MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Structured version   Unicode version

Theorem quart1cl 22367
Description: Closure lemmas for quart 22374. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart1.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart1.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
quart1cl  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
2 quart1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 3cn 10499 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
4 8cn 10510 . . . . . 6  |-  8  e.  CC
5 8nn 10588 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN
65nnne0i 10459 . . . . . 6  |-  8  =/=  0
73, 4, 6divcli 10176 . . . . 5  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
8 quart1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
98sqcld 12109 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
10 mulcl 9469 . . . . 5  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
122, 11subcld 9822 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
131, 12eqeltrd 2539 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
14 quart1.q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
15 quart1.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
168, 2mulcld 9509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
1716halfcld 10672 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  2
)  e.  CC )
1815, 17subcld 9822 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
19 3nn0 10700 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
20 expcl 11986 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
218, 19, 20sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
224a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  8  e.  CC )
236a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  8  =/=  0 )
2421, 22, 23divcld 10210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  /  8
)  e.  CC )
2518, 24addcld 9508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2
) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  e.  CC )
2614, 25eqeltrd 2539 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
27 quart1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
28 quart1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2915, 8mulcld 9509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  A
)  e.  CC )
30 4cn 10502 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
32 4ne0 10521 . . . . . . 7  |-  4  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
3429, 31, 33divcld 10210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  4
)  e.  CC )
3528, 34subcld 9822 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  -  (
( C  x.  A
)  /  4 ) )  e.  CC )
369, 2mulcld 9509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
37 1nn0 10698 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
38 6nn 10586 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
3937, 38decnncl 10871 . . . . . . . 8  |- ; 1 6  e.  NN
4039nncni 10435 . . . . . . 7  |- ; 1 6  e.  CC
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> ; 1
6  e.  CC )
4239nnne0i 10459 . . . . . . 7  |- ; 1 6  =/=  0
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> ; 1
6  =/=  0 )
4436, 41, 43divcld 10210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  e.  CC )
45 2nn0 10699 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
46 5nn0 10702 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN0
4745, 46deccl 10872 . . . . . . . . 9  |- ; 2 5  e.  NN0
4847, 38decnncl 10871 . . . . . . . 8  |- ;; 2 5 6  e.  NN
4948nncni 10435 . . . . . . 7  |- ;; 2 5 6  e.  CC
5048nnne0i 10459 . . . . . . 7  |- ;; 2 5 6  =/=  0
513, 49, 50divcli 10176 . . . . . 6  |-  ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC
52 4nn0 10701 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
53 expcl 11986 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
548, 52, 53sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
55 mulcl 9469 . . . . . 6  |-  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC  /\  ( A ^ 4 )  e.  CC )  ->  (
( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  e.  CC )
5651, 54, 55sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) )  e.  CC )
5744, 56subcld 9822 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  e.  CC )
5835, 57addcld 9508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4
) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  e.  CC )
5927, 58eqeltrd 2539 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
6013, 26, 593jca 1168 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644  (class class class)co 6192   CCcc 9383   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388    x. cmul 9390    - cmin 9698    / cdiv 10096   2c2 10474   3c3 10475   4c4 10476   5c5 10477   6c6 10478   8c8 10480   NN0cn0 10682  ;cdc 10858   ^cexp 11968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-seq 11910  df-exp 11969
This theorem is referenced by:  quart1  22369  quartlem2  22371  quartlem3  22372  quartlem4  22373  quart  22374
  Copyright terms: Public domain W3C validator