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Theorem qtopcld 20084
Description: The property of being a closed set in the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtopcld  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )

Proof of Theorem qtopcld
StepHypRef Expression
1 qtoptopon 20075 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
2 topontop 19297 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
3 eqid 2441 . . . 4  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
43iscld 19398 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
Top  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( J qTop  F
)  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) ) )
51, 2, 43syl 20 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  U. ( J qTop  F )  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) ) ) )
6 toponuni 19298 . . . . 5  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
87sseq2d 3515 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  C_  Y  <->  A  C_  U. ( J qTop  F ) ) )
97difeq1d 3604 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( Y  \  A )  =  ( U. ( J qTop 
F )  \  A
) )
109eleq1d 2510 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) )
118, 10anbi12d 710 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( A  C_  Y  /\  ( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( J qTop  F
)  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) ) )
12 elqtop3 20074 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) ) )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) ) )
14 difss 3614 . . . . . 6  |-  ( Y 
\  A )  C_  Y
1514biantrur 506 . . . . 5  |-  ( ( `' F " ( Y 
\  A ) )  e.  J  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) )
16 fofun 5783 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  Fun  F )
1716ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  Fun  F )
18 funcnvcnv 5633 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
19 imadif 5650 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " A ) ) )
2017, 18, 193syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " A ) ) )
21 fof 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
22 fimacnv 6001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
2423ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " Y )  =  X )
25 toponuni 19298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  X  =  U. J )
2724, 26eqtrd 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " Y )  =  U. J )
2827difeq1d 3604 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F " Y )  \  ( `' F " A ) )  =  ( U. J  \  ( `' F " A ) ) )
2920, 28eqtrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( U. J  \  ( `' F " A ) ) )
3029eleq1d 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
31 topontop 19297 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3231ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  J  e.  Top )
33 cnvimass 5344 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
34 fofn 5784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
35 fndm 5667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  dom  F  =  X )
3833, 37syl5sseq 3535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " A ) 
C_  X )
3938, 26sseqtrd 3523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " A ) 
C_  U. J )
40 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4140iscld2 19399 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " A ) 
C_  U. J )  -> 
( ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
4232, 39, 41syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
4330, 42bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4415, 43syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J
)  <->  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) )
4513, 44bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4645pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( A  C_  Y  /\  ( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
475, 11, 463bitr2d 281 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    \ cdif 3456    C_ wss 3459   U.cuni 4231   `'ccnv 4985   dom cdm 4986   "cima 4989   Fun wfun 5569    Fn wfn 5570   -->wf 5571   -onto->wfo 5573   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   qTop cqtop 14774   Topctop 19264  TopOnctopon 19265   Clsdccld 19387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-qtop 14778  df-top 19269  df-topon 19272  df-cld 19390
This theorem is referenced by:  qtoprest  20088  kqcld  20106  qustgphaus  20491  qtopt1  27708
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