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Theorem qtopbaslem 21779
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1  |-  S  C_  RR*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem
Dummy variables  u  t  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 11659 . . . 4  |-  (,)  e.  _V
21rnex 6727 . . 3  |-  ran  (,)  e.  _V
3 imassrn 5179 . . 3  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  C_  ran  (,)
42, 3ssexi 4548 . 2  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e. 
_V
5 qtopbas.1 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR*
65sseli 3428 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  S  ->  z  e.  RR* )
75sseli 3428 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  S  ->  w  e.  RR* )
86, 7anim12i 570 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)
95sseli 3428 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  RR* )
105sseli 3428 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  S  ->  u  e.  RR* )
119, 10anim12i 570 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)
12 iooin 11670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  =  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) ) )
138, 11, 12syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  =  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
) )
14 ifcl 3923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S
)
1514ancoms 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S
)
16 ifcl 3923 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)
17 df-ov 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
)  =  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )
18 opelxpi 4866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  <. if ( z  <_  v , 
v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >.  e.  ( S  X.  S ) )
19 ioof 11732 . . . . . . . . . . . 12  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
20 ffun 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (,)
22 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  RR*  /\  S  C_ 
RR* )  ->  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
235, 5, 22mp2an 678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2419fdmi 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2523, 24sseqtr4i 3465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  (,)
26 funfvima2 6141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( S  X.  S )  C_  dom  (,) )  ->  ( <. if ( z  <_ 
v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u )
>.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
2721, 25, 26mp2an 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
2818, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  ( (,) ` 
<. if ( z  <_ 
v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u )
>. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
2917, 28syl5eqel 2533 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3015, 16, 29syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S
)  /\  ( w  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3130an4s 835 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3213, 31eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3332ralrimivva 2809 . . . 4  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3433rgen2a 2815 . . 3  |-  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
35 ffn 5728 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3619, 35ax-mp 5 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
37 ineq1 3627 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( ( (,) `  t
)  i^i  y )
)
3837eleq1d 2513 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
3938ralbidv 2827 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4039ralima 6145 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4136, 23, 40mp2an 678 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
42 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. z ,  w >. ) )
43 df-ov 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( z (,) w )  =  ( (,) `  <. z ,  w >. )
4442, 43syl6eqr 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( z (,) w ) )
4544ineq1d 3633 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( (,) `  t )  i^i  y
)  =  ( ( z (,) w )  i^i  y ) )
4645eleq1d 2513 . . . . . . 7  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( (,) `  t )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4746ralbidv 2827 . . . . . 6  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
48 ineq2 3628 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  y )  =  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) ) )
4948eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5049ralima 6145 . . . . . . . 8  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5136, 23, 50mp2an 678 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
52 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. v ,  u >. ) )
53 df-ov 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v (,) u )  =  ( (,) `  <. v ,  u >. )
5452, 53syl6eqr 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( v (,) u ) )
5554ineq2d 3634 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  =  ( ( z (,) w
)  i^i  ( v (,) u ) ) )
5655eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5756ralxp 4976 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
5851, 57bitri 253 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
5947, 58syl6bb 265 . . . . 5  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
6059ralxp 4976 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
6141, 60bitri 253 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
6234, 61mpbir 213 . 2  |-  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
63 fiinbas 19967 . 2  |-  ( ( ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  _V  /\  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )  ->  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases )
644, 62, 63mp2an 678 1  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   <.cop 3974   class class class wbr 4402    X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   RR*cxr 9674    <_ cle 9676   (,)cioo 11635   TopBasesctb 19920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-ioo 11639  df-bases 19922
This theorem is referenced by:  qtopbas  21780  retopbas  21781
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