MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1 Unicode version

Theorem quart1 20649
Description: Depress a quartic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart1.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart1.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
quart1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quart1.y  |-  ( ph  ->  Y  =  ( X  +  ( A  / 
4 ) ) )
Assertion
Ref Expression
quart1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )

Proof of Theorem quart1
StepHypRef Expression
1 quart1.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( X  +  ( A  / 
4 ) ) )
21oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 4 )  =  ( ( X  +  ( A  /  4 ) ) ^ 4 ) )
3 quart1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4 quart1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 4cn 10030 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
7 4nn 10091 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN
87nnne0i 9990 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
98a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
104, 6, 9divcld 9746 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  4
)  e.  CC )
11 binom4 20643 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( A  /  4
)  e.  CC )  ->  ( ( X  +  ( A  / 
4 ) ) ^
4 )  =  ( ( ( X ^
4 )  +  ( 4  x.  ( ( X ^ 3 )  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 4 ) ) ) ) )
123, 10, 11syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( A  /  4
) ) ^ 4 )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4
) ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) ) )  +  ( ( A  /  4
) ^ 4 ) ) ) ) )
13 3nn0 10195 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN0
14 expcl 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
153, 13, 14sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
166, 15, 10mul12d 9231 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  x.  ( 4  x.  ( A  /  4
) ) ) )
174, 6, 9divcan2d 9748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( A  /  4 ) )  =  A )
1817oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  x.  (
4  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  x.  A ) )
1915, 4mulcomd 9065 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )
2016, 18, 193eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )
2120oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( 4  x.  ( ( X ^ 3 )  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) ) )
22 6nn 10093 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
2322nncni 9966 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  CC
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  6  e.  CC )
2510sqcld 11476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  e.  CC )
263sqcld 11476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
2724, 25, 26mulassd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 6  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( 6  x.  ( ( ( A  /  4 ) ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
28 3cn 10028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
29 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
30 3t2e6 10084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
3128, 29, 30mulcomli 9053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
32 8nn 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN
3332nncni 9966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  e.  CC
34 8t2e16 10426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
3533, 29, 34mulcomli 9053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
3631, 35oveq12i 6052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  8 ) )  =  ( 6  / ; 1 6 )
3732nnne0i 9990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  =/=  0
3833, 37pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )
39 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
4029, 39pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
41 divcan5 9672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
4228, 38, 40, 41mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8
)
4336, 42eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 6  / ; 1 6 )  =  ( 3  /  8
)
4443oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 6  / ; 1 6 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 3  /  8 ) )
454sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
46 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
4746, 22decnncl 10351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 1 6  e.  NN
4847nncni 9966 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 6  e.  CC
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> ; 1
6  e.  CC )
5047nnne0i 9990 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 6  =/=  0
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> ; 1
6  =/=  0 )
5245, 24, 49, 51div12d 9782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  (
6  / ; 1 6 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  / ; 1 6 ) ) )
5344, 52syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  (
3  /  8 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
5428, 33, 37divcli 9712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
55 mulcom 9032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 3  /  8
) ) )
5654, 45, 55sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 3  /  8
) ) )
574, 6, 9sqdivd 11491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
585sqvali 11416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4 ^ 2 )  =  ( 4  x.  4 )
59 4t4e16 10411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  4 )  = ; 1
6
6058, 59eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4 ^ 2 )  = ; 1
6
6160oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) )  =  ( ( A ^
2 )  / ; 1 6 )
6257, 61syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) )
6362oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 6  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
6453, 56, 633eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )
6564oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 6  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) ) )
6626, 25mulcomd 9065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  4
) ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
6766oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 6  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( 6  x.  ( ( ( A  /  4 ) ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
6827, 65, 673eqtr4rd 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 6  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) ) )
69 expcl 11354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  /  4
)  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  e.  CC )
7010, 13, 69sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  e.  CC )
716, 3, 70mul12d 9231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  =  ( X  x.  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) ) ) )
726, 70mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) )  e.  CC )
733, 72mulcomd 9065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
4  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 3 ) )  x.  X ) )
74 df-3 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =  ( 2  +  1 )
7574oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4 ^ 3 )  =  ( 4 ^ (
2  +  1 ) )
76 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN0
