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Theorem qtophaus 28000
Description: If an open map's graph in the product space  ( J  tX  J ) is closed, then its quotient topology is Hausdorff. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qtophaus.x  |-  X  = 
U. J
qtophaus.e  |-  .~  =  ( `' F  o.  F
)
qtophaus.h  |-  H  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
)
qtophaus.1  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
qtophaus.2  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
qtophaus.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  ( J qTop  F ) )
qtophaus.4  |-  ( ph  ->  .~  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) )
Assertion
Ref Expression
qtophaus  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  Haus )
Distinct variable groups:    x,  .~ , y    x, F, y    x, H, y    x, J, y   
x, X, y    x, Y, y    ph, x, y

Proof of Theorem qtophaus
Dummy variables  a 
b  c  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtophaus.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
2 haustop 19959 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
4 qtophaus.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
5 fofn 5803 . . . 4  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
7 qtophaus.x . . . 4  |-  X  = 
U. J
87qtoptop 20327 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  Fn  X )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
93, 6, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
10 txtop 20196 . . . 4  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  ( J qTop  F )  e.  Top )  ->  ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) )  e. 
Top )
119, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) )  e.  Top )
12 idssxp 27616 . . . 4  |-  (  _I  |`  U. ( J qTop  F
) )  C_  ( U. ( J qTop  F )  X.  U. ( J qTop 
F ) )
13 eqid 2457 . . . . . 6  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
1413, 13txuni 20219 . . . . 5  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  ( J qTop  F )  e.  Top )  ->  ( U. ( J qTop  F )  X.  U. ( J qTop  F )
)  =  U. (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) )
159, 9, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U. ( J qTop 
F )  X.  U. ( J qTop  F )
)  =  U. (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) )
1612, 15syl5sseq 3547 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  C_  U. ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) ) )
177qtopuni 20329 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)
183, 4, 17syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
1918sqxpeqd 5034 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  Y
)  =  ( U. ( J qTop  F )  X.  U. ( J qTop  F
) ) )
2019, 15eqtr2d 2499 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) )  =  ( Y  X.  Y
) )
2118eqcomd 2465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( J qTop  F
)  =  Y )
2221reseq2d 5283 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  =  (  _I  |`  Y ) )
2320, 22difeq12d 3619 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U. ( ( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F )
)  \  (  _I  |` 
U. ( J qTop  F
) ) )  =  ( ( Y  X.  Y )  \  (  _I  |`  Y ) ) )
24 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  x  e.  X
)
25 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  y  e.  X
)
26 opelxpi 5040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  X
) )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( X  X.  X ) )
28 df-br 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( X  X.  X
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  X ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  x ( X  X.  X ) y )
30 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( F `  x )  =  a )
31 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( F `  y )  =  b )
3230, 31opeq12d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>.  =  <. a ,  b >. )
33 simp-5r 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  c  =  <. a ,  b >. )
34 simp-8r 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  c  e.  ( ( Y  X.  Y
)  \  _I  )
)
3533, 34eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  <. a ,  b
>.  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )
3632, 35eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>.  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )
37 relxp 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Rel  ( Y  X.  Y )
38 opeldifid 27598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Rel  ( Y  X.  Y
)  ->  ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  e.  ( ( Y  X.  Y
)  \  _I  )  <->  (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  e.  ( Y  X.  Y
)  /\  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) ) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) 
<->  ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>.  e.  ( Y  X.  Y )  /\  ( F `  x )  =/=  ( F `  y
) ) )
4036, 39sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  e.  ( Y  X.  Y )  /\  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) )
4140simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
)
426ad8antr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  F  Fn  X
)
43 qtophaus.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .~  =  ( `' F  o.  F
)
4443fcoinvbr 27603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x  .~  y  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
4542, 24, 25, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( x  .~  y 
<->  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) )
4645necon3bbid 2704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( -.  x  .~  y  <->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) )
4741, 46mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  -.  x  .~  y )
48 df-br 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( ( X  X.  X )  \  .~  ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (
( X  X.  X
)  \  .~  )
)
49 brdif 4506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( ( X  X.  X )  \  .~  ) y  <->  ( x
( X  X.  X
) y  /\  -.  x  .~  y ) )
5048, 49bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) 
<->  ( x ( X  X.  X ) y  /\  -.  x  .~  y ) )
5129, 47, 50sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )
52 qtophaus.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
)
5352, 24, 25fvproj 27996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( H `  <. x ,  y >.
)  =  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. )
5432, 53, 333eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  ( H `  <. x ,  y >.
)  =  c )
55 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
5655eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( H `
 z )  =  c  <->  ( H `  <. x ,  y >.
)  =  c ) )
5756rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  /\  ( H `  <. x ,  y >.
