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Theorem quad3 27434
Description: Variant of quadratic equation with discriminant expanded. (Contributed by Filip Cernatescu, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
quad3.1  |-  X  e.  CC
quad3.2  |-  A  e.  CC
quad3.3  |-  A  =/=  0
quad3.4  |-  B  e.  CC
quad3.5  |-  C  e.  CC
quad3.6  |-  ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C ) )  =  0
Assertion
Ref Expression
quad3  |-  ( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  \/  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  / 
( 2  x.  A
) ) )

Proof of Theorem quad3
StepHypRef Expression
1 2cn 10490 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
2 quad3.2 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
31, 2mulcli 9489 . . . . 5  |-  ( 2  x.  A )  e.  CC
4 quad3.1 . . . . . 6  |-  X  e.  CC
5 quad3.4 . . . . . . 7  |-  B  e.  CC
6 2ne0 10512 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
7 quad3.3 . . . . . . . 8  |-  A  =/=  0
81, 2, 6, 7mulne0i 10077 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  A )  =/=  0
95, 3, 8divcli 10171 . . . . . 6  |-  ( B  /  ( 2  x.  A ) )  e.  CC
104, 9addcli 9488 . . . . 5  |-  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  e.  CC
113, 10sqmuli 12047 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  A ) ^
2 )  x.  (
( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) ^ 2 ) )
124, 9binom2i 12073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) )  +  ( ( B  /  (
2  x.  A ) ) ^ 2 ) )
135, 2, 7divcli 10171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  /  A )  e.  CC
1413, 4mulcomi 9490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  /  A )  x.  X )  =  ( X  x.  ( B  /  A ) )
154, 13mulcli 9489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  x.  ( B  /  A ) )  e.  CC
1615, 1, 6divcan2i 10172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( ( X  x.  ( B  /  A ) )  / 
2 ) )  =  ( X  x.  ( B  /  A ) )
1716eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  x.  ( B  /  A ) )  =  ( 2  x.  (
( X  x.  ( B  /  A ) )  /  2 ) )
184, 13, 1, 6divassi 10185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  x.  ( B  /  A ) )  /  2 )  =  ( X  x.  (
( B  /  A
)  /  2 ) )
192, 7pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )
201, 6pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
215, 19, 203pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
22 divdiv1 10140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  /  A )  /  2
)  =  ( B  /  ( A  x.  2 ) ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  /  A )  /  2 )  =  ( B  /  ( A  x.  2 ) )
242, 1mulcomi 9490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  x.  2 )  =  ( 2  x.  A
)
2524oveq2i 6198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  /  ( A  x.  2 ) )  =  ( B  /  (
2  x.  A ) )
2623, 25eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  /  A )  /  2 )  =  ( B  /  (
2  x.  A ) )
2726oveq2i 6198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  x.  ( ( B  /  A )  / 
2 ) )  =  ( X  x.  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )
2818, 27eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  x.  ( B  /  A ) )  /  2 )  =  ( X  x.  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )
2928oveq2i 6198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  ( ( X  x.  ( B  /  A ) )  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  ( X  x.  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) )
3017, 29eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  x.  ( B  /  A ) )  =  ( 2  x.  ( X  x.  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) )
3114, 30eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  /  A )  x.  X )  =  ( 2  x.  ( X  x.  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) )
3231oveq2i 6198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( B  /  A )  x.  X ) )  =  ( ( X ^
2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) ) )
3332eqcomi 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( B  /  A )  x.  X ) )
344sqcli 12044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X ^ 2 )  e.  CC
352, 34mulcli 9489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  x.  ( X ^
2 ) )  e.  CC
365, 4mulcli 9489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  x.  X )  e.  CC
3735, 36, 2, 7divdiri 10186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  /  A )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  /  A )  +  ( ( B  x.  X )  /  A ) )
3834, 2, 7divcan3i 10175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  /  A )  =  ( X ^ 2 )
395, 4, 2, 7div23i 10187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  x.  X )  /  A )  =  ( ( B  /  A )  x.  X
)
4038, 39oveq12i 6199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  /  A )  +  ( ( B  x.  X )  /  A
) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( B  /  A )  x.  X ) )
4137, 40eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  /  A )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( B  /  A )  x.  X ) )
4241eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( B  /  A )  x.  X ) )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  /  A
)
43 quad3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  e.  CC
4435, 36, 43addassi 9492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  =  ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C ) )
4544eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C ) )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
)
4645oveq1i 6197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C ) )  -  C )  =  ( ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
)  -  C )
4735, 36addcli 9488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  e.  CC
4847, 43pncan3oi 9724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  -  C )  =  ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )
