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Theorem qtophmeo 19390
Description: If two functions on a base topology  J make the same identifications in order to create quotient spaces  J qTop  F and  J qTop  G, then not only are  J qTop  F and  J qTop  G homeomorphic, but there is a unique homeomorphism that makes the diagram commute. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtophmeo.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
qtophmeo.3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
qtophmeo.4  |-  ( ph  ->  G : X -onto-> Y
)
qtophmeo.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( G `  x
)  =  ( G `
 y ) ) )
Assertion
Ref Expression
qtophmeo  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F )
Homeo ( J qTop  G ) ) G  =  ( f  o.  F ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    f, G, x, y    f, J, x, y    ph, f, x, y   
x, X, y    f, Y, x
Allowed substitution hints:    X( f)    Y( y)

Proof of Theorem qtophmeo
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtophmeo.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 qtophmeo.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
3 qtophmeo.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : X -onto-> Y
)
4 fofn 5622 . . . . . . 7  |-  ( G : X -onto-> Y  ->  G  Fn  X )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  X )
6 qtopid 19278 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G  Fn  X )  ->  G  e.  ( J  Cn  ( J qTop  G ) ) )
71, 5, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  ( J qTop  G
) ) )
8 df-3an 967 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) )
9 qtophmeo.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( G `  x
)  =  ( G `
 y ) ) )
109biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) ) )
1110impr 619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
128, 11sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
131, 2, 7, 12qtopeu 19289 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G
) ) G  =  ( f  o.  F
) )
14 reurex 2937 . . . 4  |-  ( E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) ) G  =  ( f  o.  F )  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G
) ) G  =  ( f  o.  F
) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G
) ) G  =  ( f  o.  F
) )
16 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G
) ) )
17 fofn 5622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
182, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
19 qtopid 19278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F ) ) )
201, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F
) ) )
21 df-3an 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( G `  x
)  =  ( G `
 y ) ) )
229biimprd 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
2322impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( G `  x
)  =  ( G `
 y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
2421, 23sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( G `  x )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
251, 3, 20, 24qtopeu 19289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) ) F  =  ( g  o.  G
) )
2625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  E! g  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) F  =  ( g  o.  G ) )
27 reurex 2937 . . . . . . . . 9  |-  ( E! g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F ) ) F  =  ( g  o.  G )  ->  E. g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) ) F  =  ( g  o.  G
) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  E. g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) ) F  =  ( g  o.  G
) )
29 qtoptopon 19277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
301, 2, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
) )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( J qTop  F
)  e.  (TopOn `  Y ) )
32 qtoptopon 19277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y ) )
331, 3, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y
) )
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( J qTop  G
)  e.  (TopOn `  Y ) )
35 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G
) ) )
36 cnf2 18853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y )  /\  f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) )  ->  f : Y --> Y )
3731, 34, 35, 36syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  f : Y --> Y )
38 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) ) )
39 cnf2 18853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  /\  g  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) )  ->  g : Y --> Y )
4034, 31, 38, 39syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  g : Y --> Y )
41 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( G `  x )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
421, 3, 7, 41qtopeu 19289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E! h  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G
) ) G  =  ( h  o.  G
) )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  E! h  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) G  =  ( h  o.  G ) )
44 reurmo 2938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E! h  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G ) ) G  =  ( h  o.  G )  ->  E* h  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) G  =  ( h  o.  G ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  E* h  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) G  =  ( h  o.  G ) )