77 expp1 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 2 )  x.  4 ) )
785, 76, 77mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4 ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 2 )  x.  4 )
7960oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4 ^ 2 )  x.  4 )  =  (; 1 6  x.  4 )
8075, 78, 793eqtri 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4 ^ 3 )  =  (; 1 6  x.  4 )
8180oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A ^ 3 )  /  ( 4 ^ 3 ) )  =  ( ( A ^
3 )  /  (; 1 6  x.  4 ) )
8213a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  3  e.  NN0 )
834, 6, 9, 82expdivd 11492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  =  ( ( A ^ 3 )  /  ( 4 ^ 3 ) ) )
84 expcl 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
854, 13, 84sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
8685, 49, 6, 51, 9divdiv1d 9777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  /  4 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
(; 1 6  x.  4 ) ) )
8781, 83, 863eqtr4a 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) )
8887oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) ) )
8934oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A ^ 3 )  /  ( 8  x.  2 ) )  =  ( ( A ^
3 )  / ; 1 6 )
9033a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  8  e.  CC )
9129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
9237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  8  =/=  0 )
9339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
9485, 90, 91, 92, 93divdiv1d 9777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  =  ( ( A ^ 3 )  /  ( 8  x.  2 ) ) )
9585, 49, 51divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  / ; 1 6 )  e.  CC )
9695, 6, 9divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( A ^
3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) )  =  ( ( A ^
3 )  / ; 1 6 ) )
9789, 94, 963eqtr4a 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  =  ( 4  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) ) )
9888, 97eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )
9998oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 ) )  x.  X
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X ) )
10071, 73, 993eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X ) )
101 4nn0 10196 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  4  e.  NN0 )
1034, 6, 9, 102expdivd 11492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 4 )  =  ( ( A ^ 4 )  /  ( 4 ^ 4 ) ) )
104 expmul 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  4  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  x.  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
4 ) )
10529, 76, 101, 104mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 4 )
106 4t2e8 10086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
1075, 29, 106mulcomli 9053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
108107oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  4 ) )  =  ( 2 ^ 8 )
109105, 108eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 4 )  =  ( 2 ^ 8 )
110 sq2 11432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
111110oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 4 )  =  ( 4 ^ 4 )
112109, 111eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 8 )  =  ( 4 ^ 4 )
113 2exp8 13378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
114112, 113eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4 ^ 4 )  = ;; 2 5 6
115114oveq2i 6051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 4 )  /  ( 4 ^ 4 ) )  =  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )
116103, 115syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 4 )  =  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )
117100, 116oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( X  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) ) )  +  ( ( A  /  4
) ^ 4 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
11868, 117oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 6  x.  ( ( X ^
2 )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
11921, 118oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( 4  x.  (
( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( ( 6  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
4 ) ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) ) )
1202, 12, 1193eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 4 )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) ) )
121120oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )
122 expcl 11354 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 4 )  e.  CC )
1233, 101, 122sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ 4 )  e.  CC )
1244, 15mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  e.  CC )
125123, 124addcld 9063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  e.  CC )
126 mulcl 9030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
12754, 45, 126sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
128127, 26mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
12985, 90, 92divcld 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  /  8
)  e.  CC )
130129halfcld 10168 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  e.  CC )
131130, 3mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
132 expcl 11354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
1334, 101, 132sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
134 5nn0 10197 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  NN0
13576, 134deccl 10352 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 5  e.  NN0
136135, 22decnncl 10351 . . . . . . . . . 10  |- ;; 2 5 6  e.  NN
137136nncni 9966 . . . . . . . . 9  |- ;; 2 5 6  e.  CC
138137a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  e.  CC )
139136nnne0i 9990 . . . . . . . . 9  |- ;; 2 5 6  =/=  0
140139a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  =/=  0 )
141133, 138, 140divcld 9746 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  e.  CC )
142131, 141addcld 9063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  e.  CC )
143128, 142addcld 9063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  e.  CC )
144 quart1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
145 quart1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
146 quart1.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
147 quart1.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
148 quart1.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
149 quart1.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
1504, 144, 145, 146, 147, 148, 149quart1cl 20647 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)
151150simp1d 969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1523, 10addcld 9063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( A  /  4 ) )  e.  CC )
1531, 152eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
154153sqcld 11476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  CC )
155151, 154mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) )  e.  CC )
156125, 143, 155addassd 9066 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) ) ) )
157121, 156eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) ) ) )
158157oveq1d 6055 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) ) )
159143, 155addcld 9063 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  e.  CC )
160150simp2d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
