MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quad Structured version   Unicode version

Theorem quad 23631
Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quad.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quad.z  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
quad.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quad.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quad.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quad.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
quad  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) )  \/  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) )

Proof of Theorem quad
StepHypRef Expression
1 quad.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 quad.z . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 quad.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 quad.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 quad.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
6 quad.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
73sqcld 12411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
8 4cn 10687 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
91, 4mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
10 mulcl 9622 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( A  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  C
) )  e.  CC )
118, 9, 10sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
127, 11subcld 9985 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )
136, 12eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1413sqrtcld 13477 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  D
)  e.  CC )
1513sqsqrtd 13479 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
1615, 6eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )
171, 2, 3, 4, 5, 14, 16quad2 23630 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) )  \/  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538    + caddc 9541    x. cmul 9543    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   2c2 10659   4c4 10661   ^cexp 12269   sqrcsqrt 13275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278
This theorem is referenced by:  dcubic  23637
  Copyright terms: Public domain W3C validator