4946, 48eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C ) )  -  C )  =  ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )
5049eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C
) )  -  C
)
51 quad3.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C ) )  =  0
5251oveq1i 6197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C ) )  -  C )  =  ( 0  -  C )
53 df-neg 9696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u C  =  ( 0  -  C )
5453eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  -  C )  = 
-u C
5552, 54eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C ) )  -  C )  =  -u C
5650, 55eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  = 
-u C
5756oveq1i 6197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  /  A )  =  (
-u C  /  A
)
5842, 57eqtri 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( B  /  A )  x.  X ) )  =  ( -u C  /  A )
5933, 58eqtri 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) )  =  (
-u C  /  A
)
6059oveq1i 6197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( X  x.  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) ) )  +  ( ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ^
2 ) )  =  ( ( -u C  /  A )  +  ( ( B  /  (
2  x.  A ) ) ^ 2 ) )
6112, 60eqtri 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( -u C  /  A )  +  ( ( B  /  (
2  x.  A ) ) ^ 2 ) )
6243negcli 9774 . . . . . . . . . 10  |-  -u C  e.  CC
6362, 2, 7divcli 10171 . . . . . . . . 9  |-  ( -u C  /  A )  e.  CC
649sqcli 12044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ^ 2 )  e.  CC
6563, 64addcomi 9658 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u C  /  A
)  +  ( ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ^ 2 )  +  ( -u C  /  A ) )
6661, 65eqtri 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ^
2 )  +  (
-u C  /  A
) )
675, 3, 8sqdivi 12048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( B ^
2 )  /  (
( 2  x.  A
) ^ 2 ) )
6843mulm1i 9887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u
1  x.  C )  =  -u C
6968eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u C  =  ( -u 1  x.  C )
7069oveq2i 6198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  -u C )  =  ( ( 4  x.  A )  x.  ( -u 1  x.  C ) )
71 4cn 10497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  4  e.  CC
7271, 2mulcli 9489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 4  x.  A )  e.  CC
73 ax-1cn 9438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
7473negcli 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u 1  e.  CC
7572, 74, 43mulassi 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 4  x.  A
)  x.  -u 1
)  x.  C )  =  ( ( 4  x.  A )  x.  ( -u 1  x.  C ) )
7675eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  ( -u 1  x.  C ) )  =  ( ( ( 4  x.  A )  x.  -u 1 )  x.  C )
7770, 76eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  -u C )  =  ( ( ( 4  x.  A )  x.  -u 1 )  x.  C )
7872, 74mulcomi 9490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( 4  x.  A
) )
7978oveq1i 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 4  x.  A
)  x.  -u 1
)  x.  C )  =  ( ( -u
1  x.  ( 4  x.  A ) )  x.  C )
8077, 79eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  -u C )  =  ( ( -u 1  x.  ( 4  x.  A
) )  x.  C
)
8174, 72, 43mulassi 9493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  x.  (
4  x.  A ) )  x.  C )  =  ( -u 1  x.  ( ( 4  x.  A )  x.  C
) )
8280, 81eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  -u C )  =  ( -u 1  x.  ( ( 4  x.  A )  x.  C
) )
8371, 2, 43mulassi 9493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  C )  =  ( 4  x.  ( A  x.  C )
)
8483oveq2i 6198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1  x.  ( ( 4  x.  A )  x.  C ) )  =  ( -u 1  x.  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) )
8582, 84eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  -u C )  =  ( -u 1  x.  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) )
862, 43mulcli 9489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  x.  C )  e.  CC
8771, 86mulcli 9489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( A  x.  C ) )  e.  CC
8887mulm1i 9887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  x.  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) )  =  -u ( 4  x.  ( A  x.  C
) )
8985, 88eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  -u C )  = 
-u ( 4  x.  ( A  x.  C
) )
90 2t2e4 10569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
9190eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  =  ( 2  x.  2 )
9291oveq1i 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  x.  A )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  A
)
9392oveq1i 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  A )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  A )  x.  A
)
941, 1, 2mulassi 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
2  x.  A ) )
9594oveq1i 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  A )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  A
) )  x.  A
)
9693, 95eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  A
) )  x.  A
)
971, 3mulcomi 9490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  2 )
9897oveq1i 6197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  ( 2  x.  A ) )  x.  A )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  2 )  x.  A
)
9996, 98eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  A )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  2 )  x.  A
)
1003, 1, 2mulassi 9493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  2 )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
2  x.  A ) )
10199, 100eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
2  x.  A ) )
1023sqvali 12043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
2  x.  A ) )
103102eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 )
104101, 103eqtri 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  x.  A )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 )