161160, 153mulcld 9064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  Y
)  e.  CC )
162150simp3d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
163161, 162addcld 9063 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  Y )  +  R
)  e.  CC )
164125, 159, 163addassd 9066 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R
) )  =  ( ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) ) )
1651oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  =  ( ( X  +  ( A  /  4 ) ) ^ 2 ) )
166 binom2 11451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( A  /  4
)  e.  CC )  ->  ( ( X  +  ( A  / 
4 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( X ^
2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )
1673, 10, 166syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( A  /  4
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )
1683, 10mulcld 9064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( A  /  4 ) )  e.  CC )
169 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( X  x.  ( A  /  4 ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  e.  CC )
17029, 168, 169sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  e.  CC )
17126, 170, 25addassd 9066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( ( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
172165, 167, 1713eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
173172oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( P  x.  ( ( X ^
2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
174170, 25addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
175151, 26, 174adddid 9068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
176173, 175eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( P  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
177176oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
178151, 26mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
179151, 174mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
180128, 142, 178, 179add4d 9245 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
181127, 151, 26adddird 9069 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  +  P )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
182147oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  +  P
)  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  +  ( B  -  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
183127, 144pncan3d 9370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  +  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) ) ) )  =  B )
184182, 183eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  +  P
)  =  B )
185184oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  +  P )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )
186181, 185eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )
187186oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
188177, 180, 1873eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
189188oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( ( B  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R
) ) )
190144, 26mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
191142, 179addcld 9063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
192190, 191, 163addassd 9066 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R
) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) ) )
1934, 144mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
194193halfcld 10168 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  2
)  e.  CC )
195194, 129subcld 9367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( A ^ 3 )  /  8 ) )  e.  CC )
196195, 3mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  X
)  e.  CC )
197151, 25mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  e.  CC )
198141, 197addcld 9063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
199160, 3mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  X
)  e.  CC )
200160, 10mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  e.  CC )
201200, 162addcld 9063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
)  e.  CC )
202196, 198, 199, 201add4d 9245 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) )  =  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( Q  x.  X
) )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) ) )
203151, 170, 25adddid 9068 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
204203oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
205151, 170mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  e.  CC )
206131, 141, 205, 197add4d 9245 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) ) )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
2074, 91, 91, 93, 93divdiv1d 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
2 )  /  2
)  =  ( A  /  ( 2  x.  2 ) ) )
208 2t2e4 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
209208oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( A  /  4
)
210207, 209syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
2 )  /  2
)  =  ( A  /  4 ) )
211210oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A  /  2
)  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( A  / 
4 ) ) )
2124halfcld 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )
213212, 91, 93divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A  /  2
)  /  2 ) )  =  ( A  /  2 ) )
214211, 213eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( A  / 
2 ) )
215214oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
2  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( X  x.  ( A  / 
2 ) ) )
2163, 212mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( A  /  2 )  x.  X ) )
217215, 216eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
2  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  x.  X ) )
218217oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( X  x.  ( 2  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( P  x.  ( ( A  /  2 )  x.  X ) ) )
21991, 3, 10mul12d 9231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( X  x.  ( 2  x.  ( A  /  4
) ) ) )
220219oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( P  x.  ( X  x.  ( 2  x.  ( A  /  4 ) ) ) ) )
221151, 212, 3mulassd 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( A  /  2
) )  x.  X
)  =  ( P  x.  ( ( A  /  2 )  x.  X ) ) )
222218, 220, 2213eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( P  x.  ( A  /  2 ) )  x.  X ) )
223222oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( P  x.  ( A  / 
2 ) )  x.  X ) ) )
224151, 212mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A  /  2 ) )  e.  CC )
225130, 224, 3adddird 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  x.  X )  =  ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( P  x.  ( A  /  2
) )  x.  X
) ) )
226147oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( A  /  2
) ) )
227144, 127, 212subdird 9446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( B  x.  ( A  / 
2 ) )  -  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  /  2 ) ) ) )
228144, 4, 91, 93divassd 9781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  A )  /  2
)  =  ( B  x.  ( A  / 
2 ) ) )
229144, 4mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  x.  A
)  =  ( A  x.  B ) )
230229oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  A )  /  2
)  =  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )
231228, 230eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )
23274oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
