Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart Structured version   Unicode version

Theorem quart 23729
 Description: The quartic equation, writing out all roots using square and cube root functions so that only direct substitutions remain, and we can actually claim to have a "quartic equation". Naturally, this theorem is ridiculously long (see quartfull 29840) if all the substitutions are performed. This is Metamath 100 proof #46. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a
quart.b
quart.c
quart.d
quart.x
quart.e
quart.p
quart.q
quart.r ; ;;
quart.u ;
quart.v ; ;
quart.w
quart.s
quart.m
quart.t
quart.t0
quart.m0
quart.i
quart.j
Assertion
Ref Expression
quart

Proof of Theorem quart
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 quart.a . . . 4
2 quart.b . . . 4
3 quart.c . . . 4
4 quart.d . . . 4
5 quart.p . . . 4
6 quart.q . . . 4
7 quart.r . . . 4 ; ;;
8 quart.x . . . 4
9 quart.e . . . . . 6
109oveq2d 6265 . . . . 5
11 4cn 10638 . . . . . . . 8
1211a1i 11 . . . . . . 7
13 4ne0 10657 . . . . . . . 8
1413a1i 11 . . . . . . 7
151, 12, 14divcld 10334 . . . . . 6
168, 15subnegd 9944 . . . . 5
1710, 16eqtrd 2462 . . . 4
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17quart1 23724 . . 3
1918eqeq1d 2430 . 2
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7quart1cl 23722 . . . 4
2120simp1d 1017 . . 3
2220simp2d 1018 . . 3
2315negcld 9924 . . . . 5
249, 23eqeltrd 2506 . . . 4
258, 24subcld 9937 . . 3
26 quart.u . . . . 5 ;
27 quart.v . . . . 5 ; ;
28 quart.w . . . . 5
29 quart.s . . . . 5
30 quart.m . . . . 5
31 quart.t . . . . 5
32 quart.t0 . . . . 5
331, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32quartlem3 23727 . . . 4
3433simp1d 1017 . . 3
3529oveq2d 6265 . . . . . 6
3633simp2d 1018 . . . . . . . 8
3736sqrtcld 13442 . . . . . . 7
38 2cnd 10633 . . . . . . 7
39 2ne0 10653 . . . . . . . 8
4039a1i 11 . . . . . . 7
4137, 38, 40divcan2d 10336 . . . . . 6
4235, 41eqtrd 2462 . . . . 5
4342oveq1d 6264 . . . 4
4436sqsqrtd 13444 . . . 4
4543, 44eqtr2d 2463 . . 3
46 quart.m0 . . 3
47 quart.i . . . . 5
48 quart.j . . . . 5
491, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 46, 47, 48quartlem4 23728 . . . 4
5049simp2d 1018 . . 3
5147oveq1d 6264 . . . 4
5234sqcld 12364 . . . . . . . 8
5352negcld 9924 . . . . . . 7
5421halfcld 10808 . . . . . . 7
5553, 54subcld 9937 . . . . . 6
5622, 12, 14divcld 10334 . . . . . . 7
5749simp1d 1017 . . . . . . 7
5856, 34, 57divcld 10334 . . . . . 6
5955, 58addcld 9613 . . . . 5
6059sqsqrtd 13444 . . . 4
6151, 60eqtrd 2462 . . 3
6220simp3d 1019 . . 3
63 1cnd 9610 . . . . 5
64 3z 10921 . . . . . 6
65 1exp 12251 . . . . . 6
6664, 65mp1i 13 . . . . 5
6733simp3d 1019 . . . . . . . . . . 11
6867mulid2d 9612 . . . . . . . . . 10
6968oveq2d 6265 . . . . . . . . 9
7068oveq2d 6265 . . . . . . . . 9
7169, 70oveq12d 6267 . . . . . . . 8
7271oveq1d 6264 . . . . . . 7
7372negeqd 9820 . . . . . 6
7430, 73eqtr4d 2465 . . . . 5
75 oveq1 6256 . . . . . . . 8
7675eqeq1d 2430 . . . . . . 7
77 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . 12
7877oveq2d 6265 . . . . . . . . . . 11
7977oveq2d 6265 . . . . . . . . . . 11
8078, 79oveq12d 6267 . . . . . . . . . 10
8180oveq1d 6264 . . . . . . . . 9
8281negeqd 9820 . . . . . . . 8
8382eqeq2d 2438 . . . . . . 7
8476, 83anbi12d 715 . . . . . 6
8584rspcev 3125 . . . . 5
8663, 66, 74, 85syl12anc 1262 . . . 4
87 2cn 10631 . . . . . 6
88 mulcl 9574 . . . . . 6
8987, 21, 88sylancr 667 . . . . 5
9021sqcld 12364 . . . . . 6
91 mulcl 9574 . . . . . . 7
9211, 62, 91sylancr 667 . . . . . 6
9390, 92subcld 9937 . . . . 5
9422sqcld 12364 . . . . . 6
9594negcld 9924 . . . . 5
9631oveq1d 6264 . . . . . 6
971, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 26, 27, 28quartlem2 23726 . . . . . . . . . 10
9897simp2d 1018 . . . . . . . . 9
9997simp3d 1019 . . . . . . . . 9
10098, 99addcld 9613 . . . . . . . 8
101100halfcld 10808 . . . . . . 7
102 3nn 10719 . . . . . . 7
103 cxproot 23577 . . . . . . 7
104101, 102, 103sylancl 666 . . . . . 6
10596, 104eqtrd 2462 . . . . 5
10628oveq1d 6264 . . . . . 6
10798sqcld 12364 . . . . . . . 8
10897simp1d 1017 . . . . . . . . . 10
109 3nn0 10838 . . . . . . . . . 10
110 expcl 12240 . . . . . . . . . 10
111108, 109, 110sylancl 666 . . . . . . . . 9
112 mulcl 9574 . . . . . . . . 9
11311, 111, 112sylancr 667 . . . . . . . 8
114107, 113subcld 9937 . . . . . . 7
115114sqsqrtd 13444 . . . . . 6
116106, 115eqtrd 2462 . . . . 5
11721, 22, 62, 26, 27quartlem1 23725 . . . . . 6 ;
118117simpld 460 . . . . 5
119117simprd 464 . . . . 5 ;
12089, 93, 95, 36, 67, 105, 99, 116, 118, 119, 32mcubic 23715 . . . 4
12186, 120mpbird 235 . . 3
12249simp3d 1019 . . 3
12348oveq1d 6264 . . . 4
12455, 58subcld 9937 . . . . 5
125124sqsqrtd 13444 . . . 4
126123, 125eqtrd 2462 . . 3
12721, 22, 25, 34, 45, 46, 50, 61, 62, 121, 122, 126dquart 23721 . 2
12834negcld 9924 . . . . . . . 8
129128, 50addcld 9613 . . . . . . 7
1308, 24, 129subaddd 9955 . . . . . 6
13124, 34negsubd 9943 . . . . . . . . 9
132131oveq1d 6264 . . . . . . . 8
13324, 128, 50addassd 9616 . . . . . . . 8
134132, 133eqtr3d 2464 . . . . . . 7
135134eqeq1d 2430 . . . . . 6
136130, 135bitr4d 259 . . . . 5
137 eqcom 2435 . . . . 5
138136, 137syl6bb 264 . . . 4
139128, 50subcld 9937 . . . . . . 7
1408, 24, 139subaddd 9955 . . . . . 6
141131oveq1d 6264 . . . . . . . 8
14224, 128, 50addsubassd 9957 . . . . . . . 8
143141, 142eqtr3d 2464 . . . . . . 7
144143eqeq1d 2430 . . . . . 6
145140, 144bitr4d 259 . . . . 5
146 eqcom 2435 . . . . 5
147145, 146syl6bb 264 . . . 4
148138, 147orbi12d 714 . . 3
14934, 122addcld 9613 . . . . . . 7
1508, 24, 149subaddd 9955 . . . . . 6
15124, 34, 122addassd 9616 . . . . . . 7
152151eqeq1d 2430 . . . . . 6
153150, 152bitr4d 259 . . . . 5
154 eqcom 2435 . . . . 5
155153, 154syl6bb 264 . . . 4
15634, 122subcld 9937 . . . . . . 7
1578, 24, 156subaddd 9955 . . . . . 6
15824, 34, 122addsubassd 9957 . . . . . . 7
159158eqeq1d 2430 . . . . . 6
160157, 159bitr4d 259 . . . . 5
161 eqcom 2435 . . . . 5
162160, 161syl6bb 264 . . . 4
163155, 162orbi12d 714 . . 3
164148, 163orbi12d 714 . 2
16519, 127, 1643bitrd 282 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2599  wrex 2715  cfv 5544  (class class class)co 6249  cc 9488  cc0 9490  c1 9491   caddc 9493   cmul 9495   cmin 9811  cneg 9812   cdiv 10220  cn 10560  c2 10610  c3 10611  c4 10612  c5 10613  c6 10614  c7 10615  c8 10616  c9 10617  cn0 10820  cz 10888  ;cdc 11002  cexp 12222  csqrt 13240   ccxp 23447 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-sin 14066  df-cos 14067  df-pi 14069  df-dvds 14249  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-limc 22763  df-dv 22764  df-log 23448  df-cxp 23449 This theorem is referenced by:  quartfull  29840
 Copyright terms: Public domain W3C validator