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Theorem qtophaus 28670
Description: If an open map's graph in the product space  ( J  tX  J ) is closed, then its quotient topology is Hausdorff. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qtophaus.x  |-  X  = 
U. J
qtophaus.e  |-  .~  =  ( `' F  o.  F
)
qtophaus.h  |-  H  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
)
qtophaus.1  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
qtophaus.2  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
qtophaus.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  ( J qTop  F ) )
qtophaus.4  |-  ( ph  ->  .~  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) )
Assertion
Ref Expression
qtophaus  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  Haus )
Distinct variable groups:    x,  .~ , y    x, F, y    x, H, y    x, J, y   
x, X, y    x, Y, y    ph, x, y

Proof of Theorem qtophaus
Dummy variables  a 
b  c  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtophaus.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
2 haustop 20358 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
4 qtophaus.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
5 fofn 5778 . . . 4  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
7 qtophaus.x . . . 4  |-  X  = 
U. J
87qtoptop 20726 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  Fn  X )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
93, 6, 8syl2anc 671 . 2  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
10 txtop 20595 . . . 4  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  ( J qTop  F )  e.  Top )  ->  ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) )  e. 
Top )
119, 9, 10syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) )  e.  Top )
12 idssxp 28236 . . . 4  |-  (  _I  |`  U. ( J qTop  F
) )  C_  ( U. ( J qTop  F )  X.  U. ( J qTop 
F ) )
13 eqid 2452 . . . . . 6  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
1413, 13txuni 20618 . . . . 5  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  ( J qTop  F )  e.  Top )  ->  ( U. ( J qTop  F )  X.  U. ( J qTop  F )
)  =  U. (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) )
159, 9, 14syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U. ( J qTop 
F )  X.  U. ( J qTop  F )
)  =  U. (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) )
1612, 15syl5sseq 3448 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  C_  U. ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) ) )
177qtopuni 20728 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)
183, 4, 17syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
1918sqxpeqd 4838 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  Y
)  =  ( U. ( J qTop  F )  X.  U. ( J qTop  F
) ) )
2019, 15eqtr2d 2487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) )  =  ( Y  X.  Y
) )
2118eqcomd 2458 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( J qTop  F
)  =  Y )
2221reseq2d 5083 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  =  (  _I  |`  Y ) )
2320, 22difeq12d 3520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U. ( ( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F )
)  \  (  _I  |` 
U. ( J qTop  F
) ) )  =  ( ( Y  X.  Y )  \  (  _I  |`  Y ) ) )
24 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  x  e.  X
)
25 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  y  e.  X
)
26 opelxpi 4844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  X
) )
2724, 25, 26syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( X  X.  X ) )
28 df-br 4375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( X  X.  X
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  X ) )
2927, 28sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  x ( X  X.  X ) y )
30 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( F `  x )  =  a )
31 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( F `  y )  =  b )
3230, 31opeq12d 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>.  =  <. a ,  b >. )
33 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  c  =  <. a ,  b >. )
34 simp-8r 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  c  e.  ( ( Y  X.  Y
)  \  _I  )
)
3533, 34eqeltrrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  <. a ,  b
>.  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )
3632, 35eqeltrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>.  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )
37 relxp 4920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Rel  ( Y  X.  Y )
38 opeldifid 28219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Rel  ( Y  X.  Y
)  ->  ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  e.  ( ( Y  X.  Y
)  \  _I  )  <->  (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  e.  ( Y  X.  Y
)  /\  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) ) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) 
<->  ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>.  e.  ( Y  X.  Y )  /\  ( F `  x )  =/=  ( F `  y
) ) )
4036, 39sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  e.  ( Y  X.  Y )  /\  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) )
4140simprd 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
)
426ad8antr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  F  Fn  X
)
43 qtophaus.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .~  =  ( `' F  o.  F
)
4443fcoinvbr 28224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x  .~  y  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
4542, 24, 25, 44syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( x  .~  y 
<->  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) )
4645necon3bbid 2661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( -.  x  .~  y  <->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) )
4741, 46mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  -.  x  .~  y )
48 df-br 4375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( ( X  X.  X )  \  .~  ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (
( X  X.  X
)  \  .~  )
)
49 brdif 4425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( ( X  X.  X )  \  .~  ) y  <->  ( x
( X  X.  X
) y  /\  -.  x  .~  y ) )
5048, 49bitr3i 259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) 
<->  ( x ( X  X.  X ) y  /\  -.  x  .~  y ) )
5129, 47, 50sylanbrc 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )
52 qtophaus.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
)
5352, 24, 25fvproj 28666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( H `  <. x ,  y >.
)  =  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. )
5432, 53, 333eqtr4d 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( H `  <. x ,  y >.
)  =  c )
55 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
5655eqeq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( H `
 z )  =  c  <->  ( H `  <. x ,  y >.
)  =  c ) )
5756rspcev 3118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  /\  ( H `  <. x ,  y >.
