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Theorem qtoprest 20656
Description: If  A is a saturated open or closed set (where saturated means that  A  =  ( `' F " U ) for some  U), then the restriction of the quotient map  F to  A is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtoprest.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
qtoprest.3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
qtoprest.4  |-  ( ph  ->  U  C_  Y )
qtoprest.5  |-  ( ph  ->  A  =  ( `' F " U ) )
qtoprest.6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
Assertion
Ref Expression
qtoprest  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  =  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )

Proof of Theorem qtoprest
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtoprest.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 qtoprest.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
3 fofn 5803 . . . . . . 7  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
5 qtopid 20644 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F ) ) )
61, 4, 5syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F
) ) )
7 qtoprest.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( `' F " U ) )
8 cnvimass 5199 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " U ) 
C_  dom  F
9 fndm 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
104, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
118, 10syl5sseq 3509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F " U )  C_  X
)
127, 11eqsstrd 3495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
13 toponuni 19866 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
141, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1512, 14sseqtrd 3497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U. J )
16 eqid 2420 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
1716cnrest 20225 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  A  C_ 
U. J )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
186, 15, 17syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
19 qtoptopon 20643 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
201, 2, 19syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
) )
21 df-ima 4858 . . . . . . 7  |-  ( F
" A )  =  ran  ( F  |`  A )
227imaeq2d 5179 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " A
)  =  ( F
" ( `' F " U ) ) )
23 qtoprest.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  Y )
24 foimacnv 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  U  C_  Y )  ->  ( F "
( `' F " U ) )  =  U )
252, 23, 24syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " ( `' F " U ) )  =  U )
2622, 25eqtrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " A
)  =  U )
2721, 26syl5eqr 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  A )  =  U )
28 eqimss 3513 . . . . . 6  |-  ( ran  ( F  |`  A )  =  U  ->  ran  ( F  |`  A ) 
C_  U )
2927, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  A )  C_  U
)
30 cnrest2 20226 . . . . 5  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ran  ( F  |`  A )  C_  U  /\  U  C_  Y )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop  F ) )  <->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
3120, 29, 23, 30syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop  F ) )  <->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
3218, 31mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
33 resttopon 20101 . . . 4  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  U  C_  Y
)  ->  ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U ) )
3420, 23, 33syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  e.  (TopOn `  U ) )
35 qtopss 20654 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( ( J qTop  F )t  U ) )  /\  ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U
)  /\  ran  ( F  |`  A )  =  U )  ->  ( ( J qTop  F )t  U )  C_  (
( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
3632, 34, 27, 35syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  C_  (
( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
37 resttopon 20101 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
381, 12, 37syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
39 fnfun 5682 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
404, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  F )
4112, 10sseqtr4d 3498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
42 fores 5810 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A ) )
4340, 41, 42syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A ) )
44 foeq3 5799 . . . . . . 7  |-  ( ( F " A )  =  U  ->  (
( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A )  <->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U ) )
4526, 44syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A ) : A -onto->
( F " A
)  <->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U ) )
4643, 45mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U )
47 elqtop3 20642 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  ( F  |`  A ) : A -onto-> U )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  <->  ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A )
" x )  e.  ( Jt  A ) ) ) )
4838, 46, 47syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  <->  ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A )
" x )  e.  ( Jt  A ) ) ) )
49 cnvresima 5335 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  |`  A )
" x )  =  ( ( `' F " x )  i^i  A
)
50 imass2 5215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  U  ->  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " U ) )
5150adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " U ) )
527adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  A  =  ( `' F " U ) )
5351, 52sseqtr4d 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' F " x )  C_  A )
54 df-ss 3447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " x ) 
C_  A  <->  ( ( `' F " x )  i^i  A )  =  ( `' F "
x ) )
5553, 54sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' F " x )  i^i  A )  =  ( `' F "
x ) )
5649, 55syl5eq 2473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' ( F  |`  A )
" x )  =  ( `' F "
x ) )
5756eleq1d 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' ( F  |`  A ) " x
)  e.  ( Jt  A )  <->  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )
58 simplrl 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  C_  U )
59 df-ss 3447 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  U  <->  ( x  i^i  U )  =  x )
6058, 59sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  i^i  U )  =  x )
61 topontop 19865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
6220, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
6362ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
64 toponmax 19867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
651, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
66 fornex 6767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  J  ->  ( F : X -onto-> Y  ->  Y  e.  _V )
)
6765, 2, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
6867, 23ssexd 4563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
6968ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  U  e.  _V )
7023ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  U  C_  Y )
7158, 70sstrd 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  C_  Y )
