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Theorem qtopeu 19248
Description: Universal property of the quotient topology. If  G is a function from  J to  K which is equal on all equivalent elements under  F, then there is a unique continuous map  f : ( J  /  F ) --> K such that  G  =  f  o.  F, and we say that  G "passes to the quotient". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopeu.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
qtopeu.3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
qtopeu.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
qtopeu.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
Assertion
Ref Expression
qtopeu  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    f, J, x    f, K, x    x, X, y    f, G, x, y    ph, f, x, y   
f, Y, x
Allowed substitution hints:    J( y)    K( y)    X( f)    Y( y)

Proof of Theorem qtopeu
Dummy variables  g  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopeu.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
2 fofn 5619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
43adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F  Fn  X )
5 fniniseg 5821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  X  ->  (
y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
7 eqcom 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
873anbi3i 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
9 3anass 964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  <->  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
108, 9bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  <->  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
11 qtopeu.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
1210, 11sylan2br 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
1312eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) )
1413expr 612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  X  /\  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) ) )
156, 14sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) ) )
1615ralrimiv 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) ( G `  y
)  =  ( G `
 x ) )
17 qtopeu.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
18 qtopeu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
19 cntop2 18804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
21 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. K  =  U. K
2221toptopon 18497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
2320, 22sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
24 cnf2 18812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  G  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  G : X
--> U. K )
2517, 23, 18, 24syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : X --> U. K
)
26 ffn 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : X --> U. K  ->  G  Fn  X )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Fn  X )
2827adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G  Fn  X )
29 cnvimass 5186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " { ( F `  x ) } )  C_  dom  F
30 fof 5617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
311, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
32 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
3433adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  dom  F  =  X )
3529, 34syl5sseq 3401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  C_  X
)
36 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( G `  y )  ->  (
w  =  ( G `
 x )  <->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) ) )
3736ralima 5954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  X  /\  ( `' F " { ( F `  x ) } )  C_  X
)  ->  ( A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x )  <->  A. y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) ( G `
 y )  =  ( G `  x
) ) )
3828, 35, 37syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x )  <->  A. y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) ( G `
 y )  =  ( G `  x
) ) )
3916, 38mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x ) )
40 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : X --> U. K  ->  dom  G  =  X )
4125, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  G  =  X )
4241eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  G  <-> 
x  e.  X ) )
4342biimpar 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  dom  G )
44 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
45 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
46 fniniseg 5821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  x ) ) ) )
474, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  x ) ) ) )
4844, 45, 47mpbir2and 908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )
49 inelcm 3730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  dom  G  /\  x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  -> 
( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
5043, 48, 49syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
51 imadisj 5185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  (/) 
<->  ( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  (/) )
5251necon3bii 2638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) 
<->  ( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
5350, 52sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
54 eqsn 4031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/)  ->  ( ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  { ( G `  x ) }  <->  A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  { ( G `  x ) }  <->  A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x ) ) )
5639, 55mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  { ( G `  x ) } )
5756unieqd 4098 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  U. {
( G `  x
) } )
58 fvex 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
5958unisn 4103 . . . . . . . 8  |-  U. {
( G `  x
) }  =  ( G `  x )
6057, 59syl6req 2490 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G `  x )  =  U. ( G "
( `' F " { ( F `  x ) } ) ) )
6160mpteq2dva 4375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( G `  x
) )  =  ( x  e.  X  |->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) ) )
6225feqmptd 5741 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  X  |->  ( G `
 x ) ) )
6331ffvelrnda 5840 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  Y )
6431feqmptd 5741 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( F `
 x ) ) )
65 eqidd 2442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) )
66 sneq 3884 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  { w }  =  { ( F `  x ) } )
6766imaeq2d 5166 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  ( `' F " { w } )  =  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )
6867imaeq2d 5166 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  ( G " ( `' F " { w } ) )  =  ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) )
6968unieqd 4098 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  =  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) )
7063, 64, 65, 69fmptco 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  o.  F
)  =  ( x  e.  X  |->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) ) )
7161, 62, 703eqtr4d 2483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F ) )
7271, 18eqeltrrd 2516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  o.  F
)  e.  ( J  Cn  K ) )
7325ffvelrnda 5840 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G `  x )  e.  U. K )
7460, 73eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e.  U. K
)
7574ralrimiva 2797 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e. 
U. K )
7669eqcomd 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
7776eqcoms 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  =  w  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
7877eleq1d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  =  w  ->  ( U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e. 
U. K  <->  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e.  U. K
) )
7978cbvfo 5990 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( A. x  e.  X  U. ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e.  U. K  <->  A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K ) )
801, 79syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  U. ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e.  U. K  <->  A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K ) )
8175, 80mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K )
82 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
8382fmpt 5861 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K  <->  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K )
8481, 83sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K )
85 qtopcn 19246 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K ) )  -> 
( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  <->  ( (
w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
8617, 23, 1, 84, 85syl22anc 1214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  <->  ( (
w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
8772, 86mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) )
88 coeq1 4993 . . . . 5  |-  ( f  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  ->  (
f  o.  F )  =  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F
) )
8988eqeq2d 2452 . . . 4  |-  ( f  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  ->  ( G  =  ( f  o.  F )  <->  G  =  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  o.  F
) ) )
9089rspcev 3070 . . 3  |-  ( ( ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  /\  G  =  ( (
w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F ) )  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
9187, 71, 90syl2anc 656 . 2  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
92 eqtr2 2459 . . . 4  |-  ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
( f  o.  F
)  =  ( g  o.  F ) )
931adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
94 qtoptopon 19236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
9517, 1, 94syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
) )
9695adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
9723adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
98 simprl 750 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) )
99 cnf2 18812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) )  ->  f : Y --> U. K )
10096, 97, 98, 99syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  f : Y
--> U. K )
101 ffn 5556 . . . . . 6  |-  ( f : Y --> U. K  ->  f  Fn  Y )
102100, 101syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  f  Fn  Y )
103 simprr 751 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) )
104 cnf2 18812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) )  ->  g : Y --> U. K )
10596, 97, 103, 104syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  g : Y
--> U. K )
106 ffn 5556 . . . . . 6  |-  ( g : Y --> U. K  ->  g  Fn  Y )
107105, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  g  Fn  Y )
108 cocan2 5993 . . . . 5  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  f  Fn  Y  /\  g  Fn  Y
)  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F )  <->  f  =  g ) )
10993, 102, 107, 108syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F )  <->  f  =  g ) )
11092, 109syl5ib 219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
f  =  g ) )
111110ralrimivva 2806 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) A. g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K
) ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
f  =  g ) )
112 coeq1 4993 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F ) )
113112eqeq2d 2452 . . 3  |-  ( f  =  g  ->  ( G  =  ( f  o.  F )  <->  G  =  ( g  o.  F
) ) )
114113reu4 3150 . 2  |-  ( E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F
)  <->  ( E. f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F )  /\  A. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) A. g  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) ( ( G  =  ( f  o.  F
)  /\  G  =  ( g  o.  F
) )  ->  f  =  g ) ) )
11591, 111, 114sylanbrc 659 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   U.cuni 4088    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   "cima 4839    o. ccom 4840    Fn wfn 5410   -->wf 5411   -onto->wfo 5413   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   qTop cqtop 14437   Topctop 18457  TopOnctopon 18458    Cn ccn 18787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-map 7212  df-qtop 14441  df-top 18462  df-topon 18465  df-cn 18790
This theorem is referenced by:  qtophmeo  19349
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