10589, 104oveq12i 6199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 4  x.  A
)  x.  -u C
)  /  ( ( 4  x.  A )  x.  A ) )  =  ( -u (
4  x.  ( A  x.  C ) )  /  ( ( 2  x.  A ) ^
2 ) )
106105eqcomi 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( 4  x.  ( A  x.  C )
)  /  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 4  x.  A )  x.  -u C )  / 
( ( 4  x.  A )  x.  A
) )
107 4ne0 10516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  =/=  0
10871, 2, 107, 7mulne0i 10077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  A )  =/=  0
10972, 72, 62, 2, 108, 7divmuldivi 10189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  x.  A
)  /  ( 4  x.  A ) )  x.  ( -u C  /  A ) )  =  ( ( ( 4  x.  A )  x.  -u C )  /  (
( 4  x.  A
)  x.  A ) )
110109eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 4  x.  A
)  x.  -u C
)  /  ( ( 4  x.  A )  x.  A ) )  =  ( ( ( 4  x.  A )  /  ( 4  x.  A ) )  x.  ( -u C  /  A ) )
11172, 108dividi 10162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  x.  A )  /  ( 4  x.  A ) )  =  1
112111eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( ( 4  x.  A )  / 
( 4  x.  A
) )
113112oveq1i 6197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  ( -u C  /  A ) )  =  ( ( ( 4  x.  A )  / 
( 4  x.  A
) )  x.  ( -u C  /  A ) )
114113eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  x.  A
)  /  ( 4  x.  A ) )  x.  ( -u C  /  A ) )  =  ( 1  x.  ( -u C  /  A ) )
11563mulid2i 9487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  ( -u C  /  A ) )  =  ( -u C  /  A )
116114, 115eqtri 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 4  x.  A
)  /  ( 4  x.  A ) )  x.  ( -u C  /  A ) )  =  ( -u C  /  A )
117110, 116eqtri 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 4  x.  A
)  x.  -u C
)  /  ( ( 4  x.  A )  x.  A ) )  =  ( -u C  /  A )
118106, 117eqtri 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u ( 4  x.  ( A  x.  C )
)  /  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( -u C  /  A )
119118eqcomi 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( -u C  /  A )  =  ( -u ( 4  x.  ( A  x.  C ) )  / 
( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) )
12067, 119oveq12i 6199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  /  (
2  x.  A ) ) ^ 2 )  +  ( -u C  /  A ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  / 
( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) )  +  (
-u ( 4  x.  ( A  x.  C
) )  /  (
( 2  x.  A
) ^ 2 ) ) )
1215sqcli 12044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B ^ 2 )  e.  CC
12271, 86mulcli 9489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  ( A  x.  C ) )  e.  CC
123122negcli 9774 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
4  x.  ( A  x.  C ) )  e.  CC
1243sqcli 12044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 )  e.  CC
1253sqvali 12043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
2  x.  A ) )
126125eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 )
1273, 3, 8, 8mulne0i 10077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  ( 2  x.  A ) )  =/=  0
128126, 127eqnetrri 2743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 )  =/=  0
129121, 123, 124, 128divdiri 10186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B ^ 2 )  +  -u (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  ( ( 2  x.  A ) ^
2 ) )  +  ( -u ( 4  x.  ( A  x.  C ) )  / 
( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) ) )
130129eqcomi 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B ^ 2 )  /  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) )  +  ( -u (
4  x.  ( A  x.  C ) )  /  ( ( 2  x.  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  -u ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) )  / 
( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) )
131121, 122negsubi 9784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B ^ 2 )  +  -u ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) )  =  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )
132131oveq1i 6197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B ^ 2 )  +  -u (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) )  / 
( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) )
133130, 132eqtri 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ 2 )  /  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) )  +  ( -u (
4  x.  ( A  x.  C ) )  /  ( ( 2  x.  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) )  / 
( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) )
134120, 133eqtri 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  (
2  x.  A ) ) ^ 2 )  +  ( -u C  /  A ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) )  /  (
( 2  x.  A
) ^ 2 ) )
13566, 134eqtri 2479 . . . . . 6  |-  ( ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) )  /  (
( 2  x.  A
) ^ 2 ) )
136135oveq2i 6198 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  A
) ^ 2 )  x.  ( ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A ) ^
2 )  x.  (
( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) ) )
137121, 122subcli 9782 . . . . . 6  |-  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) )  e.  CC
138137, 124, 128divcan2i 10172 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  A
) ^ 2 )  x.  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) )  / 
( ( 2  x.  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )
139136, 138eqtri 2479 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  A
) ^ 2 )  x.  ( ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )
14011, 139eqtri 2479 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )
1413, 10mulcli 9489 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  e.  CC
142141, 137pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  e.  CC  /\  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )
143 eqsqror 12953 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  =  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  \/  ( ( 2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  = 
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) ) ) )
144142, 143ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) )  <->  ( (
( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  \/  ( ( 2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  = 
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) ) )
145140, 144mpbi 208 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  \/  ( ( 2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  = 
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )
146 sqrcl 12948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC  ->  ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  e.  CC )
147137, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  e.  CC
148147, 3, 10, 8divmuli 10183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  =  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  =  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )
149148bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  <->  ( ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )  =  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )
150 eqcom 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  =  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  <->  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )
151149, 150bitr2i 250 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )  <->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) ) )
152151bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  <->  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )
153147, 3, 8divcli 10171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  e.  CC
154153, 9, 4subadd2i 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  X  <->  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )
155154bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )  <->  ( ( ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  =  X )
156 eqcom 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  X  <->  X  =  (
( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )
157155, 156bitr2i 250 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( ( ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  <->  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )
158157bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )  <->  X  =  (
( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )
159152, 158bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( ( ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  =  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )
160159bicomi 202 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  <->  X  =  (
( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )
161153, 9negsubi 9784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  +  -u ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )  -  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )
162161eqcomi 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )  +  -u ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )
1635, 3, 83pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  CC  /\  (
2  x.  A )  e.  CC  /\  (
2  x.  A )  =/=  0 )
164 divneg 10124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( 2  x.  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  A
)  =/=  0 )  ->  -u ( B  / 
( 2  x.  A
) )  =  (
-u B  /  (
2  x.  A ) ) )
165163, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  -u ( B  /  ( 2  x.  A ) )  =  ( -u B  / 
( 2  x.  A
) )
166165oveq2i 6198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  +  -u ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )  +  ( -u B  /  ( 2  x.  A ) ) )
167162, 166eqtri 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )  +  ( -u B  /  ( 2  x.  A ) ) )
1685negcli 9774 . . . . . . . . . 10  |-  -u B  e.  CC
169168, 3, 8divcli 10171 . . . . . . . . 9  |-  ( -u B  /  ( 2  x.  A ) )  e.  CC
170153, 169addcomi 9658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  +  ( -u B  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  ( ( -u B  /  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )
171167, 170eqtri 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( -u B  /  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )
172168, 147, 3, 8divdiri 10186 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u B  +  ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( -u B  /  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )
173172eqcomi 2463 . . . . . . 7  |-  ( (
-u B  /  (
2  x.  A ) )  +  ( ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  / 
( 2  x.  A
) )
174171, 173eqtri 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )
175174eqeq2i 2468 . . . . 5  |-  ( X  =  ( ( ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  <->  X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) ) )
176160, 175bitr2i 250 . . . 4  |-  ( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  =  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )
177176bicomi 202 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  =  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  <->  X  =  (
( -u B  +  ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )
178147negcli 9774 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  e.  CC
179178, 3, 10, 8divmuli 10183 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  =  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  = 
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )
180179bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  =  -u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  <->  ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  =  ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) )
