MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quad Structured version   Unicode version

Theorem quad 22927
Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quad.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quad.z  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
quad.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quad.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quad.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quad.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
quad  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) )  \/  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) )

Proof of Theorem quad
StepHypRef Expression
1 quad.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 quad.z . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 quad.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 quad.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 quad.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
6 quad.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
73sqcld 12276 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
8 4cn 10613 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
91, 4mulcld 9616 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
10 mulcl 9576 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( A  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  C
) )  e.  CC )
118, 9, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
127, 11subcld 9930 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )
136, 12eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1413sqrtcld 13231 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  D
)  e.  CC )
1513sqsqrtd 13233 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
1615, 6eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )
171, 2, 3, 4, 5, 14, 16quad2 22926 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) )  \/  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492    + caddc 9495    x. cmul 9497    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10206   2c2 10585   4c4 10587   ^cexp 12134   sqrcsqrt 13029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032
This theorem is referenced by:  dcubic  22933
  Copyright terms: Public domain W3C validator