MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Structured version   Unicode version

Theorem quart1cl 22224
Description: Closure lemmas for quart 22231. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart1.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart1.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
quart1cl  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
2 quart1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 3cn 10388 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
4 8cn 10399 . . . . . 6  |-  8  e.  CC
5 8nn 10477 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN
65nnne0i 10348 . . . . . 6  |-  8  =/=  0
73, 4, 6divcli 10065 . . . . 5  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
8 quart1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
98sqcld 11998 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
10 mulcl 9358 . . . . 5  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
122, 11subcld 9711 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
131, 12eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
14 quart1.q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
15 quart1.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
168, 2mulcld 9398 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
1716halfcld 10561 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  2
)  e.  CC )
1815, 17subcld 9711 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
19 3nn0 10589 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
20 expcl 11875 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
218, 19, 20sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
224a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  8  e.  CC )
236a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  8  =/=  0 )
2421, 22, 23divcld 10099 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  /  8
)  e.  CC )
2518, 24addcld 9397 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2
) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  e.  CC )
2614, 25eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
27 quart1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
28 quart1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2915, 8mulcld 9398 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  A
)  e.  CC )
30 4cn 10391 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
32 4ne0 10410 . . . . . . 7  |-  4  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
3429, 31, 33divcld 10099 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  4
)  e.  CC )
3528, 34subcld 9711 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  -  (
( C  x.  A
)  /  4 ) )  e.  CC )
369, 2mulcld 9398 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
37 1nn0 10587 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
38 6nn 10475 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
3937, 38decnncl 10760 . . . . . . . 8  |- ; 1 6  e.  NN
4039nncni 10324 . . . . . . 7  |- ; 1 6  e.  CC
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> ; 1
6  e.  CC )
4239nnne0i 10348 . . . . . . 7  |- ; 1 6  =/=  0
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> ; 1
6  =/=  0 )
4436, 41, 43divcld 10099 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  e.  CC )
45 2nn0 10588 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
46 5nn0 10591 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN0
4745, 46deccl 10761 . . . . . . . . 9  |- ; 2 5  e.  NN0
4847, 38decnncl 10760 . . . . . . . 8  |- ;; 2 5 6  e.  NN
4948nncni 10324 . . . . . . 7  |- ;; 2 5 6  e.  CC
5048nnne0i 10348 . . . . . . 7  |- ;; 2 5 6  =/=  0
513, 49, 50divcli 10065 . . . . . 6  |-  ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC
52 4nn0 10590 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
53 expcl 11875 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
548, 52, 53sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
55 mulcl 9358 . . . . . 6  |-  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC  /\  ( A ^ 4 )  e.  CC )  ->  (
( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  e.  CC )
5651, 54, 55sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) )  e.  CC )
5744, 56subcld 9711 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  e.  CC )
5835, 57addcld 9397 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4
) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  e.  CC )
5927, 58eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
6013, 26, 593jca 1168 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587    / cdiv 9985   2c2 10363   3c3 10364   4c4 10365   5c5 10366   6c6 10367   8c8 10369   NN0cn0 10571  ;cdc 10747   ^cexp 11857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-seq 11799  df-exp 11858
This theorem is referenced by:  quart1  22226  quartlem2  22228  quartlem3  22229  quartlem4  22230  quart  22231
  Copyright terms: Public domain W3C validator