)  =  c )  ->  E. z  e.  ( ( X  X.  X
)  \  .~  )
( H `  z
)  =  c )
5851, 54, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  y
)  =  b )  ->  E. z  e.  ( ( X  X.  X
)  \  .~  )
( H `  z
)  =  c )
59 fofun 5802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  Fun  F )
604, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Fun  F )
6160ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  Fun  F
)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  ->  Fun  F )
63 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  -> 
b  e.  Y )
64 foima 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
654, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F " X
)  =  Y )
6665ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  ( F
" X )  =  Y )
6766ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  -> 
( F " X
)  =  Y )
6863, 67eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  -> 
b  e.  ( F
" X ) )
69 fvelima 5925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  b  e.  ( F " X
) )  ->  E. y  e.  X  ( F `  y )  =  b )
7062, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  ->  E. y  e.  X  ( F `  y )  =  b )
7158, 70r19.29a 2999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  /\  a  e.  Y )  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  /\  x  e.  X )  /\  ( F `  x )  =  a )  ->  E. z  e.  (
( X  X.  X
)  \  .~  )
( H `  z
)  =  c )
72 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  a  e.  Y )
7372, 66eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  a  e.  ( F " X
) )
74 fvelima 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  a  e.  ( F " X
) )  ->  E. x  e.  X  ( F `  x )  =  a )
7561, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  E. x  e.  X  ( F `  x )  =  a )
7671, 75r19.29a 2999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )  /\  a  e.  Y
)  /\  b  e.  Y )  /\  c  =  <. a ,  b
>. )  ->  E. z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) ( H `  z )  =  c )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  ->  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )
7877eldifad 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  ->  c  e.  ( Y  X.  Y
) )
79 elxp2 5026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( Y  X.  Y )  <->  E. a  e.  Y  E. b  e.  Y  c  =  <. a ,  b >.
)
8078, 79sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  ->  E. a  e.  Y  E. b  e.  Y  c  =  <. a ,  b >.
)
8176, 80r19.29_2a 3001 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )  ->  E. z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) ( H `  z )  =  c )
82 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  z  =  <. x ,  y >.
)
8382fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
84 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( H `  z )  =  c )
85 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  x  e.  X )
86 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  y  e.  X )
8752, 85, 86fvproj 27996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( H `  <. x ,  y
>. )  =  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. )
8883, 84, 873eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  c  =  <. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
)
89 fof 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
904, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
9190ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  F : X
--> Y )
9291, 85ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( F `  x )  e.  Y
)
9391, 86ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( F `  y )  e.  Y
)
94 opelxp 5038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  e.  ( Y  X.  Y
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  Y  /\  ( F `
 y )  e.  Y ) )
9592, 93, 94sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  <. ( F `
 x ) ,  ( F `  y
) >.  e.  ( Y  X.  Y ) )
96 simp-5r 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )
9782, 96eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  <. x ,  y >.  e.  (
( X  X.  X
)  \  .~  )
)
9850simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  ->  -.  x  .~  y )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  -.  x  .~  y )
1006ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  F  Fn  X )
101100, 85, 86, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( x  .~  y  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
102101necon3bbid 2704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( -.  x  .~  y  <->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) )
10399, 102mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
)
10495, 103, 39sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  <. ( F `
 x ) ,  ( F `  y
) >.  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )
10588, 104eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  /\  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )
106 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  ->  z  e.  ( X  X.  X
) )
107106adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  ->  z  e.  ( X  X.  X
) )
108 elxp2 5026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( X  X.  X )  <->  E. x  e.  X  E. y  e.  X  z  =  <. x ,  y >.
)
109107, 108sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  X  z  =  <. x ,  y >.
)
110109adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  X  z  =  <. x ,  y >. )
111105, 110r19.29_2a 3001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  /\  ( H `  z )  =  c )  -> 
c  e.  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )
112111r19.29an 2998 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) ( H `  z )  =  c )  ->  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) )
11381, 112impbida 832 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( ( Y  X.  Y
)  \  _I  )  <->  E. z  e.  ( ( X  X.  X ) 
\  .~  ) ( H `  z )  =  c ) )
114 opex 4720 . . . . . . . . . 10  |-  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  e.  _V
11552, 114fnmpt2i 6868 . . . . . . . . 9  |-  H  Fn  ( X  X.  X
)
116 difss 3627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  X.  X ) 
\  .~  )  C_  ( X  X.  X
)
117 fvelimab 5929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  ( X  X.  X )  /\  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  C_  ( X  X.  X ) )  -> 
( c  e.  ( H " ( ( X  X.  X ) 
\  .~  ) )  <->  E. z  e.  ( ( X  X.  X ) 
\  .~  ) ( H `  z )  =  c ) )
118115, 116, 117mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( H "
( ( X  X.  X )  \  .~  ) )  <->  E. z  e.  ( ( X  X.  X )  \  .~  ) ( H `  z )  =  c )
119113, 118syl6rbbr 264 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( H " ( ( X  X.  X ) 
