Theorem qtoprest 20384

Description: If A is a saturated open or closed set (where saturated means that A = ( `' F " U ) for some U), then the restriction of the quotient map F to A is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qtoprest.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
qtoprest.3	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
qtoprest.4	|- ( ph -> U C_ Y )
qtoprest.5	|- ( ph -> A = ( `' F " U ) )
qtoprest.6	|- ( ph -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )

Assertion

Ref	Expression
qtoprest	|- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) = ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )

Proof of Theorem qtoprest

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtoprest.2	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		qtoprest.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
3		fofn 5779	. . . . . . 7 |- ( F : X -onto-> Y -> F Fn X )
4	2, 3	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F Fn X )
5		qtopid 20372	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F Fn X ) -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
7		qtoprest.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( `' F " U ) )
8		cnvimass 5345	. . . . . . . 8 |- ( `' F " U ) C_ dom F
9		fndm 5662	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn X -> dom F = X )
10	4, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom F = X )
11	8, 10	syl5sseq 3537	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F " U ) C_ X )
12	7, 11	eqsstrd 3523	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ X )
13		toponuni 19595	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
14	1, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X = U. J )
15	12, 14	sseqtrd 3525	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ U. J )
16		eqid 2454	. . . . . 6 |- U. J = U. J
17	16	cnrest 19953	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) /\ A C_ U. J ) -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) )
18	6, 15, 17	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) )
19		qtoptopon 20371	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
20	1, 2, 19	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
21		df-ima 5001	. . . . . . 7 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
22	7	imaeq2d 5325	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F " A ) = ( F " ( `' F " U ) ) )
23		qtoprest.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U C_ Y )
24		foimacnv 5815	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -onto-> Y /\ U C_ Y ) -> ( F " ( `' F " U ) ) = U )
25	2, 23, 24	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F " ( `' F " U ) ) = U )
26	22, 25	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F " A ) = U )
27	21, 26	syl5eqr 2509	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( F |` A ) = U )
28		eqimss 3541	. . . . . 6 |- ( ran ( F |` A ) = U -> ran ( F |` A ) C_ U )
29	27, 28	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( F |` A ) C_ U )
30		cnrest2 19954	. . . . 5 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ ran ( F |` A ) C_ U /\ U C_ Y ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
31	20, 29, 23, 30	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( J qTop F ) ) <-> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
32	18, 31	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
33		resttopon 19829	. . . 4 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ U C_ Y ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
34	20, 23, 33	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
35		qtopss 20382	. . 3 |- ( ( ( F |` A ) e. ( ( J ↾t A ) Cn ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) /\ ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) /\ ran ( F |` A ) = U ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) C_ ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )
36	32, 34, 27, 35	syl3anc 1226	. 2 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) C_ ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )
37		resttopon 19829	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
38	1, 12, 37	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
39		fnfun 5660	. . . . . . . 8 |- ( F Fn X -> Fun F )
40	4, 39	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun F )
41	12, 10	sseqtr4d 3526	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ dom F )
42		fores 5786	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) )
43	40, 41, 42	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) )
44		foeq3 5775	. . . . . . 7 |- ( ( F " A ) = U -> ( ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) <-> ( F |` A ) : A -onto-> U ) )
45	26, 44	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F |` A ) : A -onto-> ( F " A ) <-> ( F |` A ) : A -onto-> U ) )
46	43, 45	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` A ) : A -onto-> U )
47		elqtop3 20370	. . . . 5 |- ( ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ ( F |` A ) : A -onto-> U ) -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) <-> ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) )
48	38, 46, 47	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) <-> ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) )
49		cnvresima 5479	. . . . . . . 8 |- ( `' ( F |` A ) " x ) = ( ( `' F " x ) i^i A )
50		imass2 5360	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ U -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " U ) )
51	50	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " U ) )
52	7	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> A = ( `' F " U ) )
53	51, 52	sseqtr4d 3526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' F " x ) C_ A )
54		df-ss 3475	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " x ) C_ A <-> ( ( `' F " x ) i^i A ) = ( `' F " x ) )
55	53, 54	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' F " x ) i^i A ) = ( `' F " x ) )
56	49, 55	syl5eq 2507	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( `' ( F |` A ) " x ) = ( `' F " x ) )
57	56	eleq1d 2523	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) )
58		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x C_ U )
59		df-ss 3475	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ U <-> ( x i^i U ) = x )
60	58, 59	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x i^i U ) = x )
61		topontop 19594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) -> ( J qTop F ) e. Top )
62	20, 61	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. Top )
63	62	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( J qTop F ) e. Top )
64		toponmax 19596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
65	1, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. J )
66		fornex 6742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. J -> ( F : X -onto-> Y -> Y e. _V ) )
67	65, 2, 66	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. _V )
68	67, 23	ssexd 4584	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. _V )
69	68	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> U e. _V )
70	23	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> U C_ Y )
71	58, 70	sstrd 3499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x C_ Y )
72		topontop 19594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
73	1, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J e. Top )
74		restopn2 19845	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( ( `' F " x ) e. J /\ ( `' F " x ) C_ A ) ) )
