Theorem qtopbaslem 21779

Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtopbas.1	|- S C_ RR*

Assertion

Ref	Expression
qtopbaslem	|- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem

Dummy variables u t v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooex 11659	. . . 4 |- (,) e. _V
2	1	rnex 6727	. . 3 |- ran (,) e. _V
3		imassrn 5179	. . 3 |- ( (,) " ( S X. S ) ) C_ ran (,)
4	2, 3	ssexi 4548	. 2 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V
5		qtopbas.1	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR*
6	5	sseli 3428	. . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. RR* )
7	5	sseli 3428	. . . . . . . 8 |- ( w e. S -> w e. RR* )
8	6, 7	anim12i 570	. . . . . . 7 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* ) )
9	5	sseli 3428	. . . . . . . 8 |- ( v e. S -> v e. RR* )
10	5	sseli 3428	. . . . . . . 8 |- ( u e. S -> u e. RR* )
11	9, 10	anim12i 570	. . . . . . 7 |- ( ( v e. S /\ u e. S ) -> ( v e. RR* /\ u e. RR* ) )
12		iooin 11670	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ u e. RR* ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) )
13	8, 11, 12	syl2an 480	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) )
14		ifcl 3923	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> if ( z <_ v , v , z ) e. S )
15	14	ancoms 455	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ v e. S ) -> if ( z <_ v , v , z ) e. S )
16		ifcl 3923	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> if ( w <_ u , w , u ) e. S )
17		df-ov 6293	. . . . . . . . 9 |- ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) = ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. )
18		opelxpi 4866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) )
19		ioof 11732	. . . . . . . . . . . 12 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
20		ffun 5731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> Fun (,) )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Fun (,)
22		xpss12 4940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ RR* /\ S C_ RR* ) -> ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) )
23	5, 5, 22	mp2an 678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* )
24	19	fdmi 5734	. . . . . . . . . . . 12 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
25	23, 24	sseqtr4i 3465	. . . . . . . . . . 11 |- ( S X. S ) C_ dom (,)
26		funfvima2 6141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun (,) /\ ( S X. S ) C_ dom (,) ) -> ( <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
27	21, 25, 26	mp2an 678	. . . . . . . . . 10 |- ( <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
28	18, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
29	17, 28	syl5eqel 2533	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
30	15, 16, 29	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. S /\ v e. S ) /\ ( w e. S /\ u e. S ) ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
31	30	an4s 835	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
32	13, 31	eqeltrd 2529	. . . . 5 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
33	32	ralrimivva 2809	. . . 4 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
34	33	rgen2a 2815	. . 3 |- A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
35		ffn 5728	. . . . . 6 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
36	19, 35	ax-mp 5	. . . . 5 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
37		ineq1 3627	. . . . . . . 8 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( x i^i y ) = ( ( (,) ` t ) i^i y ) )
38	37	eleq1d 2513	. . . . . . 7 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
39	38	ralbidv 2827	. . . . . 6 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
40	39	ralima 6145	. . . . 5 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
41	36, 23, 40	mp2an 678	. . . 4 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
42		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. z , w >. ) )
43		df-ov 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( z (,) w ) = ( (,) ` <. z , w >. )
44	42, 43	syl6eqr 2503	. . . . . . . . 9 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( z (,) w ) )
45	44	ineq1d 3633	. . . . . . . 8 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( (,) ` t ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i y ) )
46	45	eleq1d 2513	. . . . . . 7 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
47	46	ralbidv 2827	. . . . . 6 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
48		ineq2 3628	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( z (,) w ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) )
49	48	eleq1d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
50	49	ralima 6145	. . . . . . . 8 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
51	36, 23, 50	mp2an 678	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
52		fveq2 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. v , u >. ) )
53		df-ov 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( v (,) u ) = ( (,) ` <. v , u >. )
54	52, 53	syl6eqr 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( v (,) u ) )
55	54	ineq2d 3634	. . . . . . . . 9 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) = ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) )
56	55	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
57	56	ralxp 4976	. . . . . . 7 |- ( A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
58	51, 57	bitri 253	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
59	47, 58	syl6bb 265	. . . . 5 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
60	59	ralxp 4976	. . . 4 |- ( A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
61	41, 60	bitri 253	. . 3 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
62	34, 61	mpbir 213	. 2 |- A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
63		fiinbas 19967	. 2 |- ( ( ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V /\ A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) -> ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases )
64	4, 62, 63	mp2an 678	1 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   <.cop 3974   class class class wbr 4402   X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   RR*cxr 9674   <_ cle 9676   (,)cioo 11635   TopBasesctb 19920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-ioo 11639  df-bases 19922

This theorem is referenced by:  qtopbas  21780  retopbas  21781