MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopuni Structured version   Unicode version

Theorem qtopuni 20387
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtoptop.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
qtopuni  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)

Proof of Theorem qtopuni
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3460 . . . . 5  |-  Y  C_  Y
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  C_  Y
)
3 fof 5734 . . . . . . 7  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
43adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : X --> Y )
5 fimacnv 5953 . . . . . 6  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( `' F " Y )  =  X )
7 qtoptop.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
87topopn 19599 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
98adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  X  e.  J
)
106, 9eqeltrd 2490 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( `' F " Y )  e.  J
)
117elqtop2 20386 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( Y  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( Y  C_  Y  /\  ( `' F " Y )  e.  J
) ) )
122, 10, 11mpbir2and 923 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  e.  ( J qTop  F ) )
13 elssuni 4219 . . 3  |-  ( Y  e.  ( J qTop  F
)  ->  Y  C_  U. ( J qTop  F ) )
1412, 13syl 17 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  C_  U. ( J qTop  F ) )
157elqtop2 20386 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( x  C_  Y  /\  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
16 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  C_  Y )
17 selpw 3961 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P Y  <->  x  C_  Y
)
1816, 17sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  e.  ~P Y
)
1915, 18syl6bi 228 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  ->  x  e.  ~P Y ) )
2019ssrdv 3447 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F
)  C_  ~P Y
)
21 sspwuni 4359 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  C_  ~P Y  <->  U. ( J qTop  F
)  C_  Y )
2220, 21sylib 196 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  U. ( J qTop  F
)  C_  Y )
2314, 22eqssd 3458 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   U.cuni 4190   `'ccnv 4941   "cima 4945   -->wf 5521   -onto->wfo 5523  (class class class)co 6234   qTop cqtop 15009   Topctop 19578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-qtop 15013  df-top 19583
This theorem is referenced by:  qtoptopon  20389  qtopcmplem  20392  qtopkgen  20395  qtopt1  28171  qtophaus  28172  circtopn  28173
  Copyright terms: Public domain W3C validator