Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopf1 Structured version   Unicode version

Theorem qtopf1 20052
 Description: If a quotient map is injective, then it is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopf1.1 TopOn
qtopf1.2
Assertion
Ref Expression
qtopf1 qTop

Proof of Theorem qtopf1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopf1.1 . . 3 TopOn
2 qtopf1.2 . . . 4
3 f1fn 5780 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
5 qtopid 19941 . . 3 TopOn qTop
61, 4, 5syl2anc 661 . 2 qTop
7 f1f1orn 5825 . . . 4
8 f1ocnv 5826 . . . 4
9 f1of 5814 . . . 4
102, 7, 8, 94syl 21 . . 3
11 imacnvcnv 5470 . . . . 5
12 imassrn 5346 . . . . . . 7
1312a1i 11 . . . . . 6
142adantr 465 . . . . . . . 8
15 toponss 19197 . . . . . . . . 9 TopOn
161, 15sylan 471 . . . . . . . 8
17 f1imacnv 5830 . . . . . . . 8
1814, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . 7
19 simpr 461 . . . . . . 7
2018, 19eqeltrd 2555 . . . . . 6
21 dffn4 5799 . . . . . . . . 9
224, 21sylib 196 . . . . . . . 8
23 elqtop3 19939 . . . . . . . 8 TopOn qTop
241, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . 7 qTop
2524adantr 465 . . . . . 6 qTop
2613, 20, 25mpbir2and 920 . . . . 5 qTop
2711, 26syl5eqel 2559 . . . 4 qTop
2827ralrimiva 2878 . . 3 qTop
29 qtoptopon 19940 . . . . 5 TopOn qTop TopOn
301, 22, 29syl2anc 661 . . . 4 qTop TopOn
31 iscn 19502 . . . 4 qTop TopOn TopOn qTop qTop
3230, 1, 31syl2anc 661 . . 3 qTop qTop
3310, 28, 32mpbir2and 920 . 2 qTop
34 ishmeo 19995 . 2 qTop qTop qTop
356, 33, 34sylanbrc 664 1 qTop
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814   wss 3476  ccnv 4998   crn 5000  cima 5002   wfn 5581  wf 5582  wf1 5583  wfo 5584  wf1o 5585  cfv 5586  (class class class)co 6282   qTop cqtop 14754  TopOnctopon 19162   ccn 19491  chmeo 19989 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-qtop 14758  df-top 19166  df-topon 19169  df-cn 19494  df-hmeo 19991 This theorem is referenced by:  t0kq  20054
 Copyright terms: Public domain W3C validator