Theorem qtoptop2 20656

Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qtoptop2	|- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) e. Top )

Proof of Theorem qtoptop2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2428	. . . 4 |- U. J = U. J
2	1	qtopres 20655	. . 3 |- ( F e. V -> ( J qTop F ) = ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
3	2	3ad2ant2 1027	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) = ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
4		simp1 1005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> J e. Top )
5		funres 5583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun F -> Fun ( F |` U. J ) )
6	5	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> Fun ( F |` U. J ) )
7		funforn 5760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun ( F |` U. J ) <-> ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) )
8	6, 7	sylib 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) )
9		dmres 5087	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( F |` U. J ) = ( U. J i^i dom F )
10		inss1 3625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. J i^i dom F ) C_ U. J
11	9, 10	eqsstri 3437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( F |` U. J ) C_ U. J
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> dom ( F |` U. J ) C_ U. J )
13	1	elqtop 20654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( y C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) ) )
14	4, 8, 12, 13	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( y C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) ) )
15	14	simprbda 627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> y C_ ran ( F |` U. J ) )
16		selpw 3931	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P ran ( F |` U. J ) <-> y C_ ran ( F |` U. J ) )
17	15, 16	sylibr 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> y e. ~P ran ( F |` U. J ) )
18	17	ex 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> y e. ~P ran ( F |` U. J ) ) )
19	18	ssrdv 3413	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop ( F |` U. J ) ) C_ ~P ran ( F |` U. J ) )
20		sstr2 3414	. . . . . . . 8 |- ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) C_ ~P ran ( F |` U. J ) -> x C_ ~P ran ( F |` U. J ) ) )
21	19, 20	syl5com 31	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> x C_ ~P ran ( F |` U. J ) ) )
22		sspwuni 4331	. . . . . . 7 |- ( x C_ ~P ran ( F |` U. J ) <-> U. x C_ ran ( F |` U. J ) )
23	21, 22	syl6ib 229	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x C_ ran ( F |` U. J ) ) )
24		imauni 6110	. . . . . . . 8 |- ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) = U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y )
25		simpl1 1008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> J e. Top )
26	14	simplbda 628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
27	26	ralrimiva 2779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
28		ssralv 3468	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J -> A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) )
29	27, 28	mpan9 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
30		iunopn 19870	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) -> U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
31	25, 29, 30	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
32	24, 31	syl5eqel 2510	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J )
33	32	ex 435	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) )
34	23, 33	jcad 535	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
35	1	elqtop 20654	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
36	4, 8, 12, 35	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
37	34, 36	sylibrd 237	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
38	37	alrimiv 1767	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
39		inss1 3625	. . . . . 6 |- ( x i^i y ) C_ x
40	1	elqtop 20654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) ) )
41	4, 8, 12, 40	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) ) )
42	41	biimpa 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) )
43	42	adantrr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) )
44	43	simpld 460	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> x C_ ran ( F |` U. J ) )
45	39, 44	syl5ss 3418	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) )
46	6	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> Fun ( F |` U. J ) )
47		inpreima 5966	. . . . . . 7 |- ( Fun ( F |` U. J ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) = ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) = ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) )
49	4	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> J e. Top )
50	43	simprd 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J )
51	26	adantrl 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
52		inopn 19871	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) -> ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) e. J )
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) e. J )
54	48, 53	eqeltrd 2506	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J )
55	1	elqtop 20654	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
56	4, 8, 12, 55	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
57	56	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
58	45, 54, 57	mpbir2and 930	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
59	58	ralrimivva 2786	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
60		ovex 6277	. . . 4 |- ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. _V
61		istopg 19867	. . . 4 |- ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. _V -> ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) /\ A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) /\ A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
63	38, 59, 62	sylanbrc 668	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top )
64	3, 63	eqeltrd 2506	1 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   A.wal 1435   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2714   _Vcvv 3022   i^i cin 3378   C_ wss 3379   ~Pcpw 3924   U.cuni 4162   U_ciun 4242   `'ccnv 4795   dom cdm 4796   ran crn 4797   |` cres 4798   "cima 4799   Fun wfun 5538   -onto->wfo 5542  (class class class)co 6249   qTop cqtop 15344   Topctop 19859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-qtop 15349  df-top 19863

This theorem is referenced by:  qtoptop  20657