181 eqcom 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  =  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  <->  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( -u ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) ) )
182180, 181bitr2i 250 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  = 
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )
183182bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  =  -u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  <->  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  =  (
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )
184147negcli 9774 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  e.  CC
185184, 3, 8divcli 10171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  e.  CC
186185, 9, 4subadd2i 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )  -  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  X  <->  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( -u ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) ) )
187186bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  <->  ( ( -u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  X )
188 eqcom 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )  -  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  X  <->  X  =  ( ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  -  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) )
189187, 188bitr2i 250 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  <->  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( -u ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) ) )
190189bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  <->  X  =  ( ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  -  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) )
191183, 190bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  = 
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )
192191bicomi 202 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  =  -u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  <->  X  =  (
( -u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )
193184, 3, 8divcli 10171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  e.  CC
194193, 9negsubi 9784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  +  -u ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  -  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) )
195194eqcomi 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  +  -u ( B  /  (
2  x.  A ) ) )
196165oveq2i 6198 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  +  -u ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  +  (
-u B  /  (
2  x.  A ) ) )
197195, 196eqtri 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  +  (
-u B  /  (
2  x.  A ) ) )
198193, 169addcomi 9658 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  +  ( -u B  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  ( ( -u B  /  ( 2  x.  A ) )  +  ( -u ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) ) )
199197, 198eqtri 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( -u B  /  ( 2  x.  A ) )  +  ( -u ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) ) )
200168, 184, 3, 8divdiri 10186 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u B  +  -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( -u B  /  ( 2  x.  A ) )  +  ( -u ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) ) )
201200eqcomi 2463 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u B  /  (
2  x.  A ) )  +  ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )  =  ( ( -u B  +  -u ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  / 
( 2  x.  A
) )
202199, 201eqtri 2479 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( -u B  +  -u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )
203168, 147negsubi 9784 . . . . . . . 8  |-  ( -u B  +  -u ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  =  ( -u B  -  ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) ) )
204203oveq1i 6197 . . . . . . 7  |-  ( (
-u B  +  -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  / 
( 2  x.  A
) )
205202, 204eqtri 2479 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) )  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) )
206205eqeq2i 2468 . . . . 5  |-  ( X  =  ( ( -u ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) )  -  ( B  /  (
2  x.  A ) ) )  <->  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  /  (
2  x.  A ) ) )
207192, 206bitr2i 250 . . . 4  |-  ( X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  (
2  x.  A ) ) ) )  = 
-u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )
208207bicomi 202 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  =  -u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  <->  X  =  (
( -u B  -  ( sqr `  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )  /  ( 2  x.  A ) ) )
209177, 208orbi12i 521 . 2  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( X  +  ( B  /  ( 2  x.  A ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  \/  (
( 2  x.  A
)  x.  ( X  +  ( B  / 
( 2  x.  A
) ) ) )  =  -u ( sqr `  (
( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  <->  ( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  \/  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  / 
( 2  x.  A
) ) ) )
210145, 209mpbi 208 1  |-  ( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  / 
( 2  x.  A
) )  \/  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  / 
( 2  x.  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   CCcc 9378   0cc0 9380   1c1 9381    + caddc 9383    x. cmul 9385    - cmin 9693   -ucneg 9694    / cdiv 10091   2c2 10469   4c4 10471   ^cexp 11963   sqrcsqr 12821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-sup 7789  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-rp 11090  df-seq 11905  df-exp 11964  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824
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