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Theorem qtopcld 19949
Description: The property of being a closed set in the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtopcld  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )

Proof of Theorem qtopcld
StepHypRef Expression
1 qtoptopon 19940 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
2 topontop 19194 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
43iscld 19294 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
Top  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( J qTop  F
)  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) ) )
51, 2, 43syl 20 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  U. ( J qTop  F )  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) ) ) )
6 toponuni 19195 . . . . 5  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
87sseq2d 3532 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  C_  Y  <->  A  C_  U. ( J qTop  F ) ) )
97difeq1d 3621 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( Y  \  A )  =  ( U. ( J qTop 
F )  \  A
) )
109eleq1d 2536 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) )
118, 10anbi12d 710 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( A  C_  Y  /\  ( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( J qTop  F
)  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) ) )
12 elqtop3 19939 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) ) )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) ) )
14 difss 3631 . . . . . 6  |-  ( Y 
\  A )  C_  Y
1514biantrur 506 . . . . 5  |-  ( ( `' F " ( Y 
\  A ) )  e.  J  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) )
16 fofun 5794 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  Fun  F )
1716ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  Fun  F )
18 funcnvcnv 5644 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
19 imadif 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " A ) ) )
2017, 18, 193syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " A ) ) )
21 fof 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
22 fimacnv 6011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
2423ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " Y )  =  X )
25 toponuni 19195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  X  =  U. J )
2724, 26eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " Y )  =  U. J )
2827difeq1d 3621 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F " Y )  \  ( `' F " A ) )  =  ( U. J  \  ( `' F " A ) ) )
2920, 28eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( U. J  \  ( `' F " A ) ) )
3029eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
31 topontop 19194 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3231ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  J  e.  Top )
33 cnvimass 5355 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
34 fofn 5795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
35 fndm 5678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  dom  F  =  X )
3833, 37syl5sseq 3552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " A ) 
C_  X )
3938, 26sseqtrd 3540 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " A ) 
C_  U. J )
40 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4140iscld2 19295 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " A ) 
C_  U. J )  -> 
( ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
4232, 39, 41syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
4330, 42bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4415, 43syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J
)  <->  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) )
4513, 44bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4645pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( A  C_  Y  /\  ( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
475, 11, 463bitr2d 281 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    C_ wss 3476   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   Fun wfun 5580    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   qTop cqtop 14754   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   Clsdccld 19283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-qtop 14758  df-top 19166  df-topon 19169  df-cld 19286
This theorem is referenced by:  qtoprest  19953  kqcld  19971  divstgphaus  20356  qtopt1  27636
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