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Theorem quart1lem 23768
Description: Lemma for quart1 23769. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart1.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart1.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
quart1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quart1.y  |-  ( ph  ->  Y  =  ( X  +  ( A  / 
4 ) ) )
Assertion
Ref Expression
quart1lem  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) )

Proof of Theorem quart1lem
StepHypRef Expression
1 quart1.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
2 quart1.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 quart1.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
42, 3mulcld 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
54halfcld 10858 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  2
)  e.  CC )
61, 5subcld 9987 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
7 3nn0 10888 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN0
8 expcl 12290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
92, 7, 8sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
10 8cn 10696 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  8  e.  CC )
12 8nn 10774 . . . . . . . . . . 11  |-  8  e.  NN
1312nnne0i 10645 . . . . . . . . . 10  |-  8  =/=  0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  8  =/=  0 )
159, 11, 14divcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  /  8
)  e.  CC )
16 4cn 10688 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
1716a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
18 4ne0 10707 . . . . . . . . . 10  |-  4  =/=  0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
202, 17, 19divcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  4
)  e.  CC )
216, 15, 20adddird 9669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  x.  ( A  / 
4 ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  x.  ( A  /  4 ) ) ) )
22 quart1.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
2322oveq1d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  x.  ( A  /  4
) ) )
241, 2, 17, 19divassd 10419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  4
)  =  ( C  x.  ( A  / 
4 ) ) )
252sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
2625oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  A )  x.  B ) )
272, 2, 3mul32d 9844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
2826, 27eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
2928oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( A  x.  B
)  x.  A )  /  8 ) )
30 2cn 10681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
31 4t2e8 10764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3216, 30, 31mulcomli 9651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
3332oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  x.  B
)  x.  A )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  x.  A )  /  8
)
3429, 33syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( A  x.  B
)  x.  A )  /  ( 2  x.  4 ) ) )
3530a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
36 2ne0 10703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
384, 35, 2, 17, 37, 19divmuldivd 10425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  x.  A )  / 
( 2  x.  4 ) ) )
3934, 38eqtr4d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
4024, 39oveq12d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  A )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  =  ( ( C  x.  ( A  /  4 ) )  -  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  x.  ( A  /  4
) ) ) )
411, 5, 20subdird 10076 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2
) )  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( C  x.  ( A  / 
4 ) )  -  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  x.  ( A  /  4 ) ) ) )
4240, 41eqtr4d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  A )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
43 df-4 10671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4443oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A ^ 4 )  =  ( A ^ (
3  +  1 ) )
45 expp1 12279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
462, 7, 45sylancl 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
4744, 46syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
4847oveq1d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  8
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  /  8 ) )
499, 2, 11, 14div23d 10421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  /  8
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  A ) )
5048, 49eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  8
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  A ) )
5150oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  x.  A )  /  4 ) )
5215, 2, 17, 19divassd 10419 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  A )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
5351, 52eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
5442, 53oveq12d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  x.  A )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) )  =  ( ( ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  x.  ( A  /  4 ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  ( A  /  4
) ) ) )
5521, 23, 543eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( ( C  x.  A
)  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 ) )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
) ) )
561, 2mulcld 9664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  x.  A
)  e.  CC )
5756, 17, 19divcld 10384 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  4
)  e.  CC )
582sqcld 12414 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
5958, 3mulcld 9664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
6059, 11, 14divcld 10384 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  e.  CC )
61 4nn0 10889 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN0
62 expcl 12290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
632, 61, 62sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
6463, 11, 14divcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  8
)  e.  CC )
6564, 17, 19divcld 10384 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  e.  CC )
6657, 60, 65subadd23d 10009 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  x.  A )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) )  =  ( ( ( C  x.  A
)  /  4 )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) ) ) )
6765, 60subcld 9987 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  e.  CC )
6857, 67addcomd 9836 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  A )  / 
4 )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  / 
4 ) ) )
6955, 66, 683eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  /  4
) ) )
70 quart1.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
71 quart1.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
72 1nn0 10886 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
73 6nn 10772 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
7472, 73decnncl 11065 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 6  e.  NN
7574nncni 10620 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 6  e.  CC
7675a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> ; 1
6  e.  CC )
7774nnne0i 10645 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 6  =/=  0
7877a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> ; 1
6  =/=  0 )
7959, 76, 78divcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  e.  CC )
80 3cn 10685 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
81 2nn0 10887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
82 5nn0 10890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  NN0
