MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopcon Structured version   Unicode version

Theorem qtopcon 19400
Description: A quotient of a connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
qtopcon  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F  Fn  X )  ->  ( J qTop  F )  e.  Con )

Proof of Theorem qtopcon
StepHypRef Expression
1 qtopcmp.1 . 2  |-  X  = 
U. J
2 contop 19139 . 2  |-  ( J  e.  Con  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2451 . . 3  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
43cnconn 19144 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> U. ( J qTop  F )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F ) ) )  ->  ( J qTop  F
)  e.  Con )
51, 2, 4qtopcmplem 19398 1  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F  Fn  X )  ->  ( J qTop  F )  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   U.cuni 4191    Fn wfn 5513  (class class class)co 6192   qTop cqtop 14545   Conccon 19133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-map 7318  df-qtop 14549  df-top 18621  df-topon 18624  df-cld 18741  df-cn 18949  df-con 19134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator