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Theorem quart1 23769
Description: Depress a quartic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart1.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart1.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
quart1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quart1.y  |-  ( ph  ->  Y  =  ( X  +  ( A  / 
4 ) ) )
Assertion
Ref Expression
quart1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )

Proof of Theorem quart1
StepHypRef Expression
1 quart1.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( X  +  ( A  / 
4 ) ) )
21oveq1d 6317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 4 )  =  ( ( X  +  ( A  /  4 ) ) ^ 4 ) )
3 quart1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4 quart1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 4cn 10688 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
7 4ne0 10707 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
94, 6, 8divcld 10384 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  4
)  e.  CC )
10 binom4 23763 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( A  /  4
)  e.  CC )  ->  ( ( X  +  ( A  / 
4 ) ) ^
4 )  =  ( ( ( X ^
4 )  +  ( 4  x.  ( ( X ^ 3 )  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 4 ) ) ) ) )
113, 9, 10syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( A  /  4
) ) ^ 4 )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4
) ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) ) )  +  ( ( A  /  4
) ^ 4 ) ) ) ) )
12 3nn0 10888 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN0
13 expcl 12290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
143, 12, 13sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
156, 14, 9mul12d 9843 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  x.  ( 4  x.  ( A  /  4
) ) ) )
164, 6, 8divcan2d 10386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( A  /  4 ) )  =  A )
1716oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  x.  (
4  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  x.  A ) )
1814, 4mulcomd 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )
1915, 17, 183eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )
2019oveq2d 6318 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( 4  x.  ( ( X ^ 3 )  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) ) )
21 6nn 10772 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
2221nncni 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  CC
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  6  e.  CC )
249sqcld 12414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  e.  CC )
253sqcld 12414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
2623, 24, 25mulassd 9667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 6  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( 6  x.  ( ( ( A  /  4 ) ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
27 3cn 10685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
28 2cn 10681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
29 3t2e6 10762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
3027, 28, 29mulcomli 9651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
31 8cn 10696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  e.  CC
32 8t2e16 11140 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
3331, 28, 32mulcomli 9651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
3430, 33oveq12i 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  8 ) )  =  ( 6  / ; 1 6 )
35 8nn 10774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN
3635nnne0i 10645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  =/=  0
3731, 36pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )
38 2cnne0 10825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
39 divcan5 10310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
4027, 37, 38, 39mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8
)
4134, 40eqtr3i 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 6  / ; 1 6 )  =  ( 3  /  8
)
4241oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 6  / ; 1 6 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 3  /  8 ) )
434sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
44 1nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
4544, 21decnncl 11065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 1 6  e.  NN
4645nncni 10620 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 6  e.  CC
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> ; 1
6  e.  CC )
4845nnne0i 10645 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 6  =/=  0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> ; 1
6  =/=  0 )
5043, 23, 47, 49div12d 10420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  (
6  / ; 1 6 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  / ; 1 6 ) ) )
5142, 50syl5eqr 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  (
3  /  8 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
5227, 31, 36divcli 10350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
53 mulcom 9626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 3  /  8
) ) )
5452, 43, 53sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 3  /  8
) ) )
554, 6, 8sqdivd 12429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
565sqvali 12354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4 ^ 2 )  =  ( 4  x.  4 )
57 4t4e16 11125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  4 )  = ; 1
6
5856, 57eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4 ^ 2 )  = ; 1
6
5958oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) )  =  ( ( A ^
2 )  / ; 1 6 )
6055, 59syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) )
6160oveq2d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 6  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
6251, 54, 613eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )
6362oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 6  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) ) )
6425, 24mulcomd 9665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  4
) ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
6564oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 6  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( 6  x.  ( ( ( A  /  4 ) ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
6626, 63, 653eqtr4rd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 6  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) ) )
67 expcl 12290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  /  4
)  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  e.  CC )
689, 12, 67sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  e.  CC )
696, 3, 68mul12d 9843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  =  ( X  x.  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) ) ) )
706, 68mulcld 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) )  e.  CC )
713, 70mulcomd 9665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
4  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 3 ) )  x.  X ) )
72 df-3 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =  ( 2  +  1 )
7372oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4 ^ 3 )  =  ( 4 ^ (
2  +  1 ) )
74 2nn0 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN0
75 expp1 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 2 )  x.  4 ) )
765, 74, 75mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4 ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 2 )  x.  4 )