233 expp1 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2344, 76, 233sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
235232, 234syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
236235oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^
2 )  x.  A
) ) )
23728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
238237, 85, 90, 92div23d 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 3 ) )  /  8
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
3 ) ) )
23954a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 3  /  8
)  e.  CC )
240239, 45, 4mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) ) )
241236, 238, 2403eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( ( 3  x.  ( A ^ 3 ) )  /  8 ) )
242237, 85, 90, 92divassd 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 3 ) )  /  8
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
243241, 242eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
244243oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  A )  /  2
)  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  /  2 ) )
245127, 4, 91, 93divassd 9781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  A )  /  2
)  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
246237, 129, 91, 93divassd 9781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  /  2
)  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) )
247244, 245, 2463eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) ) )
248231, 247oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  /  2
) )  -  (
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) )
249226, 227, 2483eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) )
250249oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) ) )
251 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  e.  CC )
25228, 130, 251sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  e.  CC )
253130, 194, 252addsub12d 9390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  +  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) ) )
254194, 252, 130subsub2d 9396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  -  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  +  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) ) )
255130mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )
256255oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  -  (
1  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )  -  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) )
257 3m1e2 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  -  1 )  =  2
258257oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  -  1 )  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )
259 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
260259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
261237, 260, 130subdird 9446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 3  -  1 )  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )  -  ( 1  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) ) ) )
262129, 91, 93divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )
263258, 261, 2623eqtr3a 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  -  (
1  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )
264256, 263eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  -  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )
265264oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  -  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
266253, 254, 2653eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
267250, 266eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
268267oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  x.  X )  =  ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  x.  X ) )
269223, 225, 2683eqtr2d 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X ) )
270269oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) ) )  +  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  x.  X )  +  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
271204, 206, 2703eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  X
)  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
2721oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  Y
)  =  ( Q  x.  ( X  +  ( A  /  4
) ) ) )
273160, 3, 10adddid 9068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( X  +  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( Q  x.  ( A  /  4
) ) ) )
274272, 273eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  Y
)  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( Q  x.  ( A  /  4
) ) ) )
275274oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  Y )  +  R
)  =  ( ( ( Q  x.  X
)  +  ( Q  x.  ( A  / 
4 ) ) )  +  R ) )
276199, 200, 162addassd 9066 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  x.  X )  +  ( Q  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  R )  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) )
277275, 276eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  Y )  +  R
)  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  / 
4 ) )  +  R ) ) )
278271, 277oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) ) )
279195, 160addcomd 9224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  Q
)  =  ( Q  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) ) ) )
280148oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) ) )  =  ( ( ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) ) ) )
281145, 194subcld 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
282281, 129, 194ppncand 9407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) ) )  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) ) )
283145, 194npcand 9371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2
) )  +  ( ( A  x.  B
)  /  2 ) )  =  C )
284282, 283eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) ) )  =  C )
285279, 280, 2843eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  Q
)  =  C )
286285oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  +  Q )  x.  X
)  =  ( C  x.  X ) )
287195, 160, 3adddird 9069 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  +  Q )  x.  X
)  =  ( ( ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( Q  x.  X ) ) )
288286, 287eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  =  ( ( ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( Q  x.  X ) ) )
2894, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 3, 1quart1lem 20648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) )
290288, 289oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  +  D
)  =  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  X
)  +  ( Q  x.  X ) )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) ) )
291202, 278, 2903eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( C  x.  X )  +  D
) )
292291oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
293189, 192, 2923eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
294293oveq2d 6056 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )  =  ( ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) ) )
295158, 164, 2943eqtrrd 2441 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   5c5 10008   6c6 10009   8c8 10011   NN0cn0 10177  ;cdc 10338   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  quart  20654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-seq 11279  df-exp 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator