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Theorem quart1lem 22250
Description: Lemma for quart1 22251. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart1.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart1.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
quart1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quart1.y  |-  ( ph  ->  Y  =  ( X  +  ( A  / 
4 ) ) )
Assertion
Ref Expression
quart1lem  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) )

Proof of Theorem quart1lem
StepHypRef Expression
1 quart1.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
2 quart1.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 quart1.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
42, 3mulcld 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
54halfcld 10569 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  2
)  e.  CC )
61, 5subcld 9719 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
7 3nn0 10597 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN0
8 expcl 11883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
92, 7, 8sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
10 8cn 10407 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  8  e.  CC )
12 8nn 10485 . . . . . . . . . . 11  |-  8  e.  NN
1312nnne0i 10356 . . . . . . . . . 10  |-  8  =/=  0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  8  =/=  0 )
159, 11, 14divcld 10107 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  /  8
)  e.  CC )
16 4cn 10399 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
1716a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
18 4ne0 10418 . . . . . . . . . 10  |-  4  =/=  0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
202, 17, 19divcld 10107 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  4
)  e.  CC )
216, 15, 20adddird 9411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  x.  ( A  / 
4 ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  x.  ( A  /  4 ) ) ) )
22 quart1.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
2322oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  x.  ( A  /  4
) ) )
241, 2, 17, 19divassd 10142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  4
)  =  ( C  x.  ( A  / 
4 ) ) )
252sqvald 12005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
2625oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  A )  x.  B ) )
272, 2, 3mul32d 9579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
2826, 27eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
2928oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( A  x.  B
)  x.  A )  /  8 ) )
30 2cn 10392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
31 4t2e8 10475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3216, 30, 31mulcomli 9393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
3332oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  x.  B
)  x.  A )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  x.  A )  /  8
)
3429, 33syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( A  x.  B
)  x.  A )  /  ( 2  x.  4 ) ) )
3530a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
36 2ne0 10414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
384, 35, 2, 17, 37, 19divmuldivd 10148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  x.  A )  / 
( 2  x.  4 ) ) )
3934, 38eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
4024, 39oveq12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  A )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  =  ( ( C  x.  ( A  /  4 ) )  -  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  x.  ( A  /  4
) ) ) )
411, 5, 20subdird 9801 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2
) )  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( C  x.  ( A  / 
4 ) )  -  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  x.  ( A  /  4 ) ) ) )
4240, 41eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  A )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
43 df-4 10382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4443oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A ^ 4 )  =  ( A ^ (
3  +  1 ) )
45 expp1 11872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
462, 7, 45sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
4744, 46syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
4847oveq1d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  8
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  /  8 ) )
499, 2, 11, 14div23d 10144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  /  8
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  A ) )
5048, 49eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  8
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  A ) )
5150oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  x.  A )  /  4 ) )
5215, 2, 17, 19divassd 10142 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  A )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
5351, 52eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
5442, 53oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  x.  A )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) )  =  ( ( ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  x.  ( A  /  4 ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  ( A  /  4
) ) ) )
5521, 23, 543eqtr4d 2485 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( ( C  x.  A
)  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 ) )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
) ) )
561, 2mulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  x.  A
)  e.  CC )
5756, 17, 19divcld 10107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  4
)  e.  CC )
582sqcld 12006 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
5958, 3mulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
6059, 11, 14divcld 10107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  e.  CC )
61 4nn0 10598 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN0
62 expcl 11883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
632, 61, 62sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
6463, 11, 14divcld 10107 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  8
)  e.  CC )
6564, 17, 19divcld 10107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  e.  CC )
6657, 60, 65subadd23d 9741 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  x.  A )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) )  =  ( ( ( C  x.  A
)  /  4 )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) ) ) )
6765, 60subcld 9719 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  e.  CC )
6857, 67addcomd 9571 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  A )  / 
4 )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  / 
4 ) ) )
6955, 66, 683eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  /  4
) ) )
70 quart1.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
71 quart1.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
72 1nn0 10595 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
73 6nn 10483 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
7472, 73decnncl 10768 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 6  e.  NN
7574nncni 10332 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 6  e.  CC
7675a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> ; 1
6  e.  CC )
7774nnne0i 10356 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 6  =/=  0
7877a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> ; 1
6  =/=  0 )
7959, 76, 78divcld 10107 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  e.  CC )
80 3cn 10396 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
81 2nn0 10596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
82 5nn0 10599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  NN0