7758oveq1i 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4 ^ 2 )  x.  4 )  =  (; 1 6  x.  4 )
7873, 76, 773eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4 ^ 3 )  =  (; 1 6  x.  4 )
7978oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A ^ 3 )  /  ( 4 ^ 3 ) )  =  ( ( A ^
3 )  /  (; 1 6  x.  4 ) )
8012a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  3  e.  NN0 )
814, 6, 8, 80expdivd 12430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  =  ( ( A ^ 3 )  /  ( 4 ^ 3 ) ) )
82 expcl 12290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
834, 12, 82sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
8483, 47, 6, 49, 8divdiv1d 10415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  /  4 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
(; 1 6  x.  4 ) ) )
8579, 81, 843eqtr4a 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) )
8685oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) ) )
8732oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A ^ 3 )  /  ( 8  x.  2 ) )  =  ( ( A ^
3 )  / ; 1 6 )
8831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  8  e.  CC )
8928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
9036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  8  =/=  0 )
91 2ne0 10703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
9383, 88, 89, 90, 92divdiv1d 10415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  =  ( ( A ^ 3 )  /  ( 8  x.  2 ) ) )
9483, 47, 49divcld 10384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  / ; 1 6 )  e.  CC )
9594, 6, 8divcan2d 10386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( A ^
3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) )  =  ( ( A ^
3 )  / ; 1 6 ) )
9687, 93, 953eqtr4a 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  =  ( 4  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) ) )
9786, 96eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )
9897oveq1d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 ) )  x.  X
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X ) )
9969, 71, 983eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X ) )
100 4nn0 10889 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
101100a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  4  e.  NN0 )
1024, 6, 8, 101expdivd 12430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 4 )  =  ( ( A ^ 4 )  /  ( 4 ^ 4 ) ) )
103 expmul 12317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  4  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  x.  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
4 ) )
10428, 74, 100, 103mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 4 )
105 4t2e8 10764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
1065, 28, 105mulcomli 9651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
107106oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  4 ) )  =  ( 2 ^ 8 )
108104, 107eqtr3i 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 4 )  =  ( 2 ^ 8 )
109 sq2 12371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
110109oveq1i 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 4 )  =  ( 4 ^ 4 )
111108, 110eqtr3i 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 8 )  =  ( 4 ^ 4 )
112 2exp8 15048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
113111, 112eqtr3i 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4 ^ 4 )  = ;; 2 5 6
114113oveq2i 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 4 )  /  ( 4 ^ 4 ) )  =  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )
115102, 114syl6eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 4 )  =  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )
11699, 115oveq12d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( X  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) ) )  +  ( ( A  /  4
) ^ 4 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
11766, 116oveq12d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 6  x.  ( ( X ^
2 )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
11820, 117oveq12d 6320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( 4  x.  (
( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( ( 6  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
4 ) ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) ) )
1192, 11, 1183eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 4 )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) ) )
120119oveq1d 6317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )
121 expcl 12290 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 4 )  e.  CC )
1223, 100, 121sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ 4 )  e.  CC )
1234, 14mulcld 9664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  e.  CC )
124122, 123addcld 9663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  e.  CC )
125 mulcl 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
12652, 43, 125sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
127126, 25mulcld 9664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
12883, 88, 90divcld 10384 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  /  8
)  e.  CC )
129128halfcld 10858 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  e.  CC )
130129, 3mulcld 9664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
131 expcl 12290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
1324, 100, 131sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
133 5nn0 10890 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  NN0
13474, 133deccl 11066 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 5  e.  NN0
135134, 21decnncl 11065 . . . . . . . . . 10  |- ;; 2 5 6  e.  NN
136135nncni 10620 . . . . . . . . 9  |- ;; 2 5 6  e.  CC
137136a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  e.  CC )
138135nnne0i 10645 . . . . . . . . 9  |- ;; 2 5 6  =/=  0
139138a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  =/=  0 )
140132, 137, 139divcld 10384 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  e.  CC )
141130, 140addcld 9663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  e.  CC )
142127, 141addcld 9663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  e.  CC )
143 quart1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
144 quart1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
145 quart1.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
146 quart1.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
147 quart1.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
148 quart1.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
1494, 143, 144, 145, 146, 147, 148quart1cl 23767 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)
150149simp1d 1017 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1513, 9addcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( A  /  4 ) )  e.  CC )
1521, 151eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
153152sqcld 12414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  CC )
154150, 153mulcld 9664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) )  e.  CC )
155124, 142, 154addassd 9666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) ) ) )
156120, 155eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) ) ) )
157156oveq1d 6317 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) ) )
158142, 154addcld 9663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  e.  CC )
159149simp2d 1018 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
160159, 152mulcld 9664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  Y
)  e.  CC )
161149simp3d 1019 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