)  =  c )  ->  E. z  e.  ( ( X  X.  X
)  \  .~  )
( H `  z
)  =  c )
5851, 54, 57syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  E. z  e.  ( ( X  X.  X
)  \  .~  )
( H `  z
)  =  c )
59 fofun 5777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  Fun  F )
604, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Fun  F )
6160ad4antr 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  Fun  F
)
6261ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  ->  Fun  F )
63 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  -> 
b  e.  Y )
64 foima 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
654, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F " X
)  =  Y )
6665ad4antr 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  ( F
" X )  =  Y )
6766ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  -> 
( F " X
)  =  Y )
6863, 67eleqtrrd 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  -> 
b  e.  ( F
" X ) )
69 fvelima 5900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  b  e.  ( F " X
) )  ->  E. y  e.  X  ( F `  y )  =  b )
7062, 68, 69syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  ->  E. y  e.  X  ( F `  y )  =  b )
7158, 70r19.29a 2900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  ->  E. z  e.  (
( X  X.  X
)  \  .~  )
( H `  z
)  =  c )
72 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  a  e.  Y )
7372, 66eleqtrrd 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  a  e.  ( F " X
) )
74 fvelima 5900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  a  e.  ( F " X
) )  ->  E. x  e.  X  ( F `  x )  =  a )
7561, 73, 74syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  E. x  e.  X  ( F `  x )  =  a )
7671, 75r19.29a 2900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  E. z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) ( H `  z )  =  c )
77 simpr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  ->  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )
7877eldifad 3384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  ->  c  e.  ( Y  X.  Y
) )
79 elxp2 4830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( Y  X.  Y )  <->  E. a  e.  Y  E. b  e.  Y  c  =  <. a ,  b >.
)
8078, 79sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  ->  E. a  e.  Y  E. b  e.  Y  c  =  <. a ,  b >.
)
8176, 80r19.29vva 2902 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  ->  E. z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) ( H `  z )  =  c )
82 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  z  =  <. x ,  y >.
)
8382fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
84 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( H `  z )  =  c )
85 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  x  e.  X )
86 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  y  e.  X )
8752, 85, 86fvproj 28666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( H `  <. x ,  y
>. )  =  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. )
8883, 84, 873eqtr3d 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  c  =  <. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
)
89 fof 5776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
904, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
9190ad5antr 745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  F : X
--> Y )
9291, 85ffvelrnd 6007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( F `  x )  e.  Y
)
9391, 86ffvelrnd 6007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( F `  y )  e.  Y
)
94 opelxp 4842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  e.  ( Y  X.  Y
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  Y  /\  ( F `
 y )  e.  Y ) )
9592, 93, 94sylanbrc 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  <. ( F `
 x ) ,  ( F `  y
) >.  e.  ( Y  X.  Y ) )
96 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )
9782, 96eqeltrrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  <. x ,  y >.  e.  (
( X  X.  X
)  \  .~  )
)
9850simprbi 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  ->  -.  x  .~  y )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  -.  x  .~  y )
1006ad5antr 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  F  Fn  X )
101100, 85, 86, 44syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( x  .~  y  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
102101necon3bbid 2661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( -.  x  .~  y  <->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) )
10399, 102mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
)
10495, 103, 39sylanbrc 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  <. ( F `
 x ) ,  ( F `  y
) >.  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )
10588, 104eqeltrd 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )
106 eldifi 3523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  ->  z  e.  ( X  X.  X
) )
107106adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  ->  z  e.  ( X  X.  X
) )
108 elxp2 4830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( X  X.  X )  <->  E. x  e.  X  E. y  e.  X  z  =  <. x ,  y >.
)
109107, 108sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  X  z  =  <. x ,  y >.
)
110109adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  X  z  =  <. x ,  y >. )
111105, 110r19.29vva 2902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  -> 
c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )
112111r19.29an 2899 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) ( H `  z )  =  c )  ->  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )
11381, 112impbida 847 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( ( Y  X.  Y
)  \  _I  )  <->  E. z  e.  ( ( X  X.  X ) 
\  .~  ) ( H `  z )  =  c ) )
114 opex 4637 . . . . . . . . . 10  |-  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  e.  _V
11552, 114fnmpt2i 6850 . . . . . . . . 9  |-  H  Fn  ( X  X.  X
)
116 difss 3528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  X.  X ) 
\  .~  )  C_  ( X  X.  X
)
117 fvelimab 5905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  ( X  X.  X )  /\  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  C_  ( X  X.  X ) )  -> 
( c  e.  ( H " ( ( X  X.  X ) 
\  .~  ) )  <->  E. z  e.  ( ( X  X.  X ) 
\  .~  ) ( H `  z )  =  c ) )
118115, 116, 117mp2an 683 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( H "
( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  <->  E. z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) ( H `  z )  =  c )
119113, 118syl6rbbr 272 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( H " ( ( X  X.  X ) 
\  .~  ) )  <->  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) ) )
120119eqrdv 2450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H " (
( X  X.  X
)  \  .~  )