72 topontop 19865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
731, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
74 restopn2 20117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( Jt  A )  <->  ( ( `' F " x )  e.  J  /\  ( `' F " x ) 
C_  A ) ) )
7573, 74sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  e.  J )  ->  (
( `' F "
x )  e.  ( Jt  A )  <->  ( ( `' F " x )  e.  J  /\  ( `' F " x ) 
C_  A ) ) )
7675simprbda 627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  J )  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
7776adantrl 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  J )  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
7877an32s 811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
79 elqtop3 20642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
801, 2, 79syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
8180ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
8271, 78, 81mpbir2and 930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  e.  ( J qTop  F ) )
83 elrestr 15279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  U  e.  _V  /\  x  e.  ( J qTop  F ) )  ->  ( x  i^i  U )  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) )
8463, 69, 82, 83syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  i^i  U )  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
8560, 84eqeltrrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
8634ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  (TopOn `  U ) )
87 toponuni 19866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U )  ->  U  =  U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  =  U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
8988difeq1d 3579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  =  ( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x ) )
9023ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_  Y )
9120ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
92 toponuni 19866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
9490, 93sseqtrd 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_ 
U. ( J qTop  F
) )
9590ssdifssd 3600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  C_  Y )
9640ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Fun  F )
97 funcnvcnv 5650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
98 imadif 5667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( ( `' F " U ) 
\  ( `' F " x ) ) )
9996, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( ( `' F " U ) 
\  ( `' F " x ) ) )
1007ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  =  ( `' F " U ) )
101100difeq1d 3579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  =  ( ( `' F " U )  \  ( `' F " x ) ) )
10299, 101eqtr4d 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( A  \ 
( `' F "
x ) ) )
103 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )
10438ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
105 toponuni 19866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
107106difeq1d 3579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) ) )
108 topontop 19865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
109104, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
110 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) )
111 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
112111opncld 19972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  ( `' F "
x )  e.  ( Jt  A ) )  -> 
( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
113109, 110, 112syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
114107, 113eqeltrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
115 restcldr 20114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )  ->  ( A  \ 
( `' F "
x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
116103, 114, 115syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
117102, 116eqeltrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
118 qtopcld 20652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U 
\  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
1191, 2, 118syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  \  x )  e.  (
Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U  \  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
120119ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U 
\  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
12195, 117, 120mpbir2and 930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) ) )
122 difssd 3590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  C_  U )
123 eqid 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
124123restcldi 20113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  C_  U. ( J qTop  F )  /\  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  /\  ( U  \  x
)  C_  U )  ->  ( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
12594, 121, 122, 124syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) )
12689, 125eqeltrrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( J qTop  F
)t 
U )  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
127 topontop 19865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  Top )
12886, 127syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  Top )
129 simplrl 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  C_  U )
130129, 88sseqtrd 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
131 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (
( J qTop  F )t  U
)  =  U. (
( J qTop  F )t  U
)
132131isopn2 19971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J qTop  F
)t 
U )  e.  Top  /\  x  C_  U. (
( J qTop  F )t  U
) )  ->  (
x  e.  ( ( J qTop  F )t  U )  <-> 
( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
133128, 130, 132syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( ( J qTop  F )t  U )  <-> 
( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
134126, 133mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
135 qtoprest.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
136135adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
13785, 134, 136mpjaodan 793 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
138137expr 618 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( Jt  A )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
13957, 138sylbid 218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' ( F  |`  A ) " x
)  e.  ( Jt  A )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
140139expimpd 606 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A ) " x )  e.  ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
14148, 140sylbid 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
142141ssrdv 3467 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  C_  ( ( J qTop  F )t  U ) )
14336, 142eqssd 3478 1  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  =  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    i^i cin 3432    C_ wss 3433   U.cuni 4213   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848   Fun wfun 5586    Fn wfn 5587   -onto->wfo 5590   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   ↾t crest 15271   qTop cqtop 15353   Topctop 19841  TopOnctopon 19842   Clsdccld 19955    Cn ccn 20164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-fin 7572  df-fi 7922  df-rest 15273  df-topgen 15294  df-qtop 15357  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-cld 19958  df-cn 20167
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