162160, 161addcld 9663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  Y )  +  R
)  e.  CC )
163124, 158, 162addassd 9666 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R
) )  =  ( ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) ) )
1641oveq1d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  =  ( ( X  +  ( A  /  4 ) ) ^ 2 ) )
165 binom2 12389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( A  /  4
)  e.  CC )  ->  ( ( X  +  ( A  / 
4 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( X ^
2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )
1663, 9, 165syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( A  /  4
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )
1673, 9mulcld 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( A  /  4 ) )  e.  CC )
168 mulcl 9624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( X  x.  ( A  /  4 ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  e.  CC )
16928, 167, 168sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  e.  CC )
17025, 169, 24addassd 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( ( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
171164, 166, 1703eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
172171oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( P  x.  ( ( X ^
2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
173169, 24addcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
174150, 25, 173adddid 9668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
175172, 174eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( P  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
176175oveq2d 6318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
177150, 25mulcld 9664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
178150, 173mulcld 9664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
179127, 141, 177, 178add4d 9859 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
180126, 150, 25adddird 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  +  P )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
181146oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  +  P
)  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  +  ( B  -  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
182126, 143pncan3d 9990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  +  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) ) ) )  =  B )
183181, 182eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  +  P
)  =  B )
184183oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  +  P )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )
185180, 184eqtr3d 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )
186185oveq1d 6317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
187176, 179, 1863eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
188187oveq1d 6317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( ( B  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R
) ) )
189143, 25mulcld 9664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
190141, 178addcld 9663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
191189, 190, 162addassd 9666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R
) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) ) )
1924, 143mulcld 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
193192halfcld 10858 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  2
)  e.  CC )
194193, 128subcld 9987 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( A ^ 3 )  /  8 ) )  e.  CC )
195194, 3mulcld 9664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  X
)  e.  CC )
196150, 24mulcld 9664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  e.  CC )
197140, 196addcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
198159, 3mulcld 9664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  X
)  e.  CC )
199159, 9mulcld 9664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  e.  CC )
200199, 161addcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
)  e.  CC )
201195, 197, 198, 200add4d 9859 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) )  =  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( Q  x.  X
) )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) ) )
202150, 169, 24adddid 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
203202oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
204150, 169mulcld 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  e.  CC )
205130, 140, 204, 196add4d 9859 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) ) )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
2064, 89, 89, 92, 92divdiv1d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
2 )  /  2
)  =  ( A  /  ( 2  x.  2 ) ) )
207 2t2e4 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
208207oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( A  /  4
)
209206, 208syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
2 )  /  2
)  =  ( A  /  4 ) )
210209oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A  /  2
)  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( A  / 
4 ) ) )
2114halfcld 10858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )
212211, 89, 92divcan2d 10386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A  /  2
)  /  2 ) )  =  ( A  /  2 ) )
213210, 212eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( A  / 
2 ) )
214213oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
2  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( X  x.  ( A  / 
2 ) ) )
2153, 211mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( A  /  2 )  x.  X ) )
216214, 215eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
2  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  x.  X ) )
217216oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( X  x.  ( 2  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( P  x.  ( ( A  /  2 )  x.  X ) ) )
21889, 3, 9mul12d 9843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( X  x.  ( 2  x.  ( A  /  4
) ) ) )
219218oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( P  x.  ( X  x.  ( 2  x.  ( A  /  4 ) ) ) ) )
220150, 211, 3mulassd 9667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( A  /  2
) )  x.  X
)  =  ( P  x.  ( ( A  /  2 )  x.  X ) ) )
221217, 219, 2203eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( P  x.  ( A  /  2 ) )  x.  X ) )
222221oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( P  x.  ( A  / 
2 ) )  x.  X ) ) )
223150, 211mulcld 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A  /  2 ) )  e.  CC )
224129, 223, 3adddird 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  x.  X )  =  ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( P  x.  ( A  /  2
) )  x.  X
) ) )
225146oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( A  /  2
) ) )
226143, 126, 211subdird 10076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( B  x.  ( A  / 
2 ) )  -  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  /  2 ) ) ) )
227143, 4, 89, 92divassd 10419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  A )  /  2
)  =  ( B  x.  ( A  / 
2 ) ) )
228143, 4mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  x.  A
)  =  ( A  x.  B ) )
229228oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  A )  /  2
)  =  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )
230227, 229eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )
23172oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
