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Theorem qtoprest 20732
 Description: If is a saturated open or closed set (where saturated means that for some ), then the restriction of the quotient map to is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtoprest.2 TopOn
qtoprest.3
qtoprest.4
qtoprest.5
qtoprest.6
Assertion
Ref Expression
qtoprest qTop t t qTop

Proof of Theorem qtoprest
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtoprest.2 . . . . . 6 TopOn
2 qtoprest.3 . . . . . . 7
3 fofn 5795 . . . . . . 7
42, 3syl 17 . . . . . 6
5 qtopid 20720 . . . . . 6 TopOn qTop
61, 4, 5syl2anc 667 . . . . 5 qTop
7 qtoprest.5 . . . . . . 7
8 cnvimass 5188 . . . . . . . 8
9 fndm 5675 . . . . . . . . 9
104, 9syl 17 . . . . . . . 8
118, 10syl5sseq 3480 . . . . . . 7
127, 11eqsstrd 3466 . . . . . 6
13 toponuni 19942 . . . . . . 7 TopOn
141, 13syl 17 . . . . . 6
1512, 14sseqtrd 3468 . . . . 5
16 eqid 2451 . . . . . 6
1716cnrest 20301 . . . . 5 qTop t qTop
186, 15, 17syl2anc 667 . . . 4 t qTop
19 qtoptopon 20719 . . . . . 6 TopOn qTop TopOn
201, 2, 19syl2anc 667 . . . . 5 qTop TopOn
21 df-ima 4847 . . . . . . 7
227imaeq2d 5168 . . . . . . . 8
23 qtoprest.4 . . . . . . . . 9
24 foimacnv 5831 . . . . . . . . 9
252, 23, 24syl2anc 667 . . . . . . . 8
2622, 25eqtrd 2485 . . . . . . 7
2721, 26syl5eqr 2499 . . . . . 6
28 eqimss 3484 . . . . . 6
2927, 28syl 17 . . . . 5
30 cnrest2 20302 . . . . 5 qTop TopOn t qTop t qTop t
3120, 29, 23, 30syl3anc 1268 . . . 4 t qTop t qTop t
3218, 31mpbid 214 . . 3 t qTop t
33 resttopon 20177 . . . 4 qTop TopOn qTop t TopOn
3420, 23, 33syl2anc 667 . . 3 qTop t TopOn
35 qtopss 20730 . . 3 t qTop t qTop t TopOn qTop t t qTop
3632, 34, 27, 35syl3anc 1268 . 2 qTop t t qTop
37 resttopon 20177 . . . . . 6 TopOn t TopOn
381, 12, 37syl2anc 667 . . . . 5 t TopOn
39 fnfun 5673 . . . . . . . 8
404, 39syl 17 . . . . . . 7
4112, 10sseqtr4d 3469 . . . . . . 7
42 fores 5802 . . . . . . 7
4340, 41, 42syl2anc 667 . . . . . 6
44 foeq3 5791 . . . . . . 7
4526, 44syl 17 . . . . . 6
4643, 45mpbid 214 . . . . 5
47 elqtop3 20718 . . . . 5 t TopOn t qTop t
4838, 46, 47syl2anc 667 . . . 4 t qTop t
49 cnvresima 5324 . . . . . . . 8
50 imass2 5204 . . . . . . . . . . 11
5150adantl 468 . . . . . . . . . 10
527adantr 467 . . . . . . . . . 10
5351, 52sseqtr4d 3469 . . . . . . . . 9
54 df-ss 3418 . . . . . . . . 9
5553, 54sylib 200 . . . . . . . 8
5649, 55syl5eq 2497 . . . . . . 7
5756eleq1d 2513 . . . . . 6 t t
58 simplrl 770 . . . . . . . . . 10 t
59 df-ss 3418 . . . . . . . . . 10
6058, 59sylib 200 . . . . . . . . 9 t
61 topontop 19941 . . . . . . . . . . . 12 qTop TopOn qTop
6220, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 qTop
6362ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10 t qTop
64 toponmax 19943 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
651, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
66 fornex 6762 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 2, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . 12
6867, 23ssexd 4550 . . . . . . . . . . 11
6968ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10 t
7023ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12 t
7158, 70sstrd 3442 . . . . . . . . . . 11 t
72 topontop 19941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
731, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 restopn2 20193 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
7573, 74sylan 474 . . . . . . . . . . . . . 14 t
7675simprbda 629 . . . . . . . . . . . . 13 t
7776adantrl 722 . . . . . . . . . . . 12 t
7877an32s 813 . . . . . . . . . . 11 t
79 elqtop3 20718 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn qTop
801, 2, 79syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12 qTop
8180ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11 t qTop
8271, 78, 81mpbir2and 933 . . . . . . . . . 10 t qTop
83 elrestr 15327 . . . . . . . . . 10 qTop qTop qTop t
8463, 69, 82, 83syl3anc 1268 . . . . . . . . 9 t qTop t
8560, 84eqeltrrd 2530 . . . . . . . 8 t qTop t