75	73, 74	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A e. J ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) <-> ( ( `' F " x ) e. J /\ ( `' F " x ) C_ A ) ) )
76	75	simprbda 621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. J ) /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
77	76	adantrl 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. J ) /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
78	77	an32s 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( `' F " x ) e. J )
79		elqtop3 20370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
80	1, 2, 79	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
81	80	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
82	71, 78, 81	mpbir2and 920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x e. ( J qTop F ) )
83		elrestr 14918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J qTop F ) e. Top /\ U e. _V /\ x e. ( J qTop F ) ) -> ( x i^i U ) e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
84	63, 69, 82, 83	syl3anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> ( x i^i U ) e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
85	60, 84	eqeltrrd 2543	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. J ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
86	34	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) )
87		toponuni 19595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) -> U = U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
88	86, 87	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U = U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
89	88	difeq1d 3607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) = ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) )
90	23	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U C_ Y )
91	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
92		toponuni 19595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. ( J qTop F ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> Y = U. ( J qTop F ) )
94	90, 93	sseqtrd 3525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> U C_ U. ( J qTop F ) )
95	90	ssdifssd 3628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) C_ Y )
96	40	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> Fun F )
97		funcnvcnv 5628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
98		imadif 5645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun `' `' F -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
99	96, 97, 98	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
100	7	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A = ( `' F " U ) )
101	100	difeq1d 3607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) = ( ( `' F " U ) \ ( `' F " x ) ) )
102	99, 101	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) = ( A \ ( `' F " x ) ) )
103		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A e. ( Clsd ` J ) )
104	38	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
105		toponuni 19595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
106	104, 105	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
107	106	difeq1d 3607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) = ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) )
108		topontop 19594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
109	104, 108	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
110		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) )
111		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
112	111	opncld 19701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
113	109, 110, 112	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. ( J ↾t A ) \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
114	107, 113	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) )
115		restcldr 19842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t A ) ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
116	103, 114, 115	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
117	102, 116	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
118		qtopcld 20380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
119	1, 2, 118	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
120	119	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( ( U \ x ) C_ Y /\ ( `' F " ( U \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
121	95, 117, 120	mpbir2and 920	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) )
122		difssd 3618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) C_ U )
123		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( J qTop F ) = U. ( J qTop F )
124	123	restcldi 19841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U C_ U. ( J qTop F ) /\ ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) /\ ( U \ x ) C_ U ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
125	94, 121, 122, 124	syl3anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
126	89, 125	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
127		topontop 19594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. (TopOn ` U ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top )
128	86, 127	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top )
129		simplrl 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U )
130	129, 88	sseqtrd 3525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
131		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) = U. ( ( J qTop F ) ↾t U )
132	131	isopn2 19700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J qTop F ) ↾t U ) e. Top /\ x C_ U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) -> ( x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) <-> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
133	128, 130, 132	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) <-> ( U. ( ( J qTop F ) ↾t U ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) ) )
134	126, 133	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
135		qtoprest.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )
136	135	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> ( A e. J \/ A e. ( Clsd ` J ) ) )
137	85, 134, 136	mpjaodan 784	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x C_ U /\ ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
138	137	expr 613	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' F " x ) e. ( J ↾t A ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
139	57, 138	sylbid 215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x C_ U ) -> ( ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
140	139	expimpd 601	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x C_ U /\ ( `' ( F |` A ) " x ) e. ( J ↾t A ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
141	48, 140	sylbid 215	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) -> x e. ( ( J qTop F ) ↾t U ) ) )
142	141	ssrdv 3495	. 2 |- ( ph -> ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) C_ ( ( J qTop F ) ↾t U ) )
143	36, 142	eqssd 3506	1 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) ↾t U ) = ( ( J ↾t A ) qTop ( F |` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   i^i cin 3460   C_ wss 3461   U.cuni 4235   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   |` cres 4990   "cima 4991   Fun wfun 5564   Fn wfn 5565   -onto->wfo 5568   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾_t crest 14910   qTop cqtop 14992   Topctop 19561  TopOnctopon 19562   Clsdccld 19684   Cn ccn 19892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-qtop 14996  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cld 19687  df-cn 19895

This theorem is referenced by: (None)