MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem4 Structured version   Unicode version

Theorem quartlem4 23057
Description: Closure lemmas for quart 23058. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quart.e  |-  ( ph  ->  E  =  -u ( A  /  4 ) )
quart.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
quart.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( P ^ 2 )  +  (; 1 2  x.  R
) ) )
quart.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( (
-u ( 2  x.  ( P ^ 3 ) )  -  (; 2 7  x.  ( Q ^
2 ) ) )  +  (; 7 2  x.  ( P  x.  R )
) ) )
quart.w  |-  ( ph  ->  W  =  ( sqr `  ( ( V ^
2 )  -  (
4  x.  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
quart.s  |-  ( ph  ->  S  =  ( ( sqr `  M )  /  2 ) )
quart.m  |-  ( ph  ->  M  =  -u (
( ( ( 2  x.  P )  +  T )  +  ( U  /  T ) )  /  3 ) )
quart.t  |-  ( ph  ->  T  =  ( ( ( V  +  W
)  /  2 )  ^c  ( 1  /  3 ) ) )
quart.t0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
quart.m0  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
quart.i  |-  ( ph  ->  I  =  ( sqr `  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  +  ( ( Q  /  4
)  /  S ) ) ) )
quart.j  |-  ( ph  ->  J  =  ( sqr `  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  -  (
( Q  /  4
)  /  S ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
quartlem4  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  0  /\  I  e.  CC  /\  J  e.  CC ) )

Proof of Theorem quartlem4
StepHypRef Expression
1 quart.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  =  ( ( sqr `  M )  /  2 ) )
2 quart.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 quart.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 quart.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 quart.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
6 quart.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  -u ( A  /  4 ) )
7 quart.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
8 quart.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
9 quart.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
10 quart.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( P ^ 2 )  +  (; 1 2  x.  R
) ) )
11 quart.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  =  ( (
-u ( 2  x.  ( P ^ 3 ) )  -  (; 2 7  x.  ( Q ^
2 ) ) )  +  (; 7 2  x.  ( P  x.  R )
) ) )
12 quart.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  =  ( sqr `  ( ( V ^
2 )  -  (
4  x.  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
13 quart.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  -u (
( ( ( 2  x.  P )  +  T )  +  ( U  /  T ) )  /  3 ) )
14 quart.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =  ( ( ( V  +  W
)  /  2 )  ^c  ( 1  /  3 ) ) )
15 quart.t0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
162, 3, 4, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15quartlem3 23056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  T  e.  CC )
)
1716simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1817sqrtcld 13248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  M
)  e.  CC )
19 2cnd 10620 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
2017sqsqrtd 13250 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  M
) ^ 2 )  =  M )
21 quart.m0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
2220, 21eqnetrd 2760 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  M
) ^ 2 )  =/=  0 )
23 sqne0 12214 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  M )  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  M
) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( sqr `  M )  =/=  0
) )
2418, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  M ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( sqr `  M )  =/=  0 ) )
2522, 24mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  M
)  =/=  0 )
26 2ne0 10640 . . . . 5  |-  2  =/=  0
2726a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
2818, 19, 25, 27divne0d 10348 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  M
)  /  2 )  =/=  0 )
291, 28eqnetrd 2760 . 2  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
30 quart.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  =  ( sqr `  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  +  ( ( Q  /  4
)  /  S ) ) ) )
3116simp1d 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
3231sqcld 12288 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
3332negcld 9929 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  e.  CC )
342, 3, 4, 5, 7, 8, 9quart1cl 23051 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)
3534simp1d 1008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
3635halfcld 10795 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  /  2
)  e.  CC )
3733, 36subcld 9942 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  e.  CC )
3834simp2d 1009 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
39 4cn 10625 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
41 4ne0 10644 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
4241a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
4338, 40, 42divcld 10332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  /  4
)  e.  CC )
4443, 31, 29divcld 10332 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  / 
4 )  /  S
)  e.  CC )
4537, 44addcld 9627 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  +  ( ( Q  /  4
)  /  S ) )  e.  CC )
4645sqrtcld 13248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( -u ( S ^
2 )  -  ( P  /  2 ) )  +  ( ( Q  /  4 )  /  S ) ) )  e.  CC )
4730, 46eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
48 quart.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  =  ( sqr `  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  -  (
( Q  /  4
)  /  S ) ) ) )
4937, 44subcld 9942 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  -  (
( Q  /  4
)  /  S ) )  e.  CC )
5049sqrtcld 13248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( -u ( S ^
2 )  -  ( P  /  2 ) )  -  ( ( Q  /  4 )  /  S ) ) )  e.  CC )
5148, 50eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
5229, 47, 513jca 1176 1  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  0  /\  I  e.  CC  /\  J  e.  CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   5c5 10600   6c6 10601   7c7 10602   8c8 10603  ;cdc 10988   ^cexp 12146   sqrcsqrt 13046    ^c ccxp 22809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-cxp 22811
This theorem is referenced by:  quart  23058
  Copyright terms: Public domain W3C validator