8381, 82deccl 11066 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 2 5  e.  NN0
8483, 73decnncl 11065 . . . . . . . . . . 11  |- ;; 2 5 6  e.  NN
8584nncni 10620 . . . . . . . . . 10  |- ;; 2 5 6  e.  CC
8684nnne0i 10645 . . . . . . . . . 10  |- ;; 2 5 6  =/=  0
8780, 85, 86divcli 10350 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC
88 mulcl 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC  /\  ( A ^ 4 )  e.  CC )  ->  (
( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  e.  CC )
8987, 63, 88sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) )  e.  CC )
9079, 89subcld 9987 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  e.  CC )
9171, 90, 57addsubd 10008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  / 
4 ) )  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4
) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
9270, 91eqtr4d 2466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) ) )
9369, 92oveq12d 6320 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
)  =  ( ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) ) ) )
9471, 90addcld 9663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  e.  CC )
9567, 57, 94ppncand 10027 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  /  4
) )  +  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) ) ) ) )
9667, 71, 90add12d 9857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( D  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )  =  ( D  +  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) ) )
9760, 89addcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  e.  CC )
9865, 79addcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  +  ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  e.  CC )
9997, 98negsubdi2d 10003 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
10065, 79addcomd 9836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  +  ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
) ) )
101100oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 ) ) ) )
10260, 89, 79, 65addsub4d 10034 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) ) )
10380a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
10485a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  e.  CC )
10586a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  =/=  0 )
106103, 63, 104, 105divassd 10419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  / ;; 2 5 6 )  =  ( 3  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
107103, 63, 104, 105div23d 10421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  / ;; 2 5 6 )  =  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )
108 1p2e3 10735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  +  2 )  =  3
109108oveq1i 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  +  2 )  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )
110 1cnd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
11163, 104, 105divcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  e.  CC )
112110, 35, 111adddird 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  2 )  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
113109, 112syl5eqr 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
114111mulid2d 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )
115114oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
116113, 115eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
117106, 107, 1163eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
11843oveq1i 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) )  =  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )
11965, 17, 19divcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  e.  CC )
120103, 110, 119adddird 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 1  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) )
121118, 120syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 1  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) )
12265, 17, 19divcan2d 10386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 ) )
123119mulid2d 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )
12464, 17, 17, 19, 19divdiv1d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4  x.  4 ) ) )
125 4t4e16 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 4  x.  4 )  = ; 1
6
126125oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4  x.  4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )
127124, 126syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / ; 1 6 ) )
12863, 11, 76, 14, 78divdiv1d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )  =  ( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) ) )
12910, 75mulcli 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 8  x. ; 1 6 )  e.  CC
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 8  x. ; 1 6 )  e.  CC )
13110, 75, 13, 77mulne0i 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 8  x. ; 1 6 )  =/=  0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 8  x. ; 1 6 )  =/=  0 )
13363, 130, 132divcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) )  e.  CC )
134133, 35, 37divcan2d 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 4 )  / 
( 8  x. ; 1 6 ) ) )
13563, 130, 35, 132, 37divdiv1d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
( 8  x. ; 1 6 ) )  /  2 )  =  ( ( A ^
4 )  /  (
( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 ) ) )
13610, 75, 30mul32i 9830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 )  =  ( ( 8  x.  2 )  x. ; 1 6 )
137 2exp4 15045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2 ^ 4 )  = ; 1
6
138 8t2e16 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
139137, 138eqtr4i 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 8  x.  2 )
140139, 137oveq12i 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  =  ( ( 8  x.  2 )  x. ; 1 6 )
141 4p4e8 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 4  +  4 )  =  8
142141oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ ( 4  +  4 ) )  =  ( 2 ^ 8 )
143 expadd 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  4  e.  NN0  /\  4  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 4  +  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 4 ) ) )
14430, 61, 61, 143mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ ( 4  +  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
2 ^ 4 ) )
145 2exp8 15048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
146142, 144, 1453eqtr3i 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  = ;; 2 5 6
147136, 140, 1463eqtr2i 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 )  = ;; 2 5 6
148147oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A ^ 4 )  /  ( ( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 ) )  =  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )
149135, 148syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
( 8  x. ; 1 6 ) )  /  2 )  =  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )
150149oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
151128, 134, 1503eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )  =  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
152123, 127, 1513eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
153152oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) )  +  ( 1  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
154121, 122, 1533eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
155117, 154oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  -  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) ) )
156 mulcl 9624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) )  e.  CC )
15780, 119, 156sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  e.  CC )
158 mulcl 9624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  e.  CC )
15930, 111, 158sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  e.  CC )