)  =  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )
121 ssv 3420 . . . . . . 7  |-  Y  C_  _V
122 xpss2 4922 . . . . . . 7  |-  ( Y 
C_  _V  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( Y  X.  _V )
)
123 difres 28220 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( Y  X.  _V )  ->  ( ( Y  X.  Y ) 
\  (  _I  |`  Y ) )  =  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )
124121, 122, 123mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
\  (  _I  |`  Y ) )  =  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  )
125120, 124syl6eqr 2504 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H " (
( X  X.  X
)  \  .~  )
)  =  ( ( Y  X.  Y ) 
\  (  _I  |`  Y ) ) )
1267toptopon 19959 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1273, 126sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
128 qtoptopon 20730 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
129127, 4, 128syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
) )
130 qtophaus.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  ( J qTop  F ) )
131130ralrimiva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  J  ( F " x )  e.  ( J qTop  F
) )
132 imaeq2 5142 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
133132eleq1d 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( F " x
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( F " y )  e.  ( J qTop  F ) ) )
134133cbvralv 2987 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  J  ( F " x )  e.  ( J qTop  F )  <->  A. y  e.  J  ( F " y )  e.  ( J qTop  F
) )
135131, 134sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  J  ( F " y )  e.  ( J qTop  F
) )
136135r19.21bi 2757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  ( F " y )  e.  ( J qTop  F ) )
1377, 7txuni 20618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( X  X.  X
)  =  U. ( J  tX  J ) )
1383, 3, 137syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  =  U. ( J  tX  J ) )
139138difeq1d 3518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  =  ( U. ( J  tX  J ) 
\  .~  ) )
140 qtophaus.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .~  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) )
141 txtop 20595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( J  tX  J
)  e.  Top )
1423, 3, 141syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  tX  J
)  e.  Top )
143 fcoinver 28223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  X  ->  ( `' F  o.  F
)  Er  X )
1446, 143syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F  o.  F )  Er  X
)
145 ereq1 7357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  .~  =  ( `' F  o.  F )  ->  (  .~  Er  X  <->  ( `' F  o.  F )  Er  X ) )
14643, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  .~  Er  X  <->  ( `' F  o.  F )  Er  X
)
147144, 146sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  .~  Er  X )
148 erssxp 7373 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .~  Er  X  ->  .~  C_  ( X  X.  X ) )
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .~  C_  ( X  X.  X ) )
150149, 138sseqtrd 3436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .~  C_  U. ( J  tX  J ) )
151 eqid 2452 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( J  tX  J )  = 
U. ( J  tX  J )
152151iscld2 20054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  tX  J
)  e.  Top  /\  .~  C_  U. ( J  tX  J ) )  -> 
(  .~  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) )  <->  ( U. ( J  tX  J ) 
\  .~  )  e.  ( J  tX  J ) ) )
153142, 150, 152syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  .~  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) )  <->  ( U. ( J  tX  J ) 
\  .~  )  e.  ( J  tX  J ) ) )
154140, 153mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ( J 
tX  J )  \  .~  )  e.  ( J  tX  J ) )
155139, 154eqeltrd 2530 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  e.  ( J  tX  J ) )
15690, 90, 127, 127, 129, 129, 130, 136, 155, 52txomap 28668 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H " (
( X  X.  X
)  \  .~  )
)  e.  ( ( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F )
) )
157125, 156eqeltrrd 2531 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y  X.  Y )  \  (  _I  |`  Y ) )  e.  ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) ) )
15823, 157eqeltrd 2530 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ( ( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F )
)  \  (  _I  |` 
U. ( J qTop  F
) ) )  e.  ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) ) )
159 eqid 2452 . . . . 5  |-  U. (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) )  =  U. (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) )
160159iscld2 20054 . . . 4  |-  ( ( ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) )  e.  Top  /\  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  C_  U. ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) ) )  -> 
( (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) )  <->  ( U. ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) )  \  (  _I  |`  U. ( J qTop 
F ) ) )  e.  ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) ) ) )
161160biimpar 492 . . 3  |-  ( ( ( ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) )  e. 
Top  /\  (  _I  |` 
U. ( J qTop  F
) )  C_  U. (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) )  /\  ( U. ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) )  \  (  _I  |`  U. ( J qTop 
F ) ) )  e.  ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) ) )  ->  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) ) )
16211, 16, 158, 161syl21anc 1270 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) ) )
16313hausdiag 20671 . 2  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
Haus 
<->  ( ( J qTop  F
)  e.  Top  /\  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) ) ) )
1649, 162, 163sylanbrc 675 1  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1448    e. wcel 1891    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3013    \ cdif 3369    C_ wss 3372   <.cop 3942   U.cuni 4168   class class class wbr 4374    _I cid 4722    X. cxp 4810   `'ccnv 4811    |` cres 4814   "cima 4815    o. ccom 4816   Rel wrel 4817   Fun wfun 5555    Fn wfn 5556   -->wf 5557   -onto->wfo 5559   ` cfv 5561  (class class class)co 6276    |-> cmpt2 6278    Er wer 7347   qTop cqtop 15412   Topctop 19928  TopOnctopon 19929   Clsdccld 20042   Hauscha 20335    tX ctx 20586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4169  df-iun 4250  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-id 4727  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7350  df-topgen 15353  df-qtop 15417  df-top 19932  df-bases 19933  df-topon 19934  df-cld 20045  df-haus 20342  df-tx 20588
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