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Theorem qtoprest 20809
Description: If  A is a saturated open or closed set (where saturated means that  A  =  ( `' F " U ) for some  U), then the restriction of the quotient map  F to  A is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtoprest.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
qtoprest.3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
qtoprest.4  |-  ( ph  ->  U  C_  Y )
qtoprest.5  |-  ( ph  ->  A  =  ( `' F " U ) )
qtoprest.6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
Assertion
Ref Expression
qtoprest  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  =  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )

Proof of Theorem qtoprest
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtoprest.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 qtoprest.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
3 fofn 5808 . . . . . . 7  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
5 qtopid 20797 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F ) ) )
61, 4, 5syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F
) ) )
7 qtoprest.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( `' F " U ) )
8 cnvimass 5194 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " U ) 
C_  dom  F
9 fndm 5685 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
104, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
118, 10syl5sseq 3466 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F " U )  C_  X
)
127, 11eqsstrd 3452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
13 toponuni 20019 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
141, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1512, 14sseqtrd 3454 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U. J )
16 eqid 2471 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
1716cnrest 20378 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  A  C_ 
U. J )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
186, 15, 17syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
19 qtoptopon 20796 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
201, 2, 19syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
) )
21 df-ima 4852 . . . . . . 7  |-  ( F
" A )  =  ran  ( F  |`  A )
227imaeq2d 5174 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " A
)  =  ( F
" ( `' F " U ) ) )
23 qtoprest.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  Y )
24 foimacnv 5845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  U  C_  Y )  ->  ( F "
( `' F " U ) )  =  U )
252, 23, 24syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " ( `' F " U ) )  =  U )
2622, 25eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " A
)  =  U )
2721, 26syl5eqr 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  A )  =  U )
28 eqimss 3470 . . . . . 6  |-  ( ran  ( F  |`  A )  =  U  ->  ran  ( F  |`  A ) 
C_  U )
2927, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  A )  C_  U
)
30 cnrest2 20379 . . . . 5  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ran  ( F  |`  A )  C_  U  /\  U  C_  Y )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop  F ) )  <->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
3120, 29, 23, 30syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop  F ) )  <->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
3218, 31mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
33 resttopon 20254 . . . 4  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  U  C_  Y
)  ->  ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U ) )
3420, 23, 33syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  e.  (TopOn `  U ) )
35 qtopss 20807 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( ( J qTop  F )t  U ) )  /\  ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U
)  /\  ran  ( F  |`  A )  =  U )  ->  ( ( J qTop  F )t  U )  C_  (
( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
3632, 34, 27, 35syl3anc 1292 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  C_  (
( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
37 resttopon 20254 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
381, 12, 37syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
39 fnfun 5683 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
404, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  F )
4112, 10sseqtr4d 3455 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
42 fores 5815 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A ) )
4340, 41, 42syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A ) )
44 foeq3 5804 . . . . . . 7  |-  ( ( F " A )  =  U  ->  (
( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A )  <->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U ) )
4526, 44syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A ) : A -onto->
( F " A
)  <->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U ) )
4643, 45mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U )
47 elqtop3 20795 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  ( F  |`  A ) : A -onto-> U )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  <->  ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A )
" x )  e.  ( Jt  A ) ) ) )
4838, 46, 47syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  <->  ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A )
" x )  e.  ( Jt  A ) ) ) )
49 cnvresima 5331 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  |`  A )
" x )  =  ( ( `' F " x )  i^i  A
)
50 imass2 5210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  U  ->  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " U ) )
5150adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " U ) )
527adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  A  =  ( `' F " U ) )
5351, 52sseqtr4d 3455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' F " x )  C_  A )
54 df-ss 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " x ) 
C_  A  <->  ( ( `' F " x )  i^i  A )  =  ( `' F "
x ) )
5553, 54sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' F " x )  i^i  A )  =  ( `' F "
x ) )
5649, 55syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' ( F  |`  A )
" x )  =  ( `' F "
x ) )
5756eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' ( F  |`  A ) " x
)  e.  ( Jt  A )  <->  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )
58 simplrl 778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  C_  U )
59 df-ss 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  U  <->  ( x  i^i  U )  =  x )
6058, 59sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  i^i  U )  =  x )
61 topontop 20018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
6220, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
6362ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
64 toponmax 20020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
651, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
66 fornex 6781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  J  ->  ( F : X -onto-> Y  ->  Y  e.  _V )
)
6765, 2, 66sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
6867, 23ssexd 4543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
6968ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  U  e.  _V )
