Theorem qtoptop2 20066

Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qtoptop2	|- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) e. Top )

Proof of Theorem qtoptop2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . 4 |- U. J = U. J
2	1	qtopres 20065	. . 3 |- ( F e. V -> ( J qTop F ) = ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
3	2	3ad2ant2 1018	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) = ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
4		simp1 996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> J e. Top )
5		funres 5633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun F -> Fun ( F |` U. J ) )
6	5	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> Fun ( F |` U. J ) )
7		funforn 5808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun ( F |` U. J ) <-> ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) )
8	6, 7	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) )
9		dmres 5300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( F |` U. J ) = ( U. J i^i dom F )
10		inss1 3723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. J i^i dom F ) C_ U. J
11	9, 10	eqsstri 3539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( F |` U. J ) C_ U. J
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> dom ( F |` U. J ) C_ U. J )
13	1	elqtop 20064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( y C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) ) )
14	4, 8, 12, 13	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( y C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) ) )
15	14	simprbda 623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> y C_ ran ( F |` U. J ) )
16		selpw 4023	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P ran ( F |` U. J ) <-> y C_ ran ( F |` U. J ) )
17	15, 16	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> y e. ~P ran ( F |` U. J ) )
18	17	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> y e. ~P ran ( F |` U. J ) ) )
19	18	ssrdv 3515	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop ( F |` U. J ) ) C_ ~P ran ( F |` U. J ) )
20		sstr2 3516	. . . . . . . 8 |- ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) C_ ~P ran ( F |` U. J ) -> x C_ ~P ran ( F |` U. J ) ) )
21	19, 20	syl5com 30	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> x C_ ~P ran ( F |` U. J ) ) )
22		sspwuni 4417	. . . . . . 7 |- ( x C_ ~P ran ( F |` U. J ) <-> U. x C_ ran ( F |` U. J ) )
23	21, 22	syl6ib 226	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x C_ ran ( F |` U. J ) ) )
24		imauni 6157	. . . . . . . 8 |- ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) = U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y )
25		simpl1 999	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> J e. Top )
26	14	simplbda 624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
27	26	ralrimiva 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
28		ssralv 3569	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J -> A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) )
29	27, 28	mpan9 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
30		iunopn 19274	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) -> U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
31	25, 29, 30	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
32	24, 31	syl5eqel 2559	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J )
33	32	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) )
34	23, 33	jcad 533	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
35	1	elqtop 20064	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
36	4, 8, 12, 35	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
37	34, 36	sylibrd 234	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
38	37	alrimiv 1695	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
39		inss1 3723	. . . . . 6 |- ( x i^i y ) C_ x
40	1	elqtop 20064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) ) )
41	4, 8, 12, 40	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) ) )
42	41	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) )
43	42	adantrr 716	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) )
44	43	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> x C_ ran ( F |` U. J ) )
45	39, 44	syl5ss 3520	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) )
46	6	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> Fun ( F |` U. J ) )
47		inpreima 6015	. . . . . . 7 |- ( Fun ( F |` U. J ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) = ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) = ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) )
49	4	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> J e. Top )
50	43	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J )
51	26	adantrl 715	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
52		inopn 19275	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) -> ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) e. J )
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) e. J )
54	48, 53	eqeltrd 2555	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J )
55	1	elqtop 20064	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
56	4, 8, 12, 55	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
57	56	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
58	45, 54, 57	mpbir2and 920	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
59	58	ralrimivva 2888	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
60		ovex 6320	. . . 4 |- ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. _V
61		istopg 19271	. . . 4 |- ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. _V -> ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) /\ A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) /\ A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
63	38, 59, 62	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top )
64	3, 63	eqeltrd 2555	1 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   i^i cin 3480   C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   U_ciun 4331   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   ran crn 5006   |` cres 5007   "cima 5008   Fun wfun 5588   -onto->wfo 5592  (class class class)co 6295   qTop cqtop 14774   Topctop 19261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-qtop 14778  df-top 19266

This theorem is referenced by:  qtoptop  20067