Theorem qtoprest 19265

Description: If A is a saturated open or closed set (where saturated means that A = ( `' F " U ) for some U), then the restriction of the quotient map F to A is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qtoprest.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
qtoprest.3	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
qtoprest.4	|- ( ph -> U C_ Y )
qtoprest.5	|- ( ph -> A = ( `' F " U ) )
qtoprest.6	|- ( ph -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )

Assertion

Ref	Expression
qtoprest	|- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) = ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )

Proof of Theorem qtoprest

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtoprest.2	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		qtoprest.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
3		fofn 5617	. . . . . . 7 |- ( F : X -onto-> Y -> F Fn X )
4	2, 3	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F Fn X )
5		qtopid 19253	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F Fn X ) -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
7		qtoprest.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( `' F " U ) )
8		cnvimass 5184	. . . . . . . 8 |- ( `' F " U ) C_ dom F
9		fndm 5505	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn X -> dom F = X )
10	4, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom F = X )
11	8, 10	syl5sseq 3399	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F " U ) C_ X )
12	7, 11	eqsstrd 3385	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ X )
13		toponuni 18507	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
14	1, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X = U. J )
15	12, 14	sseqtrd 3387	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ U. J )
16		eqid 2438	. . . . . 6 |- U. J = U. J
17	16	cnrest 18864	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) /\ A C_ U. J ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) )
18	6, 15, 17	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) )
19		qtoptopon 19252	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
20	1, 2, 19	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
21		df-ima 4848	. . . . . . 7 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
22	7	imaeq2d 5164	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F " A ) = ( F " ( `' F " U ) ) )
23		qtoprest.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U C_ Y )
24		foimacnv 5653	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -onto-> Y /\ U C_ Y ) -> ( F " ( `' F " U ) ) = U )
25	2, 23, 24	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F " ( `' F " U ) ) = U )
26	22, 25	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F " A ) = U )
27	21, 26	syl5eqr 2484	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( F |` A ) = U )
28		eqimss 3403	. . . . . 6 |- ( ran ( F |` A ) = U -> ran ( F |` A ) C_ U )
29	27, 28	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( F |` A ) C_ U )
30		cnrest2 18865	. . . . 5 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ ran ( F |` A ) C_ U /\ U C_ Y ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
31	20, 29, 23, 30	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
32	18, 31	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
33		resttopon 18740	. . . 4 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ U C_ Y ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
34	20, 23, 33	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
35		qtopss 19263	. . 3 |- ( ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) /\ ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) /\ ran ( F |` A ) = U ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) C_ ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )
36	32, 34, 27, 35	syl3anc 1218	. 2 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) C_ ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )
37		resttopon 18740	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
38	1, 12, 37	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
39		fnfun 5503	. . . . . . . 8 |- ( F Fn X -> Fun F )
40	4, 39	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun F )
41	12, 10	sseqtr4d 3388	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ dom F )
42		fores 5624	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) )
43	40, 41, 42	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) )
44		foeq3 5613	. . . . . . 7 |- ( ( F " A ) = U -> ( ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) <-> ( F |` A ) : A -onto-> U ) )
45	26, 44	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) <-> ( F |` A ) : A -onto-> U ) )
46	43, 45	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` A ) : A -onto-> U )
47		elqtop3 19251	. . . . 5 |- ( ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ ( F |` A ) : A -onto-> U ) -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) <-> ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) )
48	38, 46, 47	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) <-> ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) )
49		cnvresima 5322	. . . . . . . 8 |- ( `' ( F |` A ) " x ) = ( ( `' F " x ) i^i A )
50		imass2 5199	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ U -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " U ) )
51	50	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " U ) )
52	7	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> A = ( `' F " U ) )
53	51, 52	sseqtr4d 3388	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' F " x ) C_ A )
54		df-ss 3337	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " x ) C_ A <-> ( ( `' F " x ) i^i A ) = ( `' F " x ) )
55	53, 54	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' F " x ) i^i A ) = ( `' F " x ) )
56	49, 55	syl5eq 2482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' ( F |` A ) " x ) = ( `' F " x ) )
57	56	eleq1d 2504	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) )
58		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x C_ U )
59		df-ss 3337	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ U <-> ( x i^i U ) = x )
60	58, 59	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x i^i U ) = x )
61		topontop 18506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) -> ( J qTop F ) e. Top )
62	20, 61	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. Top )
63	62	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( J qTop F ) e. Top )
64		toponmax 18508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
65	1, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. J )
66		fornex 6541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. J -> ( F : X -onto-> Y -> Y e. _V ) )
67	65, 2, 66	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. _V )
68	67, 23	ssexd 4434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. _V )
69	68	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> U e. _V )
70	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> U C_ Y )
71	58, 70	sstrd 3361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x C_ Y )
