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Theorem qtoptop2 20791
Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptop2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )

Proof of Theorem qtoptop2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
21qtopres 20790 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( J qTop  F )  =  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
323ad2ant2 1052 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  F )  =  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
4 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  J  e.  Top )
5 funres 5628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  U. J ) )
653ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  Fun  ( F  |`  U. J
) )
7 funforn 5813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  ( F  |`  U. J
)  <->  ( F  |`  U. J ) : dom  ( F  |`  U. J
) -onto-> ran  ( F  |`  U. J ) )
86, 7sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( F  |`  U. J ) : dom  ( F  |`  U. J ) -onto-> ran  ( F  |`  U. J
) )
9 dmres 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( F  |`  U. J )  =  ( U. J  i^i  dom  F )
10 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. J  i^i  dom  F )  C_ 
U. J
119, 10eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( F  |`  U. J ) 
C_  U. J
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )
131elqtop 20789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( y  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J ) ) )
144, 8, 12, 13syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( y  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J ) ) )
1514simprbda 635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  y  C_  ran  ( F  |`  U. J
) )
16 selpw 3949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P ran  ( F  |`  U. J )  <-> 
y  C_  ran  ( F  |`  U. J ) )
1715, 16sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  y  e.  ~P ran  ( F  |`  U. J ) )
1817ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  y  e.  ~P ran  ( F  |`  U. J ) ) )
1918ssrdv 3424 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  C_  ~P ran  ( F  |`  U. J
) )
20 sstr2 3425 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  ->  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  C_  ~P ran  ( F  |`  U. J
)  ->  x  C_  ~P ran  ( F  |`  U. J
) ) )
2119, 20syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  x  C_ 
~P ran  ( F  |` 
U. J ) ) )
22 sspwuni 4360 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ~P ran  ( F  |`  U. J )  <->  U. x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) )
2321, 22syl6ib 234 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) ) )
24 imauni 6169 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  |`  U. J
) " U. x
)  =  U_ y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )
25 simpl1 1033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  J  e.  Top )
2614simplbda 636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J )
2726ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( `' ( F  |`  U. J ) "
y )  e.  J
)
28 ssralv 3479 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  ->  ( A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) ) ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J  ->  A. y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J ) )
2927, 28mpan9 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  A. y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J
) " y )  e.  J )
30 iunopn 20005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )  ->  U_ y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )
3125, 29, 30syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( `' ( F  |`  U. J )
" y )  e.  J )
3224, 31syl5eqel 2553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J
) " U. x
)  e.  J )
3332ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " U. x )  e.  J
) )
3423, 33jcad 542 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  ( U. x  C_  ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J )
" U. x )  e.  J ) ) )
351elqtop 20789 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( U. x  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " U. x
)  e.  J ) ) )
364, 8, 12, 35syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( U. x  C_  ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " U. x )  e.  J
) ) )
3734, 36sylibrd 242 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )
3837alrimiv 1781 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  A. x
( x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )
39 inss1 3643 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
401elqtop 20789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( x  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " x )  e.  J ) ) )
414, 8, 12, 40syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J ) ) )
4241biimpa 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  ->  ( x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J ) )
4342adantrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
x  C_  ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J ) )
4443simpld 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  x  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) )
4539, 44syl5ss 3429 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
ran  ( F  |`  U. J ) )
466adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  Fun  ( F  |`  U. J
) )
47 inpreima 6022 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( F  |`  U. J
)  ->  ( `' ( F  |`  U. J
) " ( x  i^i  y ) )  =  ( ( `' ( F  |`  U. J
) " x )  i^i  ( `' ( F  |`  U. J )
" y ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  =  ( ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  i^i  ( `' ( F  |`  U. J
) " y ) ) )
494adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5043simprd 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J )
5126adantrl 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )
52 inopn 20006 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " x
)  e.  J  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
)  e.  J )  ->  ( ( `' ( F  |`  U. J
) " x )  i^i  ( `' ( F  |`  U. J )
" y ) )  e.  J )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
( `' ( F  |`  U. J ) "
x )  i^i  ( `' ( F  |`  U. J ) " y
) )  e.  J
)
5448, 53eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  e.  J )
551elqtop 20789 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  |`  U. J
) : dom  ( F  |`  U. J )
-onto->
ran  ( F  |`  U. J )  /\  dom  ( F  |`  U. J
)  C_  U. J )  ->  ( ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  <-> 
( ( x  i^i  y )  C_  ran  ( F  |`  U. J
)  /\  ( `' ( F  |`  U. J
) " ( x  i^i  y ) )  e.  J ) ) )
564, 8, 12, 55syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  e.  J ) ) )
5756adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_ 
ran  ( F  |`  U. J )  /\  ( `' ( F  |`  U. J ) " (
x  i^i  y )
)  e.  J ) ) )
5845, 54, 57mpbir2and 936 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  /\  (
x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  /\  y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
5958ralrimivva 2814 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  A. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )
60 ovex 6336 . . . 4  |-  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  e.  _V
61 istopg 20002 . . . 4  |-  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  e. 
_V  ->  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ( J qTop  ( F  |` 
U. J ) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  /\  A. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) ) )
6260, 61ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( J qTop  ( F  |`  U. J ) )  e. 
Top 
<->  ( A. x ( x  C_  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  ->  U. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) )  /\  A. x  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) A. y  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ( x  i^i  y )  e.  ( J qTop  ( F  |`  U. J ) ) ) )
6338, 59, 62sylanbrc 677 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  ( F  |`  U. J
) )  e.  Top )
643, 63eqeltrd 2549 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  V  /\  Fun  F )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   -onto->wfo 5587  (class class class)co 6308   qTop cqtop 15479   Topctop 19994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-qtop 15484  df-top 19998
This theorem is referenced by:  qtoptop  20792
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