MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Structured version   Unicode version

Theorem quart1cl 23636
Description: Closure lemmas for quart 23643. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart1.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart1.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
quart1cl  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
2 quart1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 3cn 10684 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
4 8cn 10695 . . . . . 6  |-  8  e.  CC
5 8nn 10773 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN
65nnne0i 10644 . . . . . 6  |-  8  =/=  0
73, 4, 6divcli 10348 . . . . 5  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
8 quart1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
98sqcld 12411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
10 mulcl 9622 . . . . 5  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
122, 11subcld 9985 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
131, 12eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
14 quart1.q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
15 quart1.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
168, 2mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
1716halfcld 10857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  2
)  e.  CC )
1815, 17subcld 9985 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
19 3nn0 10887 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
20 expcl 12287 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
218, 19, 20sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
224a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  8  e.  CC )
236a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  8  =/=  0 )
2421, 22, 23divcld 10382 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  /  8
)  e.  CC )
2518, 24addcld 9661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2
) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  e.  CC )
2614, 25eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
27 quart1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
28 quart1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2915, 8mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  A
)  e.  CC )
30 4cn 10687 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
32 4ne0 10706 . . . . . . 7  |-  4  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
3429, 31, 33divcld 10382 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  4
)  e.  CC )
3528, 34subcld 9985 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  -  (
( C  x.  A
)  /  4 ) )  e.  CC )
369, 2mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
37 1nn0 10885 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
38 6nn 10771 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
3937, 38decnncl 11064 . . . . . . . 8  |- ; 1 6  e.  NN
4039nncni 10619 . . . . . . 7  |- ; 1 6  e.  CC
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> ; 1
6  e.  CC )
4239nnne0i 10644 . . . . . . 7  |- ; 1 6  =/=  0
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> ; 1
6  =/=  0 )
4436, 41, 43divcld 10382 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  e.  CC )
45 2nn0 10886 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
46 5nn0 10889 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN0
4745, 46deccl 11065 . . . . . . . . 9  |- ; 2 5  e.  NN0
4847, 38decnncl 11064 . . . . . . . 8  |- ;; 2 5 6  e.  NN
4948nncni 10619 . . . . . . 7  |- ;; 2 5 6  e.  CC
5048nnne0i 10644 . . . . . . 7  |- ;; 2 5 6  =/=  0
513, 49, 50divcli 10348 . . . . . 6  |-  ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC
52 4nn0 10888 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
53 expcl 12287 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
548, 52, 53sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
55 mulcl 9622 . . . . . 6  |-  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC  /\  ( A ^ 4 )  e.  CC )  ->  (
( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  e.  CC )
5651, 54, 55sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) )  e.  CC )
5744, 56subcld 9985 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  e.  CC )
5835, 57addcld 9661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4
) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  e.  CC )
5927, 58eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
6013, 26, 593jca 1185 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    - cmin 9859    / cdiv 10268   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   5c5 10662   6c6 10663   8c8 10665   NN0cn0 10869  ;cdc 11051   ^cexp 12269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-seq 12211  df-exp 12270
This theorem is referenced by:  quart1  23638  quartlem2  23640  quartlem3  23641  quartlem4  23642  quart  23643
  Copyright terms: Public domain W3C validator