Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopomap Structured version   Unicode version

Theorem qtopomap 20511
 Description: If is a surjective continuous open map, then it is a quotient map. (An open map is a function that maps open sets to open sets.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopomap.4 TopOn
qtopomap.5
qtopomap.6
qtopomap.7
Assertion
Ref Expression
qtopomap qTop
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem qtopomap
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopomap.5 . . 3
2 qtopomap.4 . . 3 TopOn
3 qtopomap.6 . . 3
4 qtopss 20508 . . 3 TopOn qTop
51, 2, 3, 4syl3anc 1230 . 2 qTop
6 cntop1 20034 . . . . . . 7
71, 6syl 17 . . . . . 6
8 eqid 2402 . . . . . . 7
98toptopon 19726 . . . . . 6 TopOn
107, 9sylib 196 . . . . 5 TopOn
11 cnf2 20043 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
1210, 2, 1, 11syl3anc 1230 . . . . . . 7
13 ffn 5714 . . . . . . 7
1412, 13syl 17 . . . . . 6
15 df-fo 5575 . . . . . 6
1614, 3, 15sylanbrc 662 . . . . 5
17 elqtop3 20496 . . . . 5 TopOn qTop
1810, 16, 17syl2anc 659 . . . 4 qTop
19 foimacnv 5816 . . . . . . . 8
2016, 19sylan 469 . . . . . . 7
2120adantrr 715 . . . . . 6
22 simprr 758 . . . . . . 7
23 qtopomap.7 . . . . . . . . 9
2423ralrimiva 2818 . . . . . . . 8
2524adantr 463 . . . . . . 7
26 imaeq2 5153 . . . . . . . . 9
2726eleq1d 2471 . . . . . . . 8
2827rspcv 3156 . . . . . . 7
2922, 25, 28sylc 59 . . . . . 6
3021, 29eqeltrrd 2491 . . . . 5
3130ex 432 . . . 4
3218, 31sylbid 215 . . 3 qTop
3332ssrdv 3448 . 2 qTop
345, 33eqssd 3459 1 qTop
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754   wss 3414  cuni 4191  ccnv 4822   crn 4824  cima 4826   wfn 5564  wf 5565  wfo 5567  cfv 5569  (class class class)co 6278   qTop cqtop 15117  ctop 19686  TopOnctopon 19687   ccn 20018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-qtop 15121  df-top 19691  df-topon 19694  df-cn 20021 This theorem is referenced by:  hmeoqtop  20568
 Copyright terms: Public domain W3C validator