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Theorem qtopeu 20808
Description: Universal property of the quotient topology. If  G is a function from  J to  K which is equal on all equivalent elements under  F, then there is a unique continuous map  f : ( J  /  F ) --> K such that  G  =  f  o.  F, and we say that  G "passes to the quotient". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopeu.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
qtopeu.3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
qtopeu.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
qtopeu.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
Assertion
Ref Expression
qtopeu  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    f, J, x    f, K, x    x, X, y    f, G, x, y    ph, f, x, y   
f, Y, x
Allowed substitution hints:    J( y)    K( y)    X( f)    Y( y)

Proof of Theorem qtopeu
Dummy variables  g  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopeu.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
2 fofn 5808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
43adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F  Fn  X )
5 fniniseg 6018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  X  ->  (
y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
7 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
873anbi3i 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
9 3anass 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  <->  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
108, 9bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  <->  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
11 qtopeu.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
1210, 11sylan2br 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
1312eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) )
1413expr 626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  X  /\  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) ) )
156, 14sylbid 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) ) )
1615ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) ( G `  y
)  =  ( G `
 x ) )
17 qtopeu.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
18 qtopeu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
19 cntop2 20334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
21 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. K  =  U. K
2221toptopon 20025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
2320, 22sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
24 cnf2 20342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  G  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  G : X
--> U. K )
2517, 23, 18, 24syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : X --> U. K
)
26 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : X --> U. K  ->  G  Fn  X )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Fn  X )
2827adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G  Fn  X )
29 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " { ( F `  x ) } )  C_  dom  F
30 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
311, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
32 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  dom  F  =  X )
3529, 34syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  C_  X
)
36 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( G `  y )  ->  (
w  =  ( G `
 x )  <->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) ) )
3736ralima 6163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  X  /\  ( `' F " { ( F `  x ) } )  C_  X
)  ->  ( A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x )  <->  A. y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) ( G `
 y )  =  ( G `  x
) ) )
3828, 35, 37syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x )  <->  A. y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) ( G `
 y )  =  ( G `  x
) ) )
3916, 38mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x ) )
40 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : X --> U. K  ->  dom  G  =  X )
4125, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  G  =  X )
4241eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  G  <-> 
x  e.  X ) )
4342biimpar 493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  dom  G )
44 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
45 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
46 fniniseg 6018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  x ) ) ) )
474, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  x ) ) ) )
4844, 45, 47mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )
49 inelcm 3823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  dom  G  /\  x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  -> 
( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
5043, 48, 49syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
51 imadisj 5193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  (/) 
<->  ( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  (/) )
5251necon3bii 2695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) 
<->  ( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
5350, 52sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
54 eqsn 4125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/)  ->  ( ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  { ( G `  x ) }  <->  A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x ) ) )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  { ( G `  x ) }  <->  A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x ) ) )
5639, 55mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  { ( G `  x ) } )
5756unieqd 4200 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  U. {
( G `  x
) } )
58 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
5958unisn 4205 . . . . . . . 8  |-  U. {
( G `  x
) }  =  ( G `  x )
6057, 59syl6req 2522 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G `  x )  =  U. ( G "
( `' F " { ( F `  x ) } ) ) )
6160mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( G `  x
) )  =  ( x  e.  X  |->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) ) )
6225feqmptd 5932 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  X  |->  ( G `
 x ) ) )
6331ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  Y )
6431feqmptd 5932 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( F `
 x ) ) )
65 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) )
66 sneq 3969 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  { w }  =  { ( F `  x ) } )
6766imaeq2d 5174 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  ( `' F " { w } )  =  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )
6867imaeq2d 5174 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  ( G " ( `' F " { w } ) )  =  ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) )
6968unieqd 4200 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  =  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) )
7063, 64, 65, 69fmptco 6072 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  o.  F
)  =  ( x  e.  X  |->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) ) )
7161, 62, 703eqtr4d 2515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F ) )
7271, 18eqeltrrd 2550 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  o.  F
)  e.  ( J  Cn  K ) )
7325ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G `  x )  e.  U. K )
7460, 73eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e.  U. K
)
7574ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e. 
U. K )
7669eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
7776eqcoms 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  =  w  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
7877eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  =  w  ->  ( U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e. 
U. K  <->  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e.  U. K
) )
7978cbvfo 6205 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( A. x  e.  X  U. ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e.  U. K  <->  A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K ) )
801, 79syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  U. ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e.  U. K  <->  A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K ) )
8175, 80mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K )
82 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
8382fmpt 6058 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K  <->  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K )
8481, 83sylib 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K )
85 qtopcn 20806 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K ) )  -> 
( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  <->  ( (
w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
8617, 23, 1, 84, 85syl22anc 1293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  <->  ( (
w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
8772, 86mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) )
88 coeq1 4997 . . . . 5  |-  ( f  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  ->  (
f  o.  F )  =  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F
) )
8988eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( f  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  ->  ( G  =  ( f  o.  F )  <->  G  =  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  o.  F
) ) )
9089rspcev 3136 . . 3  |-  ( ( ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  /\  G  =  ( (
w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F ) )  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
9187, 71, 90syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
92 eqtr2 2491 . . . 4  |-  ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
( f  o.  F
)  =  ( g  o.  F ) )
931adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
94 qtoptopon 20796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
9517, 1, 94syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
) )
9695adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
9723adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
98 simprl 772 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) )
99 cnf2 20342 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) )  ->  f : Y --> U. K )
10096, 97, 98, 99syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  f : Y
--> U. K )
101 ffn 5739 . . . . . 6  |-  ( f : Y --> U. K  ->  f  Fn  Y )
102100, 101syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  f  Fn  Y )
103 simprr 774 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) )
104 cnf2 20342 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) )  ->  g : Y --> U. K )
10596, 97, 103, 104syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  g : Y
--> U. K )
106 ffn 5739 . . . . . 6  |-  ( g : Y --> U. K  ->  g  Fn  Y )
107105, 106syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  g  Fn  Y )
108 cocan2 6208 . . . . 5  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  f  Fn  Y  /\  g  Fn  Y
)  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F )  <->  f  =  g ) )
10993, 102, 107, 108syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F )  <->  f  =  g ) )
11092, 109syl5ib 227 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
f  =  g ) )
111110ralrimivva 2814 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) A. g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K
) ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
f  =  g ) )
112 coeq1 4997 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F ) )
113112eqeq2d 2481 . . 3  |-  ( f  =  g  ->  ( G  =  ( f  o.  F )  <->  G  =  ( g  o.  F
) ) )
114113reu4 3220 . 2  |-  ( E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F
)  <->  ( E. f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F )  /\  A. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) A. g  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) ( ( G  =  ( f  o.  F
)  /\  G  =  ( g  o.  F
) )  ->  f  =  g ) ) )
11591, 111, 114sylanbrc 677 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842    o. ccom 4843    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   qTop cqtop 15479   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-qtop 15484  df-top 19998  df-topon 20000  df-cn 20320
This theorem is referenced by:  qtophmeo  20909
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