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Theorem qtoprest 20732
Description: If  A is a saturated open or closed set (where saturated means that  A  =  ( `' F " U ) for some  U), then the restriction of the quotient map  F to  A is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtoprest.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
qtoprest.3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
qtoprest.4  |-  ( ph  ->  U  C_  Y )
qtoprest.5  |-  ( ph  ->  A  =  ( `' F " U ) )
qtoprest.6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
Assertion
Ref Expression
qtoprest  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  =  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )

Proof of Theorem qtoprest
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtoprest.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 qtoprest.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
3 fofn 5795 . . . . . . 7  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
5 qtopid 20720 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F ) ) )
61, 4, 5syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F
) ) )
7 qtoprest.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( `' F " U ) )
8 cnvimass 5188 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " U ) 
C_  dom  F
9 fndm 5675 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
104, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
118, 10syl5sseq 3480 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F " U )  C_  X
)
127, 11eqsstrd 3466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
13 toponuni 19942 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
141, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1512, 14sseqtrd 3468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U. J )
16 eqid 2451 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
1716cnrest 20301 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  A  C_ 
U. J )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
186, 15, 17syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
19 qtoptopon 20719 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
201, 2, 19syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
) )
21 df-ima 4847 . . . . . . 7  |-  ( F
" A )  =  ran  ( F  |`  A )
227imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " A
)  =  ( F
" ( `' F " U ) ) )
23 qtoprest.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  Y )
24 foimacnv 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  U  C_  Y )  ->  ( F "
( `' F " U ) )  =  U )
252, 23, 24syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " ( `' F " U ) )  =  U )
2622, 25eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " A
)  =  U )
2721, 26syl5eqr 2499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  A )  =  U )
28 eqimss 3484 . . . . . 6  |-  ( ran  ( F  |`  A )  =  U  ->  ran  ( F  |`  A ) 
C_  U )
2927, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  A )  C_  U
)
30 cnrest2 20302 . . . . 5  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ran  ( F  |`  A )  C_  U  /\  U  C_  Y )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop  F ) )  <->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
3120, 29, 23, 30syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop  F ) )  <->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
3218, 31mpbid 214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
33 resttopon 20177 . . . 4  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  U  C_  Y
)  ->  ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U ) )
3420, 23, 33syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  e.  (TopOn `  U ) )
35 qtopss 20730 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( ( J qTop  F )t  U ) )  /\  ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U
)  /\  ran  ( F  |`  A )  =  U )  ->  ( ( J qTop  F )t  U )  C_  (
( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
3632, 34, 27, 35syl3anc 1268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  C_  (
( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
37 resttopon 20177 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
381, 12, 37syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
39 fnfun 5673 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
404, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  F )
4112, 10sseqtr4d 3469 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
42 fores 5802 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A ) )
4340, 41, 42syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A ) )
44 foeq3 5791 . . . . . . 7  |-  ( ( F " A )  =  U  ->  (
( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A )  <->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U ) )
4526, 44syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A ) : A -onto->
( F " A
)  <->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U ) )
4643, 45mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U )
47 elqtop3 20718 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  ( F  |`  A ) : A -onto-> U )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  <->  ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A )
" x )  e.  ( Jt  A ) ) ) )
4838, 46, 47syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  <->  ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A )
" x )  e.  ( Jt  A ) ) ) )
49 cnvresima 5324 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  |`  A )
" x )  =  ( ( `' F " x )  i^i  A
)
50 imass2 5204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  U  ->  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " U ) )
5150adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " U ) )
527adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  A  =  ( `' F " U ) )
5351, 52sseqtr4d 3469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' F " x )  C_  A )
54 df-ss 3418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " x ) 
C_  A  <->  ( ( `' F " x )  i^i  A )  =  ( `' F "
x ) )
5553, 54sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' F " x )  i^i  A )  =  ( `' F "
x ) )
5649, 55syl5eq 2497 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' ( F  |`  A )
" x )  =  ( `' F "
x ) )
5756eleq1d 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' ( F  |`  A ) " x
)  e.  ( Jt  A )  <->  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )
58 simplrl 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  C_  U )
59 df-ss 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  U  <->  ( x  i^i  U )  =  x )
6058, 59sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  i^i  U )  =  x )
61 topontop 19941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
6220, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
6362ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
64 toponmax 19943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
651, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
66 fornex 6762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  J  ->  ( F : X -onto-> Y  ->  Y  e.  _V )
)
6765, 2, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
6867, 23ssexd 4550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
6968ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  U  e.  _V )
7023ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  U  C_  Y )
7158, 70sstrd 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  C_  Y )
