Theorem quoremz 7492

Description: Quotient and remainder of an integer divided by a natural number.

Hypotheses

Ref	Expression
quorem.1	|- Q = (|_` (A / B))
quorem.2	|- R = (A - (B x. Q))

Assertion

Ref	Expression
quoremz	|- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> ((Q e. ZZ /\ R e. NN0) /\ (R < B /\ A = ((B x. Q) + R))))

Proof of Theorem quoremz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 7348	. . . . . 6 |- (A e. ZZ -> A e. RR)
2	1	adantr 425	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> A e. RR)
3		nnre 7112	. . . . . 6 |- (B e. NN -> B e. RR)
4	3	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> B e. RR)
5		nnne0 7132	. . . . . 6 |- (B e. NN -> B =/= 0)
6	5	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> B =/= 0)
7		redivcl 6978	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ B =/= 0) -> (A / B) e. RR)
8	2, 4, 6, 7	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (A / B) e. RR)
9		flcl 7465	. . . 4 |- ((A / B) e. RR -> (|_` (A / B)) e. ZZ)
10	8, 9	syl 12	. . 3 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (|_` (A / B)) e. ZZ)
11		quorem.1	. . 3 |- Q = (|_` (A / B))
12	10, 11	syl5eqel 1975	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> Q e. ZZ)
13		nnz 7362	. . . . . 6 |- (B e. NN -> B e. ZZ)
14	13	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> B e. ZZ)
15		zmulcl 7389	. . . . 5 |- ((B e. ZZ /\ Q e. ZZ) -> (B x. Q) e. ZZ)
16	14, 12, 15	syl11anc 524	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (B x. Q) e. ZZ)
17		simpl 346	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> A e. ZZ)
18		zcn 7349	. . . . . . . 8 |- (Q e. ZZ -> Q e. CC)
19	12, 18	syl 12	. . . . . . 7 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> Q e. CC)
20		nncn 7113	. . . . . . . 8 |- (B e. NN -> B e. CC)
21	20	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> B e. CC)
22		divcan3 6938	. . . . . . 7 |- ((Q e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> ((B x. Q) / B) = Q)
23	19, 21, 6, 22	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> ((B x. Q) / B) = Q)
24		flle 7468	. . . . . . . 8 |- ((A / B) e. RR -> (|_` (A / B)) <_ (A / B))
25	8, 24	syl 12	. . . . . . 7 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (|_` (A / B)) <_ (A / B))
26	25, 11	syl5eqbr 3370	. . . . . 6 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> Q <_ (A / B))
27	23, 26	eqbrtrd 3357	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> ((B x. Q) / B) <_ (A / B))
28		zre 7348	. . . . . . 7 |- ((B x. Q) e. ZZ -> (B x. Q) e. RR)
29	16, 28	syl 12	. . . . . 6 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (B x. Q) e. RR)
30		nngt0 7129	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> 0 < B)
31	30	adantl 424	. . . . . 6 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> 0 < B)
32		lediv1 7033	. . . . . 6 |- (((B x. Q) e. RR /\ A e. RR /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> ((B x. Q) <_ A <-> ((B x. Q) / B) <_ (A / B)))
33	29, 2, 4, 31, 32	syl112anc 1104	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> ((B x. Q) <_ A <-> ((B x. Q) / B) <_ (A / B)))
34	27, 33	mpbird 213	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (B x. Q) <_ A)
35		znn0sub2 7388	. . . 4 |- (((B x. Q) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ (B x. Q) <_ A) -> (A - (B x. Q)) e. NN0)
36	16, 17, 34, 35	syl111anc 1100	. . 3 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (A - (B x. Q)) e. NN0)
37		quorem.2	. . 3 |- R = (A - (B x. Q))
38	36, 37	syl5eqel 1975	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> R e. NN0)
39		fraclt1 7470	. . . . . . 7 |- ((A / B) e. RR -> ((A / B) - (|_` (A / B))) < 1)
40	8, 39	syl 12	. . . . . 6 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> ((A / B) - (|_` (A / B))) < 1)
41	11	opreq2i 4893	. . . . . 6 |- ((A / B) - Q) = ((A / B) - (|_` (A / B)))
42	40, 41	syl5eqbr 3370	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> ((A / B) - Q) < 1)
43		zcn 7349	. . . . . . . . 9 |- (A e. ZZ -> A e. CC)
44	43	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> A e. CC)
45		zcn 7349	. . . . . . . . 9 |- ((B x. Q) e. ZZ -> (B x. Q) e. CC)
46	16, 45	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (B x. Q) e. CC)
47	20, 5	jca 310	. . . . . . . . 9 |- (B e. NN -> (B e. CC /\ B =/= 0))
48	47	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (B e. CC /\ B =/= 0))
49		divsubdir 6951	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (B x. Q) e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((A - (B x. Q)) / B) = ((A / B) - ((B x. Q) / B)))
50	44, 46, 48, 49	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> ((A - (B x. Q)) / B) = ((A / B) - ((B x. Q) / B)))
51	23	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> ((A / B) - ((B x. Q) / B)) = ((A / B) - Q))
52	50, 51	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> ((A - (B x. Q)) / B) = ((A / B) - Q))
53	37	opreq1i 4892	. . . . . 6 |- (R / B) = ((A - (B x. Q)) / B)
54	52, 53	syl5eq 1940	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (R / B) = ((A / B) - Q))
55		divid 6942	. . . . . . 7 |- ((B e. CC /\ B =/= 0) -> (B / B) = 1)
56	20, 5, 55	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (B e. NN -> (B / B) = 1)
57	56	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (B / B) = 1)
58	42, 54, 57	3brtr4d 3367	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (R / B) < (B / B))
59		nn0re 7317	. . . . . 6 |- (R e. NN0 -> R e. RR)
60	38, 59	syl 12	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> R e. RR)
61		ltdiv1 7031	. . . . 5 |- ((R e. RR /\ B e. RR /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (R < B <-> (R / B) < (B / B)))
62	60, 4, 4, 31, 61	syl112anc 1104	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (R < B <-> (R / B) < (B / B)))
63	58, 62	mpbird 213	. . 3 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> R < B)
64		pncan3 6534	. . . . 5 |- (((B x. Q) e. CC /\ A e. CC) -> ((B x. Q) + (A - (B x. Q))) = A)
65	46, 44, 64	syl11anc 524	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> ((B x. Q) + (A - (B x. Q))) = A)
66	37	opreq2i 4893	. . . 4 |- ((B x. Q) + R) = ((B x. Q) + (A - (B x. Q)))
67	65, 66	syl5req 1941	. . 3 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> A = ((B x. Q) + R))
68	63, 67	jca 310	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (R < B /\ A = ((B x. Q) + R)))
69	12, 38, 68	jca31 311	1 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> ((Q e. ZZ /\ R e. NN0) /\ (R < B /\ A = ((B x. Q) + R))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  |_cfl 7462

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT 7493

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463

Copyright terms: Public domain