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Theorem qtoptop2 19294
Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptop2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )

Proof of Theorem qtoptop2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
21qtopres 19293 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( J qTop  F )  =  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
323ad2ant2 1010 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  F )  =  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
4 simp1 988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  J  e.  Top )
5 funres 5478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  U. J ) )
653ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  Fun  ( F  |`  U. J
) )
7 funforn 5648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  ( F  |`  U. J
)  <->  ( F  |`  U. J ) : dom  ( F  |`  U. J
) -onto-> ran  ( F  |`  U. J ) )
86, 7sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( F  |`  U. J ) : dom  ( F  |`  U. J ) -onto-> ran  ( F  |`  U. J
) )
9 dmres 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( F  |`  U. J )  =  ( U. J  i^i  dom  F )
10 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. J  i^i  dom  F )  C_ 
U. J
119, 10eqsstri 3407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( F  |`  U. J ) 
C_  U. J
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )
131elqtop 19292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( y  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J ) ) )
144, 8, 12, 13syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( y  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J ) ) )
1514simprbda 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  y  C_  ran  ( F  |`  U. J
) )
16 selpw 3888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P ran  ( F  |`  U. J )  <-> 
y  C_  ran  ( F  |`  U. J ) )
1715, 16sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  y  e.  ~P ran  ( F  |`  U. J ) )
1817ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  y  e.  ~P ran  ( F  |`  U. J ) ) )
1918ssrdv 3383 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  C_  ~P ran  ( F  |`  U. J
) )
20 sstr2 3384 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  ->  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  C_  ~P ran  ( F  |`  U. J
)  ->  x  C_  ~P ran  ( F  |`  U. J
) ) )
2119, 20syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  x  C_ 
~P ran  ( F  |` 
U. J ) ) )
22 sspwuni 4277 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ~P ran  ( F  |`  U. J )  <->  U. x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) )
2321, 22syl6ib 226 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) ) )
24 imauni 5984 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  |`  U. J
) " U. x
)  =  U_ y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )
25 simpl1 991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  J  e.  Top )
2614simplbda 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J )
2726ralrimiva 2820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( `' ( F  |`  U. J ) "
y )  e.  J
)
28 ssralv 3437 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  ->  ( A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) ) ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J  ->  A. y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J ) )
2927, 28mpan9 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  A. y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J )
30 iunopn 18533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )  ->  U_ y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )
3125, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J )
" y )  e.  J )
3224, 31syl5eqel 2527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J
) " U. x
)  e.  J )
3332ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " U. x )  e.  J
) )
3423, 33jcad 533 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  ( U. x  C_  ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J )
" U. x )  e.  J ) ) )
351elqtop 19292 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( U. x  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " U. x
)  e.  J ) ) )
364, 8, 12, 35syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( U. x  C_  ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " U. x )  e.  J
) ) )
3734, 36sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )
3837alrimiv 1685 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  A. x
( x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )
39 inss1 3591 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
401elqtop 19292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( x  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " x )  e.  J ) ) )
414, 8, 12, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J ) ) )
4241biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  ( x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J ) )
4342adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
x  C_  ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J ) )
4443simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) )
4539, 44syl5ss 3388 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) )
466adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  Fun  ( F  |`  U. J
) )
47 inpreima 5851 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( F  |`  U. J
)  ->  ( `' ( F  |`  U. J
) " ( x  i^i  y ) )  =  ( ( `' ( F  |`  U. J
) " x )  i^i  ( `' ( F  |`  U. J )
" y ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  =  ( ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  i^i  ( `' ( F  |`  U. J
) " y ) ) )
494adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5043simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J )
5126adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )
52 inopn 18534 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )  ->  ( ( `' ( F  |`  U. J
) " x )  i^i  ( `' ( F  |`  U. J )
" y ) )  e.  J )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
( `' ( F  |`  U. J ) "
x )  i^i  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
) )  e.  J
)
5448, 53eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  e.  J )
551elqtop 19292 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( ( x  i^i  y )  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " ( x  i^i  y ) )  e.  J ) ) )
564, 8, 12, 55syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  e.  J ) ) )
5756adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  e.  J ) ) )
5845, 54, 57mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
5958ralrimivva 2829 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  A. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
60 ovex 6137 . . . 4  |-  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  e.  _V
61 istopg 18530 . . . 4  |-  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  e. 
_V  ->  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ( J qTop  ( F  |` 
U. J ) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  /\  A. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) ) )
6260, 61ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  e. 
Top 
<->  ( A. x ( x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  /\  A. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )
6338, 59, 62sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  e.  Top )
643, 63eqeltrd 2517 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   U_ciun 4192   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862    |` cres 4863   "cima 4864   Fun wfun 5433   -onto->wfo 5437  (class class class)co 6112   qTop cqtop 14462   Topctop 18520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-qtop 14466  df-top 18525
This theorem is referenced by:  qtoptop  19295
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