8381, 82deccl 10769 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 2 5  e.  NN0
8483, 73decnncl 10768 . . . . . . . . . . 11  |- ;; 2 5 6  e.  NN
8584nncni 10332 . . . . . . . . . 10  |- ;; 2 5 6  e.  CC
8684nnne0i 10356 . . . . . . . . . 10  |- ;; 2 5 6  =/=  0
8780, 85, 86divcli 10073 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC
88 mulcl 9366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC  /\  ( A ^ 4 )  e.  CC )  ->  (
( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  e.  CC )
8987, 63, 88sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) )  e.  CC )
9079, 89subcld 9719 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  e.  CC )
9171, 90, 57addsubd 9740 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  / 
4 ) )  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4
) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
9270, 91eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) ) )
9369, 92oveq12d 6109 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
)  =  ( ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) ) ) )
9471, 90addcld 9405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  e.  CC )
9567, 57, 94ppncand 9759 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  /  4
) )  +  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) ) ) ) )
9667, 71, 90add12d 9591 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( D  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )  =  ( D  +  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) ) )
9760, 89addcld 9405 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  e.  CC )
9865, 79addcld 9405 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  +  ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  e.  CC )
9997, 98negsubdi2d 9735 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
10065, 79addcomd 9571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  +  ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
) ) )
101100oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 ) ) ) )
10260, 89, 79, 65addsub4d 9766 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) ) )
10380a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
10485a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  e.  CC )
10586a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  =/=  0 )
106103, 63, 104, 105divassd 10142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  / ;; 2 5 6 )  =  ( 3  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
107103, 63, 104, 105div23d 10144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  / ;; 2 5 6 )  =  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )
108 1p2e3 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  +  2 )  =  3
109108oveq1i 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  +  2 )  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )
110 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
11263, 104, 105divcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  e.  CC )
113111, 35, 112adddird 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  2 )  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
114109, 113syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
115112mulid2d 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )
116115oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
117114, 116eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
118106, 107, 1173eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
11943oveq1i 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) )  =  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )
12065, 17, 19divcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  e.  CC )
121103, 111, 120adddird 9411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 1  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) )
122119, 121syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 1  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) )
12365, 17, 19divcan2d 10109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 ) )
124120mulid2d 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )
12564, 17, 17, 19, 19divdiv1d 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4  x.  4 ) ) )
126 4t4e16 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 4  x.  4 )  = ; 1
6
127126oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4  x.  4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )
128125, 127syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / ; 1 6 ) )
12963, 11, 76, 14, 78divdiv1d 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )  =  ( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) ) )
13010, 75mulcli 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 8  x. ; 1 6 )  e.  CC
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 8  x. ; 1 6 )  e.  CC )
13210, 75, 13, 77mulne0i 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 8  x. ; 1 6 )  =/=  0
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 8  x. ; 1 6 )  =/=  0 )
13463, 131, 133divcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) )  e.  CC )
135134, 35, 37divcan2d 10109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 4 )  / 
( 8  x. ; 1 6 ) ) )
13663, 131, 35, 133, 37divdiv1d 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
( 8  x. ; 1 6 ) )  /  2 )  =  ( ( A ^
4 )  /  (
( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 ) ) )
13710, 75, 30mul32i 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 )  =  ( ( 8  x.  2 )  x. ; 1 6 )
138 2exp4 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2 ^ 4 )  = ; 1
6
139 8t2e16 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
140138, 139eqtr4i 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 8  x.  2 )
141140, 138oveq12i 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  =  ( ( 8  x.  2 )  x. ; 1 6 )
142 4p4e8 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 4  +  4 )  =  8
143142oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ ( 4  +  4 ) )  =  ( 2 ^ 8 )
144 expadd 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  4  e.  NN0  /\  4  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 4  +  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 4 ) ) )
14530, 61, 61, 144mp3an 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ ( 4  +  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
2 ^ 4 ) )
146 2exp8 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
147143, 145, 1463eqtr3i 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  = ;; 2 5 6
148137, 141, 1473eqtr2i 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 )  = ;; 2 5 6
149148oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A ^ 4 )  /  ( ( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 ) )  =  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )
150136, 149syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
( 8  x. ; 1 6 ) )  /  2 )  =  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )
151150oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
152129, 135, 1513eqtr2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )  =  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
153124, 128, 1523eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
154153oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) )  +  ( 1  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
155122, 123, 1543eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
156118, 155oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  -  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) ) )
157 mulcl 9366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) )  e.  CC )
15880, 120, 157sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  e.  CC )
159 mulcl 9366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  e.  CC )