46 cnco 18870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F ) )  /\  f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) )  ->  ( f  o.  g )  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G
) ) )
4738, 35, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( f  o.  g )  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G
) ) )
48 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  G  =  ( f  o.  F ) )
49 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  F  =  ( g  o.  G ) )
5049coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( f  o.  F )  =  ( f  o.  ( g  o.  G ) ) )
5148, 50eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  G  =  ( f  o.  ( g  o.  G ) ) )
52 coass 5356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  o.  g )  o.  G )  =  ( f  o.  (
g  o.  G ) )
5351, 52syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  G  =  ( ( f  o.  g
)  o.  G ) )
54 idcn 18861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y )  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
G )  Cn  ( J qTop  G ) ) )
5533, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
G )  Cn  ( J qTop  G ) ) )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
G )  Cn  ( J qTop  G ) ) )
57 fof 5620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : X -onto-> Y  ->  G : X --> Y )
583, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : X --> Y )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  G : X --> Y )
60 fcoi2 5586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : X --> Y  -> 
( (  _I  |`  Y )  o.  G )  =  G )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( (  _I  |`  Y )  o.  G
)  =  G )
6261eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  G  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  G ) )
63 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h  o.  G )  =  ( ( f  o.  g )  o.  G ) )
6463eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  ( G  =  ( h  o.  G )  <->  G  =  ( ( f  o.  g )  o.  G
) ) )
65 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  (  _I  |`  Y )  ->  ( h  o.  G )  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  G ) )
6665eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  (  _I  |`  Y )  ->  ( G  =  ( h  o.  G
)  <->  G  =  (
(  _I  |`  Y )  o.  G ) ) )
6764, 66rmoi 3287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E* h  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G
) ) G  =  ( h  o.  G
)  /\  ( (
f  o.  g )  e.  ( ( J qTop 
G )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( (
f  o.  g )  o.  G ) )  /\  ( (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G
) )  /\  G  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  G
) ) )  -> 
( f  o.  g
)  =  (  _I  |`  Y ) )
6845, 47, 53, 56, 62, 67syl122anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( f  o.  g )  =  (  _I  |`  Y )
)
69 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
701, 2, 20, 69qtopeu 19289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E! h  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F
) ) F  =  ( h  o.  F
) )
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  E! h  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) F  =  ( h  o.  F ) )
72 reurmo 2938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E! h  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F ) ) F  =  ( h  o.  F )  ->  E* h  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) F  =  ( h  o.  F ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  E* h  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) F  =  ( h  o.  F ) )
74 cnco 18870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) )  ->  ( g  o.  f )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F
) ) )
7535, 38, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( g  o.  f )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F
) ) )
7648coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( g  o.  G )  =  ( g  o.  ( f  o.  F ) ) )
7749, 76eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  F  =  ( g  o.  ( f  o.  F ) ) )
78 coass 5356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  o.  f )  o.  F )  =  ( g  o.  (
f  o.  F ) )
7977, 78syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  F  =  ( ( g  o.  f
)  o.  F ) )
80 idcn 18861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
F )  Cn  ( J qTop  F ) ) )
8130, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
F )  Cn  ( J qTop  F ) ) )
8281ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
F )  Cn  ( J qTop  F ) ) )
83 fof 5620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
842, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  F : X --> Y )
86 fcoi2 5586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  -> 
( (  _I  |`  Y )  o.  F )  =  F )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( (  _I  |`  Y )  o.  F
)  =  F )
8887eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  F  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  F ) )
89 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( g  o.  f )  ->  (
h  o.  F )  =  ( ( g  o.  f )  o.  F ) )
9089eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( g  o.  f )  ->  ( F  =  ( h  o.  F )  <->  F  =  ( ( g  o.  f )  o.  F
) ) )
91 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  (  _I  |`  Y )  ->  ( h  o.  F )  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  F ) )
