Theorem qtoprest 17702

Description: If A is a saturated open or closed set (where saturated means that A = ( `' F " U ) for some U), then the restriction of the quotient map F to A is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qtoprest.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
qtoprest.3	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
qtoprest.4	|- ( ph -> U C_ Y )
qtoprest.5	|- ( ph -> A = ( `' F " U ) )
qtoprest.6	|- ( ph -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )

Assertion

Ref	Expression
qtoprest	|- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) = ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )

Proof of Theorem qtoprest

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtoprest.2	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		qtoprest.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
3		fofn 5614	. . . . . . 7 |- ( F : X -onto-> Y -> F Fn X )
4	2, 3	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F Fn X )
5		qtopid 17690	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F Fn X ) -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
7		qtoprest.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( `' F " U ) )
8		cnvimass 5183	. . . . . . . 8 |- ( `' F " U ) C_ dom F
9		fndm 5503	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn X -> dom F = X )
10	4, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom F = X )
11	8, 10	syl5sseq 3356	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F " U ) C_ X )
12	7, 11	eqsstrd 3342	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ X )
13		toponuni 16947	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
14	1, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X = U. J )
15	12, 14	sseqtrd 3344	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ U. J )
16		eqid 2404	. . . . . 6 |- U. J = U. J
17	16	cnrest 17303	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) /\ A C_ U. J ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) )
18	6, 15, 17	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) )
19		qtoptopon 17689	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
20	1, 2, 19	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
21		df-ima 4850	. . . . . . 7 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
22	7	imaeq2d 5162	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F " A ) = ( F " ( `' F " U ) ) )
23		qtoprest.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U C_ Y )
24		foimacnv 5651	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -onto-> Y /\ U C_ Y ) -> ( F " ( `' F " U ) ) = U )
25	2, 23, 24	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F " ( `' F " U ) ) = U )
26	22, 25	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F " A ) = U )
27	21, 26	syl5eqr 2450	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( F |` A ) = U )
28		eqimss 3360	. . . . . 6 |- ( ran ( F |` A ) = U -> ran ( F |` A ) C_ U )
29	27, 28	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( F |` A ) C_ U )
30		cnrest2 17304	. . . . 5 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ ran ( F |` A ) C_ U /\ U C_ Y ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
31	20, 29, 23, 30	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
32	18, 31	mpbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
33		resttopon 17179	. . . 4 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ U C_ Y ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
34	20, 23, 33	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
35		qtopss 17700	. . 3 |- ( ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) /\ ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) /\ ran ( F |` A ) = U ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) C_ ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )
36	32, 34, 27, 35	syl3anc 1184	. 2 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) C_ ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )
37		resttopon 17179	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
38	1, 12, 37	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
39		fnfun 5501	. . . . . . . 8 |- ( F Fn X -> Fun F )
40	4, 39	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun F )
41	12, 10	sseqtr4d 3345	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ dom F )
42		fores 5621	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) )
43	40, 41, 42	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) )
44		foeq3 5610	. . . . . . 7 |- ( ( F " A ) = U -> ( ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) <-> ( F |` A ) : A -onto-> U ) )
45	26, 44	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) <-> ( F |` A ) : A -onto-> U ) )
46	43, 45	mpbid 202	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` A ) : A -onto-> U )
47		elqtop3 17688	. . . . 5 |- ( ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ ( F |` A ) : A -onto-> U ) -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) <-> ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) )
48	38, 46, 47	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) <-> ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) )
49		cnvresima 5318	. . . . . . . 8 |- ( `' ( F |` A ) " x ) = ( ( `' F " x ) i^i A )
50		imass2 5199	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ U -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " U ) )
51	50	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " U ) )
52	7	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> A = ( `' F " U ) )
53	51, 52	sseqtr4d 3345	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' F " x ) C_ A )
54		df-ss 3294	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " x ) C_ A <-> ( ( `' F " x ) i^i A ) = ( `' F " x ) )
55	53, 54	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' F " x ) i^i A ) = ( `' F " x ) )
56	49, 55	syl5eq 2448	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' ( F |` A ) " x ) = ( `' F " x ) )
57	56	eleq1d 2470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) )
58		simplrl 737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x C_ U )
59		df-ss 3294	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ U <-> ( x i^i U ) = x )
60	58, 59	sylib 189	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x i^i U ) = x )
61		topontop 16946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) -> ( J qTop F ) e. Top )
62	20, 61	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. Top )
63	62	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( J qTop F ) e. Top )
64		toponmax 16948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
65	1, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. J )
66		fornex 5929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. J -> ( F : X -onto-> Y -> Y e. _V ) )
67	65, 2, 66	sylc 58	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. _V )
68	67, 23	ssexd 4310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. _V )
69	68	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> U e. _V )
