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Theorem quart1 22210
Description: Depress a quartic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart1.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart1.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
quart1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quart1.y  |-  ( ph  ->  Y  =  ( X  +  ( A  / 
4 ) ) )
Assertion
Ref Expression
quart1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )

Proof of Theorem quart1
StepHypRef Expression
1 quart1.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( X  +  ( A  / 
4 ) ) )
21oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 4 )  =  ( ( X  +  ( A  /  4 ) ) ^ 4 ) )
3 quart1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4 quart1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 4cn 10395 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
7 4ne0 10414 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
94, 6, 8divcld 10103 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  4
)  e.  CC )
10 binom4 22204 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( A  /  4
)  e.  CC )  ->  ( ( X  +  ( A  / 
4 ) ) ^
4 )  =  ( ( ( X ^
4 )  +  ( 4  x.  ( ( X ^ 3 )  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 4 ) ) ) ) )
113, 9, 10syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( A  /  4
) ) ^ 4 )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4
) ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) ) )  +  ( ( A  /  4
) ^ 4 ) ) ) ) )
12 3nn0 10593 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN0
13 expcl 11879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
143, 12, 13sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
156, 14, 9mul12d 9574 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  x.  ( 4  x.  ( A  /  4
) ) ) )
164, 6, 8divcan2d 10105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( A  /  4 ) )  =  A )
1716oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  x.  (
4  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  x.  A ) )
1814, 4mulcomd 9403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )
1915, 17, 183eqtrd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )
2019oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( 4  x.  ( ( X ^ 3 )  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) ) )
21 6nn 10479 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
2221nncni 10328 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  CC
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  6  e.  CC )
249sqcld 12002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  e.  CC )
253sqcld 12002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
2623, 24, 25mulassd 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 6  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( 6  x.  ( ( ( A  /  4 ) ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
27 3cn 10392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
28 2cn 10388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
29 3t2e6 10469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
3027, 28, 29mulcomli 9389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
31 8cn 10403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  e.  CC
32 8t2e16 10839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
3331, 28, 32mulcomli 9389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
3430, 33oveq12i 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  8 ) )  =  ( 6  / ; 1 6 )
35 8nn 10481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN
3635nnne0i 10352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  =/=  0
3731, 36pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )
38 2cnne0 10532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
39 divcan5 10029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
4027, 37, 38, 39mp3an 1309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8
)
4134, 40eqtr3i 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 6  / ; 1 6 )  =  ( 3  /  8
)
4241oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 6  / ; 1 6 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 3  /  8 ) )
434sqcld 12002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
44 1nn0 10591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
4544, 21decnncl 10764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 1 6  e.  NN
4645nncni 10328 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 6  e.  CC
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> ; 1
6  e.  CC )
4845nnne0i 10352 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 6  =/=  0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> ; 1
6  =/=  0 )
5043, 23, 47, 49div12d 10139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  (
6  / ; 1 6 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  / ; 1 6 ) ) )
5142, 50syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  (
3  /  8 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
5227, 31, 36divcli 10069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
53 mulcom 9364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 3  /  8
) ) )
5452, 43, 53sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 3  /  8
) ) )
554, 6, 8sqdivd 12017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
565sqvali 11941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4 ^ 2 )  =  ( 4  x.  4 )
57 4t4e16 10824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  4 )  = ; 1
6
5856, 57eqtri 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4 ^ 2 )  = ; 1
6
5958oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) )  =  ( ( A ^
2 )  / ; 1 6 )
6055, 59syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) )
6160oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 6  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
6251, 54, 613eqtr4d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( 6  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )
6362oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 6  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) ) )
6425, 24mulcomd 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  4
) ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
6564oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 6  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( 6  x.  ( ( ( A  /  4 ) ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
6626, 63, 653eqtr4rd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 6  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) ) )
67 expcl 11879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  /  4
)  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  e.  CC )
689, 12, 67sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  e.  CC )
696, 3, 68mul12d 9574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  =  ( X  x.  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) ) ) )
706, 68mulcld 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) )  e.  CC )
713, 70mulcomd 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
4  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 3 ) )  x.  X ) )
72 df-3 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =  ( 2  +  1 )
7372oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4 ^ 3 )  =  ( 4 ^ (
2  +  1 ) )
74 2nn0 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN0
75 expp1 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 2 )  x.  4 ) )
765, 74, 75mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4 ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 2 )  x.  4 )
7758oveq1i 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4 ^ 2 )  x.  4 )  =  (; 1 6  x.  4 )
7873, 76, 773eqtri 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4 ^ 3 )  =  (; 1 6  x.  4 )
7978oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A ^ 3 )  /  ( 4 ^ 3 ) )  =  ( ( A ^
3 )  /  (; 1 6  x.  4 ) )