9291eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  (  _I  |`  Y )  ->  ( F  =  ( h  o.  F
)  <->  F  =  (
(  _I  |`  Y )  o.  F ) ) )
9390, 92rmoi 3287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E* h  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F
) ) F  =  ( h  o.  F
)  /\  ( (
g  o.  f )  e.  ( ( J qTop 
F )  Cn  ( J qTop  F ) )  /\  F  =  ( (
g  o.  f )  o.  F ) )  /\  ( (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  F
) ) )  -> 
( g  o.  f
)  =  (  _I  |`  Y ) )
9473, 75, 79, 82, 88, 93syl122anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( g  o.  f )  =  (  _I  |`  Y )
)
95 fcof1o 5997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : Y --> Y  /\  g : Y --> Y )  /\  (
( f  o.  g
)  =  (  _I  |`  Y )  /\  (
g  o.  f )  =  (  _I  |`  Y ) ) )  ->  (
f : Y -1-1-onto-> Y  /\  `' f  =  g
) )
9637, 40, 68, 94, 95syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( f : Y -1-1-onto-> Y  /\  `' f  =  g ) )
9796simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  `' f  =  g )
9897, 38eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  `' f  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
9928, 98rexlimddv 2845 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  `' f  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
100 ishmeo 19332 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ( J qTop 
F ) Homeo ( J qTop 
G ) )  <->  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  `' f  e.  (
( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F ) ) ) )
10116, 99, 100sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  f  e.  ( ( J qTop  F )
Homeo ( J qTop  G ) ) )
102 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  G  =  ( f  o.  F ) )
103101, 102jca 532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )
104103ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) )  -> 
( f  e.  ( ( J qTop  F )
Homeo ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) ) )
105104reximdv2 2825 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) G  =  ( f  o.  F )  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) G  =  ( f  o.  F
) ) )
10615, 105mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F )
Homeo ( J qTop  G ) ) G  =  ( f  o.  F ) )
107 eqtr2 2461 . . . 4  |-  ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
( f  o.  F
)  =  ( g  o.  F ) )
1082adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
10930adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ) )  ->  ( J qTop  F
)  e.  (TopOn `  Y ) )
11033adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ) )  ->  ( J qTop  G
)  e.  (TopOn `  Y ) )
111 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ) )  ->  f  e.  ( ( J qTop  F )
Homeo ( J qTop  G ) ) )
112 hmeof1o2 19336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y )  /\  f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) )  -> 
f : Y -1-1-onto-> Y )
113109, 110, 111, 112syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ) )  ->  f : Y -1-1-onto-> Y
)
114 f1ofn 5642 . . . . . 6  |-  ( f : Y -1-1-onto-> Y  ->  f  Fn  Y )
115113, 114syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ) )  ->  f  Fn  Y
)
116 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ) )  ->  g  e.  ( ( J qTop  F )
Homeo ( J qTop  G ) ) )
117 hmeof1o2 19336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) )  -> 
g : Y -1-1-onto-> Y )
118109, 110, 116, 117syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ) )  ->  g : Y -1-1-onto-> Y
)
119 f1ofn 5642 . . . . . 6  |-  ( g : Y -1-1-onto-> Y  ->  g  Fn  Y )
120118, 119syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ) )  ->  g  Fn  Y
)
121 cocan2 5996 . . . . 5  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  f  Fn  Y  /\  g  Fn  Y
)  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F )  <->  f  =  g ) )
122108, 115, 120, 121syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ) )  ->  ( ( f  o.  F )  =  ( g  o.  F
)  <->  f  =  g ) )
123107, 122syl5ib 219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ) )  ->  ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
f  =  g ) )
124123ralrimivva 2808 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( J qTop  F )
Homeo ( J qTop  G ) ) A. g  e.  ( ( J qTop  F
) Homeo ( J qTop  G
) ) ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
f  =  g ) )
125 coeq1 4997 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F ) )
126125eqeq2d 2454 . . 3  |-  ( f  =  g  ->  ( G  =  ( f  o.  F )  <->  G  =  ( g  o.  F
) ) )
127126reu4 3153 . 2  |-  ( E! f  e.  ( ( J qTop  F ) Homeo ( J qTop  G ) ) G  =  ( f  o.  F )  <->  ( E. f  e.  ( ( J qTop  F ) Homeo ( J qTop 
G ) ) G  =  ( f  o.  F )  /\  A. f  e.  ( ( J qTop  F ) Homeo ( J qTop 
G ) ) A. g  e.  ( ( J qTop  F ) Homeo ( J qTop 
G ) ) ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  ->  f  =  g ) ) )
128106, 124, 127sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F )
Homeo ( J qTop  G ) ) G  =  ( f  o.  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   E!wreu 2717   E*wrmo 2718    _I cid 4631   `'ccnv 4839    |` cres 4842    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -onto->wfo 5416   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   qTop cqtop 14441  TopOnctopon 18499    Cn ccn 18828   Homeochmeo 19326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-qtop 14445  df-top 18503  df-topon 18506  df-cn 18831  df-hmeo 19328
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