70	23	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> U C_ Y )
71	58, 70	sstrd 3318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x C_ Y )
72		topontop 16946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
73	1, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J e. Top )
74		restopn2 17195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( ( `' F " x ) e. J /\ ( `' F " x ) C_ A ) ) )
75	73, 74	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A e. J ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( ( `' F " x ) e. J /\ ( `' F " x ) C_ A ) ) )
76	75	simprbda 607	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. J ) /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
77	76	adantrl 697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. J ) /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
78	77	an32s 780	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( `' F " x ) e. J )
79		elqtop3 17688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
80	1, 2, 79	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
81	80	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
82	71, 78, 81	mpbir2and 889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x e. ( J qTop F ) )
83		elrestr 13611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J qTop F ) e. Top /\ U e. _V /\ x e. ( J qTop F ) ) -> ( x i^i U ) e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
84	63, 69, 82, 83	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x i^i U ) e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
85	60, 84	eqeltrrd 2479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
86	34	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
87		toponuni 16947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) -> U = U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
88	86, 87	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U = U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
89	88	difeq1d 3424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) = ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) )
90	23	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U C_ Y )
91	20	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
92		toponuni 16947	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. ( J qTop F ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> Y = U. ( J qTop F ) )
94	90, 93	sseqtrd 3344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U C_ U. ( J qTop F ) )
95	90	ssdifssd 3445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) C_ Y )
96	40	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> Fun F )
97		funcnvcnv 5468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
98		imadif 5487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun `' `' F -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
99	96, 97, 98	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
100	7	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A = ( `' F " U ) )
101	100	difeq1d 3424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
102	99, 101	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( A \ ( `' F " x ) ) )
103		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A e. ( Clsd ` J ) )
104	38	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
105		toponuni 16947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
106	104, 105	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
107	106	difeq1d 3424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) = ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) )
108		topontop 16946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
109	104, 108	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
110		simplrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) )
111		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
112	111	opncld 17052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
113	109, 110, 112	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
114	107, 113	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
115		restcldr 17192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
116	103, 114, 115	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
117	102, 116	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
118		qtopcld 17698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
119	1, 2, 118	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
120	119	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
121	95, 117, 120	mpbir2and 889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) )
122		difssd 3435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) C_ U )
123		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( J qTop F ) = U. ( J qTop F )
124	123	restcldi 17191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U C_ U. ( J qTop F ) /\ ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) /\ ( U \ x ) C_ U ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
125	94, 121, 122, 124	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
126	89, 125	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
127		topontop 16946	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top )
128	86, 127	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top )
129		simplrl 737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U )
130	129, 88	sseqtrd 3344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
131		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) = U. ( ( J qTop F ) ↾t U )
132	131	isopn2 17051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top /\ x C_ U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) -> ( x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) <-> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
133	128, 130, 132	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) <-> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
134	126, 133	mpbird 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
135		qtoprest.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )
136	135	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )
137	85, 134, 136	mpjaodan 762	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
138	137	expr 599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
139	57, 138	sylbid 207	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
140	139	expimpd 587	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
141	48, 140	sylbid 207	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
142	141	ssrdv 3314	. 2 |- ( ph -> ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) C_ ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
143	36, 142	eqssd 3325	1 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) = ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   i^i cin 3279   C_ wss 3280   U.cuni 3975   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾_t crest 13603   qTop cqtop 13684   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Clsdccld 17035   Cn ccn 17242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-qtop 13688  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-cn 17245