8634ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12 t qTop t TopOn
87 toponuni 19942 . . . . . . . . . . . 12 qTop t TopOn qTop t
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 t qTop t
8988difeq1d 3550 . . . . . . . . . 10 t qTop t
9023ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12 t
9120ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13 t qTop TopOn
92 toponuni 19942 . . . . . . . . . . . . 13 qTop TopOn qTop
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . 12 t qTop
9490, 93sseqtrd 3468 . . . . . . . . . . 11 t qTop
9590ssdifssd 3571 . . . . . . . . . . . 12 t
9640ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
97 funcnvcnv 5641 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 imadif 5658 . . . . . . . . . . . . . . 15
9996, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 t
1007ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
101100difeq1d 3550 . . . . . . . . . . . . . 14 t
10299, 101eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . 13 t
103 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14 t
10438ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t TopOn
105 toponuni 19942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t TopOn t
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t t
107106difeq1d 3550 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t
108 topontop 19941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t TopOn t
109104, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t t
110 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t t
111 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t
112111opncld 20048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t t t t
113109, 110, 112syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t
114107, 113eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
115 restcldr 20190 . . . . . . . . . . . . . 14 t
116103, 114, 115syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13 t
117102, 116eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . 12 t
118 qtopcld 20728 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn qTop
1191, 2, 118syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13 qTop
120119ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12 t qTop
12195, 117, 120mpbir2and 933 . . . . . . . . . . 11 t qTop
122 difssd 3561 . . . . . . . . . . 11 t
123 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop
124123restcldi 20189 . . . . . . . . . . 11 qTop qTop qTop t
12594, 121, 122, 124syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10 t qTop t
12689, 125eqeltrrd 2530 . . . . . . . . 9 t qTop t qTop t
127 topontop 19941 . . . . . . . . . . 11 qTop t TopOn qTop t
12886, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 t qTop t
129 simplrl 770 . . . . . . . . . . 11 t
130129, 88sseqtrd 3468 . . . . . . . . . 10 t qTop t
131 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11 qTop t qTop t
132131isopn2 20047 . . . . . . . . . 10 qTop t qTop t qTop t qTop t qTop t
133128, 130, 132syl2anc 667 . . . . . . . . 9 t qTop t qTop t qTop t
134126, 133mpbird 236 . . . . . . . 8 t qTop t
135 qtoprest.6 . . . . . . . . 9
136135adantr 467 . . . . . . . 8 t
13785, 134, 136mpjaodan 795 . . . . . . 7 t qTop t
138137expr 620 . . . . . 6 t qTop t
13957, 138sylbid 219 . . . . 5 t qTop t
140139expimpd 608 . . . 4 t qTop t
14148, 140sylbid 219 . . 3 t qTop qTop t
142141ssrdv 3438 . 2 t qTop qTop t
14336, 142eqssd 3449 1 qTop t t qTop
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045   cdif 3401   cin 3403   wss 3404  cuni 4198  ccnv 4833   cdm 4834   crn 4835   cres 4836  cima 4837   wfun 5576   wfn 5577  wfo 5580  cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾t crest 15319   qTop cqtop 15401  ctop 19917  TopOnctopon 19918  ccld 20031   ccn 20240 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-qtop 15406  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-cn 20243 This theorem is referenced by: (None)
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