8012a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  3  e.  NN0 )
814, 6, 8, 80expdivd 12018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  =  ( ( A ^ 3 )  /  ( 4 ^ 3 ) ) )
82 expcl 11879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
834, 12, 82sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
8483, 47, 6, 49, 8divdiv1d 10134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  /  4 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
(; 1 6  x.  4 ) ) )
8579, 81, 843eqtr4a 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) )
8685oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) ) )
8732oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A ^ 3 )  /  ( 8  x.  2 ) )  =  ( ( A ^
3 )  / ; 1 6 )
8831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  8  e.  CC )
8928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
9036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  8  =/=  0 )
91 2ne0 10410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
9383, 88, 89, 90, 92divdiv1d 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  =  ( ( A ^ 3 )  /  ( 8  x.  2 ) ) )
9483, 47, 49divcld 10103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  / ; 1 6 )  e.  CC )
9594, 6, 8divcan2d 10105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( A ^
3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) )  =  ( ( A ^
3 )  / ; 1 6 ) )
9687, 93, 953eqtr4a 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  =  ( 4  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / ; 1 6 )  / 
4 ) ) )
9786, 96eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )
9897oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 3 ) )  x.  X
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X ) )
9969, 71, 983eqtrd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X ) )
100 4nn0 10594 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
101100a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  4  e.  NN0 )
1024, 6, 8, 101expdivd 12018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 4 )  =  ( ( A ^ 4 )  /  ( 4 ^ 4 ) ) )
103 expmul 11905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  4  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  x.  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
4 ) )
10428, 74, 100, 103mp3an 1309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 4 )
105 4t2e8 10471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
1065, 28, 105mulcomli 9389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
107106oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  4 ) )  =  ( 2 ^ 8 )
108104, 107eqtr3i 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 4 )  =  ( 2 ^ 8 )
109 sq2 11958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
110109oveq1i 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 4 )  =  ( 4 ^ 4 )
111108, 110eqtr3i 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 8 )  =  ( 4 ^ 4 )
112 2exp8 14112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
113111, 112eqtr3i 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4 ^ 4 )  = ;; 2 5 6
114113oveq2i 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 4 )  /  ( 4 ^ 4 ) )  =  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )
115102, 114syl6eq 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 4 )  =  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )
11699, 115oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( X  x.  (
( A  /  4
) ^ 3 ) ) )  +  ( ( A  /  4
) ^ 4 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
11766, 116oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 6  x.  ( ( X ^
2 )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
11820, 117oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( 4  x.  (
( X ^ 3 )  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( ( 6  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( X  x.  ( ( A  /  4 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
4 ) ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) ) )
1192, 11, 1183eqtrd 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 4 )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) ) )
120119oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )
121 expcl 11879 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 4 )  e.  CC )
1223, 100, 121sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ 4 )  e.  CC )
1234, 14mulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  e.  CC )
124122, 123addcld 9401 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  e.  CC )
125 mulcl 9362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
12652, 43, 125sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
127126, 25mulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
12883, 88, 90divcld 10103 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  /  8
)  e.  CC )
129128halfcld 10565 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  e.  CC )
130129, 3mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
131 expcl 11879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
1324, 100, 131sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
133 5nn0 10595 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  NN0
13474, 133deccl 10765 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 5  e.  NN0
135134, 21decnncl 10764 . . . . . . . . . 10  |- ;; 2 5 6  e.  NN
136135nncni 10328 . . . . . . . . 9  |- ;; 2 5 6  e.  CC
137136a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  e.  CC )
138135nnne0i 10352 . . . . . . . . 9  |- ;; 2 5 6  =/=  0
139138a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  =/=  0 )
140132, 137, 139divcld 10103 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  e.  CC )
141130, 140addcld 9401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  e.  CC )
142127, 141addcld 9401 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  e.  CC )
143 quart1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
144 quart1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
145 quart1.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
146 quart1.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
147 quart1.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
148 quart1.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
1494, 143, 144, 145, 146, 147, 148quart1cl 22208 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)
150149simp1d 995 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1513, 9addcld 9401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( A  /  4 ) )  e.  CC )
1521, 151eqeltrd 2515 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
153152sqcld 12002 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  CC )
154150, 153mulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) )  e.  CC )
155124, 142, 154addassd 9404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) ) ) )
156120, 155eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) ) ) )
157156oveq1d 6105 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^
3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) ) )
158142, 154addcld 9401 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  e.  CC )
159149simp2d 996 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
160159, 152mulcld 9402 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  Y
)  e.  CC )
161149simp3d 997 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
162160, 161addcld 9401 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  Y )  +  R
)  e.  CC )
163124, 158, 162addassd 9404 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R
) )  =  ( ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) ) )
1641oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  =  ( ( X  +  ( A  /  4 ) ) ^ 2 ) )
165 binom2 11977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( A  /  4
)  e.  CC )  ->  ( ( X  +  ( A  / 
4 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( X ^
2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )
1663, 9, 165syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( A  /  4
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )
1673, 9mulcld 9402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( A  /  4 ) )  e.  CC )
168 mulcl 9362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( X  x.  ( A  /  4 ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  e.  CC )
16928, 167, 168sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  e.  CC )
17025, 169, 24addassd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( ( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
171164, 166, 1703eqtrd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
172171oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( P  x.  ( ( X ^
2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
173169, 24addcld 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
174150, 25, 173adddid 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
175172, 174eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( P  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
176175oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
177150, 25mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
178150, 173mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
179127, 141, 177, 178add4d 9589 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( ( P  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
180126, 150, 25adddird 9407 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  +  P )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
181146oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  +  P
)  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  +  ( B  -  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
182126, 143pncan3d 9718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  +  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) ) ) )  =  B )
183181, 182eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  +  P
)  =  B )
184183oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  +  P )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )
185180, 184eqtr3d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )
186185oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( P  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
187176, 179, 1863eqtrd 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
188187oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( ( B  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R
) ) )
189143, 25mulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
190141, 178addcld 9401 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
191189, 190, 162addassd 9404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R
) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) ) )
1924, 143mulcld 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
193192halfcld 10565 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  2
)  e.  CC )
194193, 128subcld 9715 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( A ^ 3 )  /  8 ) )  e.  CC )
195194, 3mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  X
)  e.  CC )
196150, 24mulcld 9402 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  e.  CC )
197140, 196addcld 9401 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
198159, 3mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  X
)  e.  CC )
199159, 9mulcld 9402 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  e.  CC )
200199, 161addcld 9401 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
)  e.  CC )
201195, 197, 198, 200add4d 9589 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) )  =  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( Q  x.  X
) )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) ) )
202150, 169, 24adddid 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
203202oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
204150, 169mulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  e.  CC )
205130, 140, 204, 196add4d 9589 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) ) )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) ) )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
2064, 89, 89, 92, 92divdiv1d 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
2 )  /  2
)  =  ( A  /  ( 2  x.  2 ) ) )
207 2t2e4 10467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
208207oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( A  /  4
)
209206, 208syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
2 )  /  2
)  =  ( A  /  4 ) )
210209oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A  /  2
)  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( A  / 
4 ) ) )
2114halfcld 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )
212211, 89, 92divcan2d 10105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A  /  2
)  /  2 ) )  =  ( A  /  2 ) )
213210, 212eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( A  / 
2 ) )
214213oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
2  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( X  x.  ( A  / 
2 ) ) )
2153, 211mulcomd 9403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( A  /  2 )  x.  X ) )
216214, 215eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
2  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  x.  X ) )
217216oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( X  x.  ( 2  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( P  x.  ( ( A  /  2 )  x.  X ) ) )
21889, 3, 9mul12d 9574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  =  ( X  x.  ( 2  x.  ( A  /  4
) ) ) )
219218oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( P  x.  ( X  x.  ( 2  x.  ( A  /  4 ) ) ) ) )
220150, 211, 3mulassd 9405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( A  /  2
) )  x.  X
)  =  ( P  x.  ( ( A  /  2 )  x.  X ) ) )
221217, 219, 2203eqtr4d 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( P  x.  ( A  /  2 ) )  x.  X ) )
222221oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( P  x.  ( A  / 
2 ) )  x.  X ) ) )
223150, 211mulcld 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A  /  2 ) )  e.  CC )
224129, 223, 3adddird 9407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  x.  X )  =  ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( P  x.  ( A  /  2
) )  x.  X
) ) )
225146oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( A  /  2
) ) )
226143, 126, 211subdird 9797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( B  x.  ( A  / 
2 ) )  -  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  /  2 ) ) ) )
227143, 4, 89, 92divassd 10138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  A )  /  2
)  =  ( B  x.  ( A  / 
2 ) ) )
228143, 4mulcomd 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  x.  A
)  =  ( A  x.  B ) )
229228oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  A )  /  2
)  =  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )
230227, 229eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )
23172oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
232 expp1 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2334, 74, 232sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
234231, 233syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
235234oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^
2 )  x.  A
) ) )
23627a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
237236, 83, 88, 90div23d 10140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 3 ) )  /  8
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
3 ) ) )
23852a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 3  /  8
)  e.  CC )
239238, 43, 4mulassd 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) ) )
240235, 237, 2393eqtr4rd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( ( 3  x.  ( A ^ 3 ) )  /  8 ) )
241236, 83, 88, 90divassd 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 3 ) )  /  8
