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Theorem qtopcmap 19955
Description: If  F is a surjective continuous closed map, then it is a quotient map. (A closed map is a function that maps closed sets to closed sets.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopomap.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
qtopomap.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
qtopomap.6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
qtopcmap.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( F " x )  e.  (
Clsd `  K )
)
Assertion
Ref Expression
qtopcmap  |-  ( ph  ->  K  =  ( J qTop 
F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    ph, x    x, Y

Proof of Theorem qtopcmap
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopomap.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 qtopomap.4 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 qtopomap.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
4 qtopss 19951 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  K  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ran  F  =  Y )  ->  K  C_  ( J qTop  F ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  K  C_  ( J qTop  F ) )
6 cntop1 19507 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
98toptopon 19201 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
107, 9sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
11 cnf2 19516 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : U. J
--> Y )
1210, 2, 1, 11syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : U. J --> Y )
13 ffn 5729 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J --> Y  ->  F  Fn  U. J )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  U. J
)
15 df-fo 5592 . . . . . 6  |-  ( F : U. J -onto-> Y  <->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F  =  Y ) )
1614, 3, 15sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : U. J -onto-> Y )
178elqtop2 19937 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : U. J -onto-> Y
)  ->  ( y  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) ) )
187, 16, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( J qTop  F )  <->  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
1916adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  F : U. J -onto-> Y )
20 difss 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
\  y )  C_  Y
21 foimacnv 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : U. J -onto-> Y  /\  ( Y  \ 
y )  C_  Y
)  ->  ( F " ( `' F "
( Y  \  y
) ) )  =  ( Y  \  y
) )
2219, 20, 21sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( F "
( `' F "
( Y  \  y
) ) )  =  ( Y  \  y
) )
232adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
24 toponuni 19195 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  Y  =  U. K )
2625difeq1d 3621 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( Y  \ 
y )  =  ( U. K  \  y
) )
2722, 26eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( F "
( `' F "
( Y  \  y
) ) )  =  ( U. K  \ 
y ) )
28 fofun 5794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  Fun  F )
29 funcnvcnv 5644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
30 imadif 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( Y 
\  y ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " y ) ) )
3119, 28, 29, 304syl 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " ( Y  \  y
) )  =  ( ( `' F " Y )  \  ( `' F " y ) ) )
3212adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  F : U. J
--> Y )
33 fimacnv 6011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  U. J )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " Y )  =  U. J )
3534difeq1d 3621 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " y ) )  =  ( U. J  \ 
( `' F "
y ) ) )
3631, 35eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " ( Y  \  y
) )  =  ( U. J  \  ( `' F " y ) ) )
377adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  J  e.  Top )
38 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " y )  e.  J
)
398opncld 19300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " y )  e.  J )  -> 
( U. J  \ 
( `' F "
y ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( U. J  \  ( `' F "
y ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4136, 40eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " ( Y  \  y
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
42 qtopcmap.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( F " x )  e.  (
Clsd `  K )
)
4342ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Clsd `  J )
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
4443adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  A. x  e.  (
Clsd `  J )
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
45 imaeq2 5331 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " ( Y  \  y
) )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " ( Y 
\  y ) ) ) )
4645eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " ( Y  \  y
) )  ->  (
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K )  <->  ( F " ( `' F "
( Y  \  y
) ) )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
4746rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " ( Y 
\  y ) )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( F
" x )  e.  ( Clsd `  K
)  ->  ( F " ( `' F "
( Y  \  y
) ) )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
4841, 44, 47sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( F "
( `' F "
( Y  \  y
) ) )  e.  ( Clsd `  K
) )
4927, 48eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( U. K  \  y )  e.  (
Clsd `  K )
)
50 topontop 19194 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
5123, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  K  e.  Top )
52 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  y  C_  Y
)
5352, 25sseqtrd 3540 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  y  C_  U. K
)
54 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
5554isopn2 19299 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  C_  U. K )  ->  ( y  e.  K  <->  ( U. K  \  y )  e.  (
Clsd `  K )
) )
5651, 53, 55syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( y  e.  K  <->  ( U. K  \  y )  e.  (
Clsd `  K )
) )
5749, 56mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  y  e.  K
)
5857ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J
)  ->  y  e.  K ) )
5918, 58sylbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( J qTop  F )  -> 
y  e.  K ) )
6059ssrdv 3510 . 2  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F ) 
C_  K )
615, 60eqssd 3521 1  |-  ( ph  ->  K  =  ( J qTop 
F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    \ cdif 3473    C_ wss 3476   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5580    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   qTop cqtop 14754   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   Clsdccld 19283    Cn ccn 19491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-qtop 14758  df-top 19166  df-topon 19169  df-cld 19286  df-cn 19494
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