72 topontop 19941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
731, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
74 restopn2 20193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( Jt  A )  <->  ( ( `' F " x )  e.  J  /\  ( `' F " x ) 
C_  A ) ) )
7573, 74sylan 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  e.  J )  ->  (
( `' F "
x )  e.  ( Jt  A )  <->  ( ( `' F " x )  e.  J  /\  ( `' F " x ) 
C_  A ) ) )
7675simprbda 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  J )  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
7776adantrl 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  J )  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
7877an32s 813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
79 elqtop3 20718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
801, 2, 79syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
8180ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
8271, 78, 81mpbir2and 933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  e.  ( J qTop  F ) )
83 elrestr 15327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  U  e.  _V  /\  x  e.  ( J qTop  F ) )  ->  ( x  i^i  U )  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) )
8463, 69, 82, 83syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  i^i  U )  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
8560, 84eqeltrrd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
8634ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  (TopOn `  U ) )
87 toponuni 19942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U )  ->  U  =  U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  =  U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
8988difeq1d 3550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  =  ( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x ) )
9023ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_  Y )
9120ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
92 toponuni 19942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
9490, 93sseqtrd 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_ 
U. ( J qTop  F
) )
9590ssdifssd 3571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  C_  Y )
9640ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Fun  F )
97 funcnvcnv 5641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
98 imadif 5658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( ( `' F " U ) 
\  ( `' F " x ) ) )
9996, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( ( `' F " U ) 
\  ( `' F " x ) ) )
1007ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  =  ( `' F " U ) )
101100difeq1d 3550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  =  ( ( `' F " U )  \  ( `' F " x ) ) )
10299, 101eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( A  \ 
( `' F "
x ) ) )
103 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )
10438ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
105 toponuni 19942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
107106difeq1d 3550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) ) )
108 topontop 19941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
109104, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
110 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) )
111 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
112111opncld 20048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  ( `' F "
x )  e.  ( Jt  A ) )  -> 
( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
113109, 110, 112syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
114107, 113eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
115 restcldr 20190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )  ->  ( A  \ 
( `' F "
x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
116103, 114, 115syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
117102, 116eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
118 qtopcld 20728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U 
\  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
1191, 2, 118syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  \  x )  e.  (
Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U  \  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
120119ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U 
\  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
12195, 117, 120mpbir2and 933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) ) )
122 difssd 3561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  C_  U )
123 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
124123restcldi 20189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  C_  U. ( J qTop  F )  /\  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  /\  ( U  \  x
)  C_  U )  ->  ( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
12594, 121, 122, 124syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) )
12689, 125eqeltrrd 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( J qTop  F
)t 
U )  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
127 topontop 19941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  Top )
12886, 127syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  Top )
129 simplrl 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  C_  U )
130129, 88sseqtrd 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
131 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (
( J qTop  F )t  U
)  =  U. (
( J qTop  F )t  U
)
132131isopn2 20047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J qTop  F
)t 
U )  e.  Top  /\  x  C_  U. (
( J qTop  F )t  U
) )  ->  (
x  e.  ( ( J qTop  F )t  U )  <-> 
( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
133128, 130, 132syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( ( J qTop  F )t  U )  <-> 
( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
134126, 133mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
135 qtoprest.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
136135adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
13785, 134, 136mpjaodan 795 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
138137expr 620 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( Jt  A )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
13957, 138sylbid 219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' ( F  |`  A ) " x
)  e.  ( Jt  A )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
140139expimpd 608 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A ) " x )  e.  ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
14148, 140sylbid 219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
142141ssrdv 3438 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  C_  ( ( J qTop  F )t  U ) )
14336, 142eqssd 3449 1  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  =  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    i^i cin 3403    C_ wss 3404   U.cuni 4198   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   "cima 4837   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -onto->wfo 5580   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾t crest 15319   qTop cqtop 15401   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   Clsdccld 20031    Cn ccn 20240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-qtop 15406  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-cn 20243
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