Theorem qtoprest 20656

Description: If A is a saturated open or closed set (where saturated means that A = ( `' F " U ) for some U), then the restriction of the quotient map F to A is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qtoprest.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
qtoprest.3	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
qtoprest.4	|- ( ph -> U C_ Y )
qtoprest.5	|- ( ph -> A = ( `' F " U ) )
qtoprest.6	|- ( ph -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )

Assertion

Ref	Expression
qtoprest	|- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) = ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )

Proof of Theorem qtoprest

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtoprest.2	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		qtoprest.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
3		fofn 5803	. . . . . . 7 |- ( F : X -onto-> Y -> F Fn X )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F Fn X )
5		qtopid 20644	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F Fn X ) -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
7		qtoprest.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( `' F " U ) )
8		cnvimass 5199	. . . . . . . 8 |- ( `' F " U ) C_ dom F
9		fndm 5684	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn X -> dom F = X )
10	4, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom F = X )
11	8, 10	syl5sseq 3509	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F " U ) C_ X )
12	7, 11	eqsstrd 3495	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ X )
13		toponuni 19866	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
14	1, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> X = U. J )
15	12, 14	sseqtrd 3497	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ U. J )
16		eqid 2420	. . . . . 6 |- U. J = U. J
17	16	cnrest 20225	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) /\ A C_ U. J ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) )
18	6, 15, 17	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) )
19		qtoptopon 20643	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
20	1, 2, 19	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
21		df-ima 4858	. . . . . . 7 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
22	7	imaeq2d 5179	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F " A ) = ( F " ( `' F " U ) ) )
23		qtoprest.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U C_ Y )
24		foimacnv 5839	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -onto-> Y /\ U C_ Y ) -> ( F " ( `' F " U ) ) = U )
25	2, 23, 24	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F " ( `' F " U ) ) = U )
26	22, 25	eqtrd 2461	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F " A ) = U )
27	21, 26	syl5eqr 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( F |` A ) = U )
28		eqimss 3513	. . . . . 6 |- ( ran ( F |` A ) = U -> ran ( F |` A ) C_ U )
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( F |` A ) C_ U )
30		cnrest2 20226	. . . . 5 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ ran ( F |` A ) C_ U /\ U C_ Y ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
31	20, 29, 23, 30	syl3anc 1264	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
32	18, 31	mpbid 213	. . 3 |- ( ph -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
33		resttopon 20101	. . . 4 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ U C_ Y ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
34	20, 23, 33	syl2anc 665	. . 3 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
35		qtopss 20654	. . 3 |- ( ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) /\ ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) /\ ran ( F |` A ) = U ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) C_ ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )
36	32, 34, 27, 35	syl3anc 1264	. 2 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) C_ ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )
37		resttopon 20101	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
38	1, 12, 37	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
39		fnfun 5682	. . . . . . . 8 |- ( F Fn X -> Fun F )
40	4, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun F )
41	12, 10	sseqtr4d 3498	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ dom F )
42		fores 5810	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) )
43	40, 41, 42	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) )
44		foeq3 5799	. . . . . . 7 |- ( ( F " A ) = U -> ( ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) <-> ( F |` A ) : A -onto-> U ) )
45	26, 44	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) <-> ( F |` A ) : A -onto-> U ) )
46	43, 45	mpbid 213	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` A ) : A -onto-> U )
47		elqtop3 20642	. . . . 5 |- ( ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ ( F |` A ) : A -onto-> U ) -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) <-> ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) )
48	38, 46, 47	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) <-> ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) )
49		cnvresima 5335	. . . . . . . 8 |- ( `' ( F |` A ) " x ) = ( ( `' F " x ) i^i A )
50		imass2 5215	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ U -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " U ) )
51	50	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " U ) )
52	7	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> A = ( `' F " U ) )
53	51, 52	sseqtr4d 3498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' F " x ) C_ A )
54		df-ss 3447	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " x ) C_ A <-> ( ( `' F " x ) i^i A ) = ( `' F " x ) )
55	53, 54	sylib 199	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' F " x ) i^i A ) = ( `' F " x ) )
56	49, 55	syl5eq 2473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' ( F |` A ) " x ) = ( `' F " x ) )
57	56	eleq1d 2489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) )
58		simplrl 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x C_ U )
59		df-ss 3447	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ U <-> ( x i^i U ) = x )
60	58, 59	sylib 199	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x i^i U ) = x )
61		topontop 19865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) -> ( J qTop F ) e. Top )
62	20, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. Top )
63	62	ad2antrr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( J qTop F ) e. Top )
64		toponmax 19867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
65	1, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. J )
66		fornex 6767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. J -> ( F : X -onto-> Y -> Y e. _V ) )
67	65, 2, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. _V )
68	67, 23	ssexd 4563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. _V )
69	68	ad2antrr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> U e. _V )
70	23	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> U C_ Y )
