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Theorem qtoptop2 20656
Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptop2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )

Proof of Theorem qtoptop2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2428 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
21qtopres 20655 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( J qTop  F )  =  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
323ad2ant2 1027 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  F )  =  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
4 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  J  e.  Top )
5 funres 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  U. J ) )
653ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  Fun  ( F  |`  U. J
) )
7 funforn 5760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  ( F  |`  U. J
)  <->  ( F  |`  U. J ) : dom  ( F  |`  U. J
) -onto-> ran  ( F  |`  U. J ) )
86, 7sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( F  |`  U. J ) : dom  ( F  |`  U. J ) -onto-> ran  ( F  |`  U. J
) )
9 dmres 5087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( F  |`  U. J )  =  ( U. J  i^i  dom  F )
10 inss1 3625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. J  i^i  dom  F )  C_ 
U. J
119, 10eqsstri 3437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( F  |`  U. J ) 
C_  U. J
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )
131elqtop 20654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( y  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J ) ) )
144, 8, 12, 13syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( y  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J ) ) )
1514simprbda 627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  y  C_  ran  ( F  |`  U. J
) )
16 selpw 3931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P ran  ( F  |`  U. J )  <-> 
y  C_  ran  ( F  |`  U. J ) )
1715, 16sylibr 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  y  e.  ~P ran  ( F  |`  U. J ) )
1817ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  y  e.  ~P ran  ( F  |`  U. J ) ) )
1918ssrdv 3413 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  C_  ~P ran  ( F  |`  U. J
) )
20 sstr2 3414 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  ->  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  C_  ~P ran  ( F  |`  U. J
)  ->  x  C_  ~P ran  ( F  |`  U. J
) ) )
2119, 20syl5com 31 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  x  C_ 
~P ran  ( F  |` 
U. J ) ) )
22 sspwuni 4331 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ~P ran  ( F  |`  U. J )  <->  U. x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) )
2321, 22syl6ib 229 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) ) )
24 imauni 6110 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  |`  U. J
) " U. x
)  =  U_ y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )
25 simpl1 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  J  e.  Top )
2614simplbda 628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J )
2726ralrimiva 2779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( `' ( F  |`  U. J ) "
y )  e.  J
)
28 ssralv 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  ->  ( A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) ) ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J  ->  A. y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J ) )
2927, 28mpan9 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  A. y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J )
30 iunopn 19870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )  ->  U_ y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )
3125, 29, 30syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J )
" y )  e.  J )
3224, 31syl5eqel 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J
) " U. x
)  e.  J )
3332ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " U. x )  e.  J
) )
3423, 33jcad 535 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  ( U. x  C_  ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J )
" U. x )  e.  J ) ) )
351elqtop 20654 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( U. x  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " U. x
)  e.  J ) ) )
364, 8, 12, 35syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( U. x  C_  ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " U. x )  e.  J
) ) )
3734, 36sylibrd 237 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )
3837alrimiv 1767 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  A. x
( x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )
39 inss1 3625 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
401elqtop 20654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( x  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " x )  e.  J ) ) )
414, 8, 12, 40syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J ) ) )
4241biimpa 486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  ( x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J ) )
4342adantrr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
x  C_  ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J ) )
4443simpld 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) )
4539, 44syl5ss 3418 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) )
466adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  Fun  ( F  |`  U. J
) )
47 inpreima 5966 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( F  |`  U. J
)  ->  ( `' ( F  |`  U. J
) " ( x  i^i  y ) )  =  ( ( `' ( F  |`  U. J
) " x )  i^i  ( `' ( F  |`  U. J )
" y ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  =  ( ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  i^i  ( `' ( F  |`  U. J
) " y ) ) )
494adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5043simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J )
5126adantrl 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )
52 inopn 19871 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )  ->  ( ( `' ( F  |`  U. J
) " x )  i^i  ( `' ( F  |`  U. J )
" y ) )  e.  J )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
( `' ( F  |`  U. J ) "
x )  i^i  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
) )  e.  J
)
5448, 53eqeltrd 2506 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  e.  J )
551elqtop 20654 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( ( x  i^i  y )  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " ( x  i^i  y ) )  e.  J ) ) )
564, 8, 12, 55syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  e.  J ) ) )
5756adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  e.  J ) ) )
5845, 54, 57mpbir2and 930 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
5958ralrimivva 2786 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  A. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
60 ovex 6277 . . . 4  |-  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  e.  _V
61 istopg 19867 . . . 4  |-  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  e. 
_V  ->  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ( J qTop  ( F  |` 
U. J ) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  /\  A. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) ) )
6260, 61ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  e. 
Top 
<->  ( A. x ( x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  /\  A. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )
6338, 59, 62sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  e.  Top )
643, 63eqeltrd 2506 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   _Vcvv 3022    i^i cin 3378    C_ wss 3379   ~Pcpw 3924   U.cuni 4162   U_ciun 4242   `'ccnv 4795   dom cdm 4796   ran crn 4797    |` cres 4798   "cima 4799   Fun wfun 5538   -onto->wfo 5542  (class class class)co 6249   qTop cqtop 15344   Topctop 19859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-qtop 15349  df-top 19863
This theorem is referenced by:  qtoptop  20657
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