16030, 112, 159sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  e.  CC )
161112, 158, 160pnpcan2d 9757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  -  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )
162156, 161eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) )
163162oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) ) )
16479, 112, 158addsub12d 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) ) )
165163, 164eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) ) ) ) )
16659, 11, 35, 14, 37divdiv1d 10138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  /  2
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  ( 8  x.  2 ) ) )
167139oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  ( 8  x.  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )
168166, 167syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  /  2
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
169168oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
17060, 35, 37divcan2d 10109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )
171792timesd 10567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
172169, 170, 1713eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
173172oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
17479, 79pncand 9720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )
175173, 174eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
176175oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 ) ) ) )
177 quart1.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
178177oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) ) )  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )
17980, 10, 13divcli 10073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
180 mulcl 9366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
181179, 58, 180sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
18220sqcld 12006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  e.  CC )
1833, 181, 182subdird 9801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) )  =  ( ( B  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
1842, 17, 19sqdivd 12021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
18516sqvali 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4 ^ 2 )  =  ( 4  x.  4 )
186185, 126eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4 ^ 2 )  = ; 1
6
187186oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) )  =  ( ( A ^
2 )  / ; 1 6 )
188184, 187syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) )
189188oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( B  x.  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
1903, 58, 76, 78divassd 10142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A ^ 2 ) )  / ; 1 6 )  =  ( B  x.  (
( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
1913, 58mulcomd 9407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )
192191oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A ^ 2 ) )  / ; 1 6 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
193189, 190, 1923eqtr2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
194179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 3  /  8
)  e.  CC )
195194, 58, 58mulassd 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
196103, 63, 11, 14div23d 10144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  /  8
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
4 ) ) )
197 2p2e4 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  +  2 )  =  4
198197oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( A ^ 4 )
19981a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
2002, 199, 199expaddd 12010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  +  2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) ) )
201198, 200syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) ) )
202201oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 4 ) )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
203196, 202eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  /  8
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
204103, 63, 11, 14divassd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  /  8
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 4 )  / 
8 ) ) )
205195, 203, 2043eqtr2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^
4 )  /  8
) ) )
206205oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  /  (
4 ^ 2 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 4 )  /  8 ) )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
207186, 76syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ 2 )  e.  CC )
208186, 77eqnetri 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4 ^ 2 )  =/=  0
209208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ 2 )  =/=  0 )
210181, 58, 207, 209divassd 10142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  /  (
4 ^ 2 ) )  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
211103, 64, 207, 209divassd 10142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
4 )  /  8
) )  /  (
4 ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
212206, 210, 2113eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
213184oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
214186oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4 ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )
215128, 214syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
216215oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
217212, 213, 2163eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) ) )
218193, 217oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) )  -  (
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )
219178, 183, 2183eqtrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )
220219oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) ) )
221165, 176, 2203eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
222101, 102, 2213eqtrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
223222negeqd 9604 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  = 
-u ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )
22465, 79, 60, 89addsub4d 9766 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
22599, 223, 2243eqtr3rd 2484 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  =  -u (
( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
226225oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  +  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )  =  ( D  +  -u (
( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
2273, 181subcld 9719 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
228177, 227eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
229228, 182mulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  e.  CC )
230112, 229addcld 9405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
23171, 230negsubd 9725 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  +  -u ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
23296, 226, 2313eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( D  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )  =  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
23393, 95, 2323eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
)  =  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
234233oveq2d 6107 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
235230, 71pncan3d 9722 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  D )
236234, 235eqtr2d 2476 1  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    - cmin 9595   -ucneg 9596    / cdiv 9993   2c2 10371   3c3 10372   4c4 10373   5c5 10374   6c6 10375   8c8 10377   NN0cn0 10579  ;cdc 10755   ^cexp 11865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-seq 11807  df-exp 11866
This theorem is referenced by:  quart1  22251
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