71	58, 70	sstrd 3471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x C_ Y )
72		topontop 19865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
73	1, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J e. Top )
74		restopn2 20117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( ( `' F " x ) e. J /\ ( `' F " x ) C_ A ) ) )
75	73, 74	sylan 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A e. J ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( ( `' F " x ) e. J /\ ( `' F " x ) C_ A ) ) )
76	75	simprbda 627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. J ) /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
77	76	adantrl 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. J ) /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
78	77	an32s 811	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( `' F " x ) e. J )
79		elqtop3 20642	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
80	1, 2, 79	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
81	80	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
82	71, 78, 81	mpbir2and 930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x e. ( J qTop F ) )
83		elrestr 15279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J qTop F ) e. Top /\ U e. _V /\ x e. ( J qTop F ) ) -> ( x i^i U ) e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
84	63, 69, 82, 83	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x i^i U ) e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
85	60, 84	eqeltrrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
86	34	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
87		toponuni 19866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) -> U = U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U = U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
89	88	difeq1d 3579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) = ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) )
90	23	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U C_ Y )
91	20	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
92		toponuni 19866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. ( J qTop F ) )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> Y = U. ( J qTop F ) )
94	90, 93	sseqtrd 3497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U C_ U. ( J qTop F ) )
95	90	ssdifssd 3600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) C_ Y )
96	40	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> Fun F )
97		funcnvcnv 5650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
98		imadif 5667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun `' `' F -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
99	96, 97, 98	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
100	7	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A = ( `' F " U ) )
101	100	difeq1d 3579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
102	99, 101	eqtr4d 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( A \ ( `' F " x ) ) )
103		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A e. ( Clsd ` J ) )
104	38	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
105		toponuni 19866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
107	106	difeq1d 3579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) = ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) )
108		topontop 19865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
109	104, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
110		simplrr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) )
111		eqid 2420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
112	111	opncld 19972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
113	109, 110, 112	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
114	107, 113	eqeltrd 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
115		restcldr 20114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
116	103, 114, 115	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
117	102, 116	eqeltrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
118		qtopcld 20652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
119	1, 2, 118	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
120	119	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
121	95, 117, 120	mpbir2and 930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) )
122		difssd 3590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) C_ U )
123		eqid 2420	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( J qTop F ) = U. ( J qTop F )
124	123	restcldi 20113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U C_ U. ( J qTop F ) /\ ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) /\ ( U \ x ) C_ U ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
125	94, 121, 122, 124	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
126	89, 125	eqeltrrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
127		topontop 19865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top )
128	86, 127	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top )
129		simplrl 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U )
130	129, 88	sseqtrd 3497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
131		eqid 2420	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) = U. ( ( J qTop F ) ↾t U )
132	131	isopn2 19971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top /\ x C_ U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) -> ( x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) <-> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
133	128, 130, 132	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) <-> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
134	126, 133	mpbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
135		qtoprest.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )
136	135	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )
137	85, 134, 136	mpjaodan 793	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
138	137	expr 618	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
139	57, 138	sylbid 218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
140	139	expimpd 606	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
141	48, 140	sylbid 218	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
142	141	ssrdv 3467	. 2 |- ( ph -> ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) C_ ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
143	36, 142	eqssd 3478	1 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) = ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1867   _Vcvv 3078   \ cdif 3430   i^i cin 3432   C_ wss 3433   U.cuni 4213   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   |` cres 4847   "cima 4848   Fun wfun 5586   Fn wfn 5587   -onto->wfo 5590   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   ↾_t crest 15271   qTop cqtop 15353   Topctop 19841  TopOnctopon 19842   Clsdccld 19955   Cn ccn 20164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-fin 7572  df-fi 7922  df-rest 15273  df-topgen 15294  df-qtop 15357  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-cld 19958  df-cn 20167

This theorem is referenced by: (None)