\  .~  ) )  <->  c  e.  ( ( Y  X.  Y )  \  _I  ) ) )
120119eqrdv 2454 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H " (
( X  X.  X
)  \  .~  )
)  =  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )
121 ssv 3519 . . . . . . 7  |-  Y  C_  _V
122 xpss2 5121 . . . . . . 7  |-  ( Y 
C_  _V  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( Y  X.  _V )
)
123 difres 27599 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( Y  X.  _V )  ->  ( ( Y  X.  Y ) 
\  (  _I  |`  Y ) )  =  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  ) )
124121, 122, 123mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
\  (  _I  |`  Y ) )  =  ( ( Y  X.  Y ) 
\  _I  )
125120, 124syl6eqr 2516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H " (
( X  X.  X
)  \  .~  )
)  =  ( ( Y  X.  Y ) 
\  (  _I  |`  Y ) ) )
1267toptopon 19561 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1273, 126sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
128 qtoptopon 20331 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
129127, 4, 128syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
) )
130 qtophaus.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  ( J qTop  F ) )
131130ralrimiva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  J  ( F " x )  e.  ( J qTop  F
) )
132 imaeq2 5343 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
133132eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( F " x
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( F " y )  e.  ( J qTop  F ) ) )
134133cbvralv 3084 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  J  ( F " x )  e.  ( J qTop  F )  <->  A. y  e.  J  ( F " y )  e.  ( J qTop  F
) )
135131, 134sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  J  ( F " y )  e.  ( J qTop  F
) )
136135r19.21bi 2826 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  ( F " y )  e.  ( J qTop  F ) )
1377, 7txuni 20219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( X  X.  X
)  =  U. ( J  tX  J ) )
1383, 3, 137syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  =  U. ( J  tX  J ) )
139138difeq1d 3617 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  =  ( U. ( J  tX  J ) 
\  .~  ) )
140 qtophaus.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .~  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) )
141 txtop 20196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( J  tX  J
)  e.  Top )
1423, 3, 141syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  tX  J
)  e.  Top )
143 fcoinver 27602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  X  ->  ( `' F  o.  F
)  Er  X )
1446, 143syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F  o.  F )  Er  X
)
145 ereq1 7336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  .~  =  ( `' F  o.  F )  ->  (  .~  Er  X  <->  ( `' F  o.  F )  Er  X ) )
14643, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  .~  Er  X  <->  ( `' F  o.  F )  Er  X
)
147144, 146sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  .~  Er  X )
148 erssxp 7352 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .~  Er  X  ->  .~  C_  ( X  X.  X ) )
149147, 148syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .~  C_  ( X  X.  X ) )
150149, 138sseqtrd 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .~  C_  U. ( J  tX  J ) )
151 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( J  tX  J )  = 
U. ( J  tX  J )
152151iscld2 19656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  tX  J
)  e.  Top  /\  .~  C_  U. ( J  tX  J ) )  -> 
(  .~  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) )  <->  ( U. ( J  tX  J ) 
\  .~  )  e.  ( J  tX  J ) ) )
153142, 150, 152syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  .~  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) )  <->  ( U. ( J  tX  J ) 
\  .~  )  e.  ( J  tX  J ) ) )
154140, 153mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ( J 
tX  J )  \  .~  )  e.  ( J  tX  J ) )
155139, 154eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  X.  X )  \  .~  )  e.  ( J  tX  J ) )
15690, 90, 127, 127, 129, 129, 130, 136, 155, 52txomap 27998 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H " (
( X  X.  X
)  \  .~  )
)  e.  ( ( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F )
) )
157125, 156eqeltrrd 2546 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y  X.  Y )  \  (  _I  |`  Y ) )  e.  ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) ) )
15823, 157eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ( ( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F )
)  \  (  _I  |` 
U. ( J qTop  F
) ) )  e.  ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) ) )
159 eqid 2457 . . . . 5  |-  U. (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) )  =  U. (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) )
160159iscld2 19656 . . . 4  |-  ( ( ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) )  e.  Top  /\  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  C_  U. ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) ) )  -> 
( (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) )  <->  ( U. ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) )  \  (  _I  |`  U. ( J qTop 
F ) ) )  e.  ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) ) ) )
161160biimpar 485 . . 3  |-  ( ( ( ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) )  e. 
Top  /\  (  _I  |` 
U. ( J qTop  F
) )  C_  U. (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) )  /\  ( U. ( ( J qTop  F
)  tX  ( J qTop  F ) )  \  (  _I  |`  U. ( J qTop 
F ) ) )  e.  ( ( J qTop 
F )  tX  ( J qTop  F ) ) )  ->  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) ) )
16211, 16, 158, 161syl21anc 1227 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) ) )
16313hausdiag 20272 . 2  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
Haus 
<->  ( ( J qTop  F
)  e.  Top  /\  (  _I  |`  U. ( J qTop  F ) )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )  tX  ( J qTop  F ) ) ) ) )
1649, 162, 163sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   <.cop 4038   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    _I cid 4799    X. cxp 5006   `'ccnv 5007    |` cres 5010   "cima 5011    o. ccom 5012   Rel wrel 5013   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    Er wer 7326   qTop cqtop 14920   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   Clsdccld 19644   Hauscha 19936    tX ctx 20187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-topgen 14861  df-qtop 14924  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-haus 19943  df-tx 20189
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