Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopcmap Structured version   Unicode version

Theorem qtopcmap 20404
 Description: If is a surjective continuous closed map, then it is a quotient map. (A closed map is a function that maps closed sets to closed sets.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopomap.4 TopOn
qtopomap.5
qtopomap.6
qtopcmap.7
Assertion
Ref Expression
qtopcmap qTop
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem qtopcmap
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopomap.5 . . 3
2 qtopomap.4 . . 3 TopOn
3 qtopomap.6 . . 3
4 qtopss 20400 . . 3 TopOn qTop
51, 2, 3, 4syl3anc 1230 . 2 qTop
6 cntop1 19926 . . . . . 6
71, 6syl 17 . . . . 5
8 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
98toptopon 19618 . . . . . . . . 9 TopOn
107, 9sylib 196 . . . . . . . 8 TopOn
11 cnf2 19935 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
1210, 2, 1, 11syl3anc 1230 . . . . . . 7
13 ffn 5670 . . . . . . 7
1412, 13syl 17 . . . . . 6
15 df-fo 5531 . . . . . 6
1614, 3, 15sylanbrc 662 . . . . 5
178elqtop2 20386 . . . . 5 qTop
187, 16, 17syl2anc 659 . . . 4 qTop
1916adantr 463 . . . . . . . . 9
20 difss 3569 . . . . . . . . 9
21 foimacnv 5772 . . . . . . . . 9
2219, 20, 21sylancl 660 . . . . . . . 8
232adantr 463 . . . . . . . . . 10 TopOn
24 toponuni 19612 . . . . . . . . . 10 TopOn
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9
2625difeq1d 3559 . . . . . . . 8
2722, 26eqtrd 2443 . . . . . . 7
28 fofun 5735 . . . . . . . . . . 11
29 funcnvcnv 5583 . . . . . . . . . . 11
30 imadif 5600 . . . . . . . . . . 11
3119, 28, 29, 304syl 21 . . . . . . . . . 10
3212adantr 463 . . . . . . . . . . . 12
33 fimacnv 5953 . . . . . . . . . . . 12
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11
3534difeq1d 3559 . . . . . . . . . 10
3631, 35eqtrd 2443 . . . . . . . . 9
377adantr 463 . . . . . . . . . 10
38 simprr 758 . . . . . . . . . 10
398opncld 19718 . . . . . . . . . 10
4037, 38, 39syl2anc 659 . . . . . . . . 9
4136, 40eqeltrd 2490 . . . . . . . 8
42 qtopcmap.7 . . . . . . . . . 10
4342ralrimiva 2817 . . . . . . . . 9
4443adantr 463 . . . . . . . 8
45 imaeq2 5274 . . . . . . . . . 10
4645eleq1d 2471 . . . . . . . . 9
4746rspcv 3155 . . . . . . . 8
4841, 44, 47sylc 59 . . . . . . 7
4927, 48eqeltrrd 2491 . . . . . 6
50 topontop 19611 . . . . . . . 8 TopOn
5123, 50syl 17 . . . . . . 7
52 simprl 756 . . . . . . . 8
5352, 25sseqtrd 3477 . . . . . . 7
54 eqid 2402 . . . . . . . 8
5554isopn2 19717 . . . . . . 7
5651, 53, 55syl2anc 659 . . . . . 6
5749, 56mpbird 232 . . . . 5
5857ex 432 . . . 4
5918, 58sylbid 215 . . 3 qTop
6059ssrdv 3447 . 2 qTop
615, 60eqssd 3458 1 qTop
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2753   cdif 3410   wss 3413  cuni 4190  ccnv 4941   crn 4943  cima 4945   wfun 5519   wfn 5520  wf 5521  wfo 5523  cfv 5525  (class class class)co 6234   qTop cqtop 15009  ctop 19578  TopOnctopon 19579  ccld 19701   ccn 19910 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-map 7379  df-qtop 15013  df-top 19583  df-topon 19586  df-cld 19704  df-cn 19913 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator