Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopss Structured version   Unicode version

Theorem qtopss 20508
 Description: A surjective continuous function from to induces a topology qTop on the base set of . This topology is in general finer than . Together with qtopid 20498, this implies that qTop is the finest topology making continuous, i.e. the final topology with respect to the family . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtopss TopOn qTop

Proof of Theorem qtopss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toponss 19722 . . . . 5 TopOn
213ad2antl2 1160 . . . 4 TopOn
3 cnima 20059 . . . . 5
433ad2antl1 1159 . . . 4 TopOn
5 simpl1 1000 . . . . . . 7 TopOn
6 cntop1 20034 . . . . . . 7
75, 6syl 17 . . . . . 6 TopOn
8 eqid 2402 . . . . . . 7
98toptopon 19726 . . . . . 6 TopOn
107, 9sylib 196 . . . . 5 TopOn TopOn
11 simpl2 1001 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
12 cnf2 20043 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
1310, 11, 5, 12syl3anc 1230 . . . . . . 7 TopOn
14 ffn 5714 . . . . . . 7
1513, 14syl 17 . . . . . 6 TopOn
16 simpl3 1002 . . . . . 6 TopOn
17 df-fo 5575 . . . . . 6
1815, 16, 17sylanbrc 662 . . . . 5 TopOn
19 elqtop3 20496 . . . . 5 TopOn qTop
2010, 18, 19syl2anc 659 . . . 4 TopOn qTop
212, 4, 20mpbir2and 923 . . 3 TopOn qTop
2221ex 432 . 2 TopOn qTop
2322ssrdv 3448 1 TopOn qTop
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wss 3414  cuni 4191  ccnv 4822   crn 4824  cima 4826   wfn 5564  wf 5565  wfo 5567  cfv 5569  (class class class)co 6278   qTop cqtop 15117  ctop 19686  TopOnctopon 19687   ccn 20018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-qtop 15121  df-top 19691  df-topon 19694  df-cn 20021 This theorem is referenced by:  qtoprest  20510  qtopomap  20511  qtopcmap  20512
 Copyright terms: Public domain W3C validator