9557    - cmin 9736   -ucneg 9737    / cdiv 10141   0pc0p 22180  Polycply 22685  degcdgr 22688   quot cquot 22790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499  ax-addf 9500
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-of 6457  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-oadd 7070  df-er 7247  df-map 7358  df-pm 7359  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-rp 11158  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-fl 11847  df-seq 12030  df-exp 12089  df-hash 12327  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-clim 13332  df-rlim 13333  df-sum 13530  df-0p 22181  df-ply 22689  df-coe 22691  df-dgr 22692  df-quot 22791
This theorem is referenced by:  quotcl2  22802
  Copyright terms: Public domain W3C validator