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Theorem qtopcmap 20404
Description: If  F is a surjective continuous closed map, then it is a quotient map. (A closed map is a function that maps closed sets to closed sets.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopomap.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
qtopomap.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
qtopomap.6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
qtopcmap.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( F " x )  e.  (
Clsd `  K )
)
Assertion
Ref Expression
qtopcmap  |-  ( ph  ->  K  =  ( J qTop 
F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    ph, x    x, Y

Proof of Theorem qtopcmap
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopomap.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 qtopomap.4 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 qtopomap.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
4 qtopss 20400 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  K  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ran  F  =  Y )  ->  K  C_  ( J qTop  F ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1230 . 2  |-  ( ph  ->  K  C_  ( J qTop  F ) )
6 cntop1 19926 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
71, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
98toptopon 19618 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
107, 9sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
11 cnf2 19935 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : U. J
--> Y )
1210, 2, 1, 11syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : U. J --> Y )
13 ffn 5670 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J --> Y  ->  F  Fn  U. J )
1412, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  U. J
)
15 df-fo 5531 . . . . . 6  |-  ( F : U. J -onto-> Y  <->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F  =  Y ) )
1614, 3, 15sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : U. J -onto-> Y )
178elqtop2 20386 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : U. J -onto-> Y
)  ->  ( y  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) ) )
187, 16, 17syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( J qTop  F )  <->  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
1916adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  F : U. J -onto-> Y )
20 difss 3569 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
\  y )  C_  Y
21 foimacnv 5772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : U. J -onto-> Y  /\  ( Y  \ 
y )  C_  Y
)  ->  ( F " ( `' F "
( Y  \  y
) ) )  =  ( Y  \  y
) )
2219, 20, 21sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( F "
( `' F "
( Y  \  y
) ) )  =  ( Y  \  y
) )
232adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
24 toponuni 19612 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  Y  =  U. K )
2625difeq1d 3559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( Y  \ 
y )  =  ( U. K  \  y
) )
2722, 26eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( F "
( `' F "
( Y  \  y
) ) )  =  ( U. K  \ 
y ) )
28 fofun 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  Fun  F )
29 funcnvcnv 5583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
30 imadif 5600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( Y 
\  y ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " y ) ) )
3119, 28, 29, 304syl 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " ( Y  \  y
) )  =  ( ( `' F " Y )  \  ( `' F " y ) ) )
3212adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  F : U. J
--> Y )
33 fimacnv 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  U. J )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " Y )  =  U. J )
3534difeq1d 3559 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " y ) )  =  ( U. J  \ 
( `' F "
y ) ) )
3631, 35eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " ( Y  \  y
) )  =  ( U. J  \  ( `' F " y ) ) )
377adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  J  e.  Top )
38 simprr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " y )  e.  J
)
398opncld 19718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " y )  e.  J )  -> 
( U. J  \ 
( `' F "
y ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4037, 38, 39syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( U. J  \  ( `' F "
y ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4136, 40eqeltrd 2490 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " ( Y  \  y
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
42 qtopcmap.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( F " x )  e.  (
Clsd `  K )
)
4342ralrimiva 2817 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Clsd `  J )
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
4443adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  A. x  e.  (
Clsd `  J )
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
45 imaeq2 5274 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " ( Y  \  y
) )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " ( Y 
\  y ) ) ) )
4645eleq1d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " ( Y  \  y
) )  ->  (
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K )  <->  ( F " ( `' F "
( Y  \  y
) ) )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
4746rspcv 3155 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " ( Y 
\  y ) )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( F
" x )  e.  ( Clsd `  K
)  ->  ( F " ( `' F "
( Y  \  y
) ) )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
4841, 44, 47sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( F "
( `' F "
( Y  \  y
) ) )  e.  ( Clsd `  K
) )
4927, 48eqeltrrd 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( U. K  \  y )  e.  (
Clsd `  K )
)
50 topontop 19611 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
5123, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  K  e.  Top )
52 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  y  C_  Y
)
5352, 25sseqtrd 3477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  y  C_  U. K
)
54 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
5554isopn2 19717 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  C_  U. K )  ->  ( y  e.  K  <->  ( U. K  \  y )  e.  (
Clsd `  K )
) )
5651, 53, 55syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( y  e.  K  <->  ( U. K  \  y )  e.  (
Clsd `  K )
) )
5749, 56mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  y  e.  K
)
5857ex 432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J
)  ->  y  e.  K ) )
5918, 58sylbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( J qTop  F )  -> 
y  e.  K ) )
6059ssrdv 3447 . 2  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F ) 
C_  K )
615, 60eqssd 3458 1  |-  ( ph  ->  K  =  ( J qTop 
F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    \ cdif 3410    C_ wss 3413   U.cuni 4190   `'ccnv 4941   ran crn 4943   "cima 4945   Fun wfun 5519    Fn wfn 5520   -->wf 5521   -onto->wfo 5523   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   qTop cqtop 15009   Topctop 19578  TopOnctopon 19579   Clsdccld 19701    Cn ccn 19910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-map 7379  df-qtop 15013  df-top 19583  df-topon 19586  df-cld 19704  df-cn 19913
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