MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopuni Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem qtopuni 20794
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtoptop.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
qtopuni  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)

Proof of Theorem qtopuni
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3437 . . . . 5  |-  Y  C_  Y
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  C_  Y
)
3 fof 5806 . . . . . . 7  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
43adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : X --> Y )
5 fimacnv 6027 . . . . . 6  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( `' F " Y )  =  X )
7 qtoptop.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
87topopn 20013 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
98adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  X  e.  J
)
106, 9eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( `' F " Y )  e.  J
)
117elqtop2 20793 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( Y  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( Y  C_  Y  /\  ( `' F " Y )  e.  J
) ) )
122, 10, 11mpbir2and 936 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  e.  ( J qTop  F ) )
13 elssuni 4219 . . 3  |-  ( Y  e.  ( J qTop  F
)  ->  Y  C_  U. ( J qTop  F ) )
1412, 13syl 17 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  C_  U. ( J qTop  F ) )
157elqtop2 20793 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( x  C_  Y  /\  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
16 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  C_  Y )
17 selpw 3949 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P Y  <->  x  C_  Y
)
1816, 17sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  e.  ~P Y
)
1915, 18syl6bi 236 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  ->  x  e.  ~P Y ) )
2019ssrdv 3424 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F
)  C_  ~P Y
)
21 sspwuni 4360 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  C_  ~P Y  <->  U. ( J qTop  F
)  C_  Y )
2220, 21sylib 201 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  U. ( J qTop  F
)  C_  Y )
2314, 22eqssd 3435 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   `'ccnv 4838   "cima 4842   -->wf 5585   -onto->wfo 5587  (class class class)co 6308   qTop cqtop 15479   Topctop 19994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-qtop 15484  df-top 19998
This theorem is referenced by:  qtoptopon  20796  qtopcmplem  20799  qtopkgen  20802  qtopt1  28736  qtophaus  28737  circtopn  28738
  Copyright terms: Public domain W3C validator