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
242240, 241eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
243242oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  A )  /  2
)  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  /  2 ) )
244126, 4, 89, 92divassd 10138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  A )  /  2
)  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
245236, 128, 89, 92divassd 10138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  /  2
)  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) )
246243, 244, 2453eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) ) )
247230, 246oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  /  2
) )  -  (
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) )
248225, 226, 2473eqtrd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) )
249248oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) ) )
250 mulcl 9362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  e.  CC )
25127, 129, 250sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  e.  CC )
252129, 193, 251addsub12d 9738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  +  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) ) )
253193, 251, 129subsub2d 9744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  -  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  +  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  -  ( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) ) ) ) )
254129mulid2d 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )
255254oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  -  (
1  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )  -  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) )
256 3m1e2 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  -  1 )  =  2
257256oveq1i 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  -  1 )  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )
258 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
260236, 259, 129subdird 9797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 3  -  1 )  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) )  -  ( 1  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) ) ) )
261128, 89, 92divcan2d 10105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )
262257, 260, 2613eqtr3a 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  -  (
1  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )
263255, 262eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
) )  -  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )
264263oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( 3  x.  (
( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 ) )  -  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
265252, 253, 2643eqtr2d 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
266249, 265eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
267266oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  +  ( P  x.  ( A  /  2 ) ) )  x.  X )  =  ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  x.  X ) )
268222, 224, 2673eqtr2d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X ) )
269268oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( P  x.  (
2  x.  ( X  x.  ( A  / 
4 ) ) ) ) )  +  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  x.  X )  +  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
270203, 205, 2693eqtrd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  X
)  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
2711oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  Y
)  =  ( Q  x.  ( X  +  ( A  /  4
) ) ) )
272159, 3, 9adddid 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( X  +  ( A  /  4 ) ) )  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( Q  x.  ( A  /  4
) ) ) )
273271, 272eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  Y
)  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( Q  x.  ( A  /  4
) ) ) )
274273oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  Y )  +  R
)  =  ( ( ( Q  x.  X
)  +  ( Q  x.  ( A  / 
4 ) ) )  +  R ) )
275198, 199, 161addassd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  x.  X )  +  ( Q  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  R )  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) )
276274, 275eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  Y )  +  R
)  =  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  / 
4 ) )  +  R ) ) )
277270, 276oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  X )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
) ) ) )
278194, 159addcomd 9567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  Q
)  =  ( Q  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) ) ) )
279147oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) ) )  =  ( ( ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) ) ) )
280144, 193subcld 9715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
281280, 128, 193ppncand 9755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) ) )  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) ) )
282144, 193npcand 9719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2
) )  +  ( ( A  x.  B
)  /  2 ) )  =  C )
283281, 282eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  ( ( ( A  x.  B )  /  2
)  -  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) ) )  =  C )
284278, 279, 2833eqtrd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  +  Q
)  =  C )
285284oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  +  Q )  x.  X
)  =  ( C  x.  X ) )
286194, 159, 3adddird 9407 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  -  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  +  Q )  x.  X
)  =  ( ( ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( Q  x.  X ) ) )
287285, 286eqtr3d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  =  ( ( ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  -  (
( A ^ 3 )  /  8 ) )  x.  X )  +  ( Q  x.  X ) ) )
2884, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 3, 1quart1lem 22209 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) )
289287, 288oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  +  D
)  =  ( ( ( ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  -  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  X
)  +  ( Q  x.  X ) )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) ) )
290201, 277, 2893eqtr4d 2483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  /  2
)  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4
) ) )  +  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( C  x.  X )  +  D
) )
291290oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( P  x.  ( ( 2  x.  ( X  x.  ( A  /  4 ) ) )  +  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
292188, 191, 2913eqtrd 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  /  2 )  x.  X )  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^
2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y )  +  R ) )  =  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
293292oveq2d 6106 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  / 
2 )  x.  X
)  +  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )  =  ( ( ( X ^
4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) ) )
294157, 163, 2933eqtrrd 2478 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( A  x.  ( X ^ 3 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 4 )  +  ( P  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  Y
)  +  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    - cmin 9591    / cdiv 9989   2c2 10367   3c3 10368   4c4 10369   5c5 10370   6c6 10371   8c8 10373   NN0cn0 10575  ;cdc 10751   ^cexp 11861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-seq 11803  df-exp 11862
This theorem is referenced by:  quart  22215
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