160111, 157, 159pnpcan2d 10025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  -  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )
161155, 160eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) )
162161oveq2d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) ) )
16379, 111, 157addsub12d 10010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) ) )
164162, 163eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) ) ) ) )
16559, 11, 35, 14, 37divdiv1d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  /  2
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  ( 8  x.  2 ) ) )
166138oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  ( 8  x.  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )
167165, 166syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  /  2
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
168167oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
16960, 35, 37divcan2d 10386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )
170792timesd 10856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
171168, 169, 1703eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
172171oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
17379, 79pncand 9988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )
174172, 173eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
175174oveq1d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 ) ) ) )
176 quart1.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
177176oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) ) )  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )
17880, 10, 13divcli 10350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
179 mulcl 9624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
180178, 58, 179sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
18120sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  e.  CC )
1823, 180, 181subdird 10076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) )  =  ( ( B  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
1832, 17, 19sqdivd 12429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
18416sqvali 12354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4 ^ 2 )  =  ( 4  x.  4 )
185184, 125eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4 ^ 2 )  = ; 1
6
186185oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) )  =  ( ( A ^
2 )  / ; 1 6 )
187183, 186syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) )
188187oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( B  x.  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
1893, 58, 76, 78divassd 10419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A ^ 2 ) )  / ; 1 6 )  =  ( B  x.  (
( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
1903, 58mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )
191190oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A ^ 2 ) )  / ; 1 6 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
192188, 189, 1913eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
193178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 3  /  8
)  e.  CC )
194193, 58, 58mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
195103, 63, 11, 14div23d 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  /  8
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
4 ) ) )
196 2p2e4 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  +  2 )  =  4
197196oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( A ^ 4 )
19881a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
1992, 198, 198expaddd 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  +  2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) ) )
200197, 199syl5eqr 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) ) )
201200oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 4 ) )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
202195, 201eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  /  8
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
203103, 63, 11, 14divassd 10419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  /  8
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 4 )  / 
8 ) ) )
204194, 202, 2033eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^
4 )  /  8
) ) )
205204oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  /  (
4 ^ 2 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 4 )  /  8 ) )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
206185, 76syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ 2 )  e.  CC )
207185, 77eqnetri 2720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4 ^ 2 )  =/=  0
208207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ 2 )  =/=  0 )
209180, 58, 206, 208divassd 10419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  /  (
4 ^ 2 ) )  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
210103, 64, 206, 208divassd 10419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
4 )  /  8
) )  /  (
4 ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
211205, 209, 2103eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
212183oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
213185oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4 ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )
214127, 213syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
215214oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
216211, 212, 2153eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) ) )
217192, 216oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) )  -  (
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )
218177, 182, 2173eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )
219218oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) ) )
220164, 175, 2193eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
221101, 102, 2203eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
222221negeqd 9870 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  = 
-u ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )
22365, 79, 60, 89addsub4d 10034 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
22499, 222, 2233eqtr3rd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  =  -u (
( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
225224oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  +  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )  =  ( D  +  -u (
( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
2263, 180subcld 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
227176, 226eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
228227, 181mulcld 9664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  e.  CC )
229111, 228addcld 9663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
23071, 229negsubd 9993 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  +  -u ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
23196, 225, 2303eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( D  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )  =  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
23293, 95, 2313eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
)  =  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
233232oveq2d 6318 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
234229, 71pncan3d 9990 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  D )
235233, 234eqtr2d 2464 1  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618  (class class class)co 6302   CCcc 9538   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    - cmin 9861   -ucneg 9862    / cdiv 10270   2c2 10660   3c3 10661   4c4 10662   5c5 10663   6c6 10664   8c8 10666   NN0cn0 10870  ;cdc 11052   ^cexp 12272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-seq 12214  df-exp 12273
This theorem is referenced by:  quart1  23769
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