Theorem qtoptop2 20791

Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qtoptop2	|- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) e. Top )

Proof of Theorem qtoptop2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2471	. . . 4 |- U. J = U. J
2	1	qtopres 20790	. . 3 |- ( F e. V -> ( J qTop F ) = ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
3	2	3ad2ant2 1052	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) = ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
4		simp1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> J e. Top )
5		funres 5628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun F -> Fun ( F |` U. J ) )
6	5	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> Fun ( F |` U. J ) )
7		funforn 5813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun ( F |` U. J ) <-> ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) )
8	6, 7	sylib 201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) )
9		dmres 5131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( F |` U. J ) = ( U. J i^i dom F )
10		inss1 3643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. J i^i dom F ) C_ U. J
11	9, 10	eqsstri 3448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( F |` U. J ) C_ U. J
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> dom ( F |` U. J ) C_ U. J )
13	1	elqtop 20789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( y C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) ) )
14	4, 8, 12, 13	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( y C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) ) )
15	14	simprbda 635	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> y C_ ran ( F |` U. J ) )
16		selpw 3949	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P ran ( F |` U. J ) <-> y C_ ran ( F |` U. J ) )
17	15, 16	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> y e. ~P ran ( F |` U. J ) )
18	17	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> y e. ~P ran ( F |` U. J ) ) )
19	18	ssrdv 3424	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop ( F |` U. J ) ) C_ ~P ran ( F |` U. J ) )
20		sstr2 3425	. . . . . . . 8 |- ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) C_ ~P ran ( F |` U. J ) -> x C_ ~P ran ( F |` U. J ) ) )
21	19, 20	syl5com 30	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> x C_ ~P ran ( F |` U. J ) ) )
22		sspwuni 4360	. . . . . . 7 |- ( x C_ ~P ran ( F |` U. J ) <-> U. x C_ ran ( F |` U. J ) )
23	21, 22	syl6ib 234	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x C_ ran ( F |` U. J ) ) )
24		imauni 6169	. . . . . . . 8 |- ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) = U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y )
25		simpl1 1033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> J e. Top )
26	14	simplbda 636	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
27	26	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
28		ssralv 3479	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J -> A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) )
29	27, 28	mpan9 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
30		iunopn 20005	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) -> U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
31	25, 29, 30	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
32	24, 31	syl5eqel 2553	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J )
33	32	ex 441	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) )
34	23, 33	jcad 542	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
35	1	elqtop 20789	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
36	4, 8, 12, 35	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
37	34, 36	sylibrd 242	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
38	37	alrimiv 1781	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
39		inss1 3643	. . . . . 6 |- ( x i^i y ) C_ x
40	1	elqtop 20789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) ) )
41	4, 8, 12, 40	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) ) )
42	41	biimpa 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) )
43	42	adantrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) )
44	43	simpld 466	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> x C_ ran ( F |` U. J ) )
45	39, 44	syl5ss 3429	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) )
46	6	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> Fun ( F |` U. J ) )
47		inpreima 6022	. . . . . . 7 |- ( Fun ( F |` U. J ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) = ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) = ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) )
49	4	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> J e. Top )
50	43	simprd 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J )
51	26	adantrl 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
52		inopn 20006	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) -> ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) e. J )
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) e. J )
54	48, 53	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J )
55	1	elqtop 20789	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
56	4, 8, 12, 55	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
57	56	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
58	45, 54, 57	mpbir2and 936	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
59	58	ralrimivva 2814	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
60		ovex 6336	. . . 4 |- ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. _V
61		istopg 20002	. . . 4 |- ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. _V -> ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) /\ A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) /\ A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
63	38, 59, 62	sylanbrc 677	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top )
64	3, 63	eqeltrd 2549	1 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   -onto->wfo 5587  (class class class)co 6308   qTop cqtop 15479   Topctop 19994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-qtop 15484  df-top 19998

This theorem is referenced by:  qtoptop  20792