7023ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  U  C_  Y )
7158, 70sstrd 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  C_  Y )
72 topontop 20018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
731, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
74 restopn2 20270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( Jt  A )  <->  ( ( `' F " x )  e.  J  /\  ( `' F " x ) 
C_  A ) ) )
7573, 74sylan 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  e.  J )  ->  (
( `' F "
x )  e.  ( Jt  A )  <->  ( ( `' F " x )  e.  J  /\  ( `' F " x ) 
C_  A ) ) )
7675simprbda 635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  J )  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
7776adantrl 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  J )  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
7877an32s 821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
79 elqtop3 20795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
801, 2, 79syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
8180ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
8271, 78, 81mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  e.  ( J qTop  F ) )
83 elrestr 15405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  U  e.  _V  /\  x  e.  ( J qTop  F ) )  ->  ( x  i^i  U )  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) )
8463, 69, 82, 83syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  i^i  U )  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
8560, 84eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
8634ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  (TopOn `  U ) )
87 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U )  ->  U  =  U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  =  U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
8988difeq1d 3539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  =  ( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x ) )
9023ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_  Y )
9120ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
92 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
9490, 93sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_ 
U. ( J qTop  F
) )
9590ssdifssd 3560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  C_  Y )
9640ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Fun  F )
97 funcnvcnv 5651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
98 imadif 5668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( ( `' F " U ) 
\  ( `' F " x ) ) )
9996, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( ( `' F " U ) 
\  ( `' F " x ) ) )
1007ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  =  ( `' F " U ) )
101100difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  =  ( ( `' F " U )  \  ( `' F " x ) ) )
10299, 101eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( A  \ 
( `' F "
x ) ) )
103 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )
10438ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
105 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
107106difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) ) )
108 topontop 20018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
109104, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
110 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) )
111 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
112111opncld 20125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  ( `' F "
x )  e.  ( Jt  A ) )  -> 
( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
113109, 110, 112syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
114107, 113eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
115 restcldr 20267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )  ->  ( A  \ 
( `' F "
x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
116103, 114, 115syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
117102, 116eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
118 qtopcld 20805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U 
\  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
1191, 2, 118syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  \  x )  e.  (
Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U  \  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
120119ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U 
\  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
12195, 117, 120mpbir2and 936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) ) )
122 difssd 3550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  C_  U )
123 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
124123restcldi 20266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  C_  U. ( J qTop  F )  /\  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  /\  ( U  \  x
)  C_  U )  ->  ( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
12594, 121, 122, 124syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) )
12689, 125eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( J qTop  F
)t 
U )  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
127 topontop 20018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  Top )
12886, 127syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  Top )
129 simplrl 778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  C_  U )
130129, 88sseqtrd 3454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
131 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (
( J qTop  F )t  U
)  =  U. (
( J qTop  F )t  U
)
132131isopn2 20124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J qTop  F
)t 
U )  e.  Top  /\  x  C_  U. (
( J qTop  F )t  U
) )  ->  (
x  e.  ( ( J qTop  F )t  U )  <-> 
( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
133128, 130, 132syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( ( J qTop  F )t  U )  <-> 
( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
134126, 133mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
135 qtoprest.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
136135adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
13785, 134, 136mpjaodan 803 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
138137expr 626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( Jt  A )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
13957, 138sylbid 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' ( F  |`  A ) " x
)  e.  ( Jt  A )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
140139expimpd 614 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A ) " x )  e.  ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
14148, 140sylbid 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
142141ssrdv 3424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  C_  ( ( J qTop  F )t  U ) )
14336, 142eqssd 3435 1  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  =  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   U.cuni 4190   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   qTop cqtop 15479   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108    Cn ccn 20317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-qtop 15484  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320
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