72		topontop 18506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
73	1, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J e. Top )
74		restopn2 18756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( ( `' F " x ) e. J /\ ( `' F " x ) C_ A ) ) )
75	73, 74	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A e. J ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( ( `' F " x ) e. J /\ ( `' F " x ) C_ A ) ) )
76	75	simprbda 623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. J ) /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
77	76	adantrl 715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. J ) /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
78	77	an32s 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( `' F " x ) e. J )
79		elqtop3 19251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
80	1, 2, 79	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
81	80	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
82	71, 78, 81	mpbir2and 913	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x e. ( J qTop F ) )
83		elrestr 14359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J qTop F ) e. Top /\ U e. _V /\ x e. ( J qTop F ) ) -> ( x i^i U ) e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
84	63, 69, 82, 83	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x i^i U ) e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
85	60, 84	eqeltrrd 2513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
86	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
87		toponuni 18507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) -> U = U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
88	86, 87	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U = U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
89	88	difeq1d 3468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) = ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) )
90	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U C_ Y )
91	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
92		toponuni 18507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. ( J qTop F ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> Y = U. ( J qTop F ) )
94	90, 93	sseqtrd 3387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U C_ U. ( J qTop F ) )
95	90	ssdifssd 3489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) C_ Y )
96	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> Fun F )
97		funcnvcnv 5471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
98		imadif 5488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun `' `' F -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
99	96, 97, 98	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
100	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A = ( `' F " U ) )
101	100	difeq1d 3468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
102	99, 101	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( A \ ( `' F " x ) ) )
103		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A e. ( Clsd ` J ) )
104	38	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
105		toponuni 18507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
106	104, 105	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
107	106	difeq1d 3468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) = ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) )
108		topontop 18506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
109	104, 108	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
110		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) )
111		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
112	111	opncld 18612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
113	109, 110, 112	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
114	107, 113	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
115		restcldr 18753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
116	103, 114, 115	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
117	102, 116	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
118		qtopcld 19261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
119	1, 2, 118	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
120	119	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
121	95, 117, 120	mpbir2and 913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) )
122		difssd 3479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) C_ U )
123		eqid 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( J qTop F ) = U. ( J qTop F )
124	123	restcldi 18752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U C_ U. ( J qTop F ) /\ ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) /\ ( U \ x ) C_ U ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
125	94, 121, 122, 124	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
126	89, 125	eqeltrrd 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
127		topontop 18506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top )
128	86, 127	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top )
129		simplrl 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U )
130	129, 88	sseqtrd 3387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
131		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) = U. ( ( J qTop F ) ↾t U )
132	131	isopn2 18611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top /\ x C_ U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) -> ( x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) <-> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
133	128, 130, 132	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) <-> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
134	126, 133	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
135		qtoprest.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )
136	135	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )
137	85, 134, 136	mpjaodan 784	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
138	137	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
139	57, 138	sylbid 215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
140	139	expimpd 603	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
141	48, 140	sylbid 215	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
142	141	ssrdv 3357	. 2 |- ( ph -> ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) C_ ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
143	36, 142	eqssd 3368	1 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) = ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   \ cdif 3320   i^i cin 3322   C_ wss 3323   U.cuni 4086   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   ran crn 4836   |` cres 4837   "cima 4838   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ↾_t crest 14351   qTop cqtop 14433   Topctop 18473  TopOnctopon 18474   Clsdccld 18595   Cn ccn 18803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-fin 7306  df-fi 7653  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-qtop 14437  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cld 18598  df-cn 18806

This theorem is referenced by: (None)