232 expp1 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2334, 74, 232sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
234231, 233syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
235234oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^
2 )  x.  A
) ) )
23627a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
237236, 83, 88, 90div23d 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 3 ) )  /  8
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
3 ) ) )
23852a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 3  /  8
)  e.  CC )
239238, 43, 4mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) ) )
240235, 237, 2393eqtr4rd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( ( 3  x.  ( A ^ 3 ) )  /  8 ) )
241236, 83, 88, 90divassd 10419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 3 ) )  /  8
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
242240, 241eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
243242oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  A )  /  2
)  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  /  2 ) )
244126, 4, 89, 92divassd 10419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  A )  /  2
)  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
245236, 128, 89, 92divassd 10419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  /  2
)  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) )
246243, 244, 2453eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) ) )
247230, 246oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  /  2
) )  -  (
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) )
248225, 226, 2473eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) )
249248oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) ) )
250 mulcl 9624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  e.  CC )
25127, 129, 250sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  e.  CC )
252129, 193, 251addsub12d 10010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  +  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) ) )
253193, 251, 129subsub2d 10016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  -  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  +  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) ) )
254129mulid2d 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )
255254oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  -  (
1  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )  -  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) )
256 3m1e2 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  -  1 )  =  2
257256oveq1i 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  -  1 )  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )
258 1cnd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
259236, 258, 129subdird 10076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 3  -  1 )  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )  -  ( 1  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) ) ) )
260128, 89, 92divcan2d 10386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )
261257, 259, 2603eqtr3a 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  -  (
1  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )
262255, 261eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  -  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )
263262oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  -  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
264252, 253, 2633eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
265249, 264eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
266265oveq1d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  x.  X )  =  ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  x.  X ) )
267222, 224, 2663eqtr2d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X ) )
268267oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) ) )  +  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  x.  X )  +  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
269203, 205, 2683eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  X
)  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
2701oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  Y
)  =  ( Q  x.  ( X  +  ( A  /  4
) ) ) )
271159, 3, 9adddid 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( X  +  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( Q  x.  ( A  /  4
) ) ) )
272270, 271eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  Y
)  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( Q  x.  ( A  /  4
) ) ) )
273272oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  Y )  +  R
)  =  ( ( ( Q  x.  X
)  +  ( Q  x.  ( A  / 
4 ) ) )  +  R ) )
274198, 199, 161addassd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  x.  X )  +  ( Q  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  R )  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) )
275273, 274eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  Y )  +  R
)  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  / 
4 ) )  +  R ) ) )
276269, 275oveq12d 6320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) ) )
277194, 159addcomd 9836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  Q
)  =  ( Q  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) ) ) )
278147oveq1d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) ) )  =  ( ( ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) ) ) )
279144, 193subcld 9987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
280279, 128, 193ppncand 10027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) ) )  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) ) )
281144, 193npcand 9991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2
) )  +  ( ( A  x.  B
)  /  2 ) )  =  C )
282280, 281eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) ) )  =  C )
283277, 278, 2823eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  Q
)  =  C )
284283oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  +  Q )  x.  X
)  =  ( C  x.  X ) )
285194, 159, 3adddird 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  +  Q )  x.  X
)  =  ( ( ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( Q  x.  X ) ) )
286284, 285eqtr3d 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  =  ( ( ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( Q  x.  X ) ) )
2874, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 3, 1quart1lem 23768 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) )
288286, 287oveq12d 6320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  +  D
)  =  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  X
)  +  ( Q  x.  X ) )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) ) )
289201, 276, 2883eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( C  x.  X )  +  D
) )
290289oveq2d 6318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
291188, 191, 2903eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
292291oveq2d 6318 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )  =  ( ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) ) )
293157, 163, 2923eqtrrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618  (class class class)co 6302   CCcc 9538   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    - cmin 9861    / cdiv 10270   2c2 10660   3c3 10661   4c4 10662   5c5 10663   6c6 10664   8c8 10666   NN0cn0 10870  ;cdc 11052   ^cexp 12272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-seq 12214  df-exp 12273
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