MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quad Structured version   Unicode version

Theorem quad 22254
Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quad.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quad.z  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
quad.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quad.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quad.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quad.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
quad  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) )  \/  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) )

Proof of Theorem quad
StepHypRef Expression
1 quad.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 quad.z . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 quad.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 quad.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 quad.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
6 quad.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
73sqcld 12025 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
8 4cn 10418 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
91, 4mulcld 9425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
10 mulcl 9385 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( A  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  C
) )  e.  CC )
118, 9, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
127, 11subcld 9738 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )
136, 12eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1413sqrcld 12942 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  D
)  e.  CC )
1513sqsqrd 12944 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
1615, 6eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )
171, 2, 3, 4, 5, 14, 16quad2 22253 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) )  \/  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   CCcc 9299   0cc0 9301    + caddc 9304    x. cmul 9306    - cmin 9614   -ucneg 9615    / cdiv 10012   2c2 10390   4c4 10392   ^cexp 11884   sqrcsqr 12741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-rp 11011  df-seq 11826  df-exp 11885  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744
This theorem is referenced by:  dcubic  22260
  Copyright terms: Public domain W3C validator