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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > qtopbaslem | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) |
Ref | Expression |
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qtopbas.1 |
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qtopbaslem |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | iooex 11659 |
. . . 4
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2 | 1 | rnex 6727 |
. . 3
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3 | imassrn 5179 |
. . 3
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4 | 2, 3 | ssexi 4548 |
. 2
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5 | qtopbas.1 |
. . . . . . . . 9
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6 | 5 | sseli 3428 |
. . . . . . . 8
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7 | 5 | sseli 3428 |
. . . . . . . 8
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8 | 6, 7 | anim12i 570 |
. . . . . . 7
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9 | 5 | sseli 3428 |
. . . . . . . 8
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10 | 5 | sseli 3428 |
. . . . . . . 8
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11 | 9, 10 | anim12i 570 |
. . . . . . 7
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12 | iooin 11670 |
. . . . . . 7
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13 | 8, 11, 12 | syl2an 480 |
. . . . . 6
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14 | ifcl 3923 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | ancoms 455 |
. . . . . . . 8
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16 | ifcl 3923 |
. . . . . . . 8
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17 | df-ov 6293 |
. . . . . . . . 9
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18 | opelxpi 4866 |
. . . . . . . . . 10
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19 | ioof 11732 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | ffun 5731 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | 19, 20 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | xpss12 4940 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | 5, 5, 22 | mp2an 678 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 19 | fdmi 5734 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 23, 24 | sseqtr4i 3465 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | funfvima2 6141 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 21, 25, 26 | mp2an 678 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 18, 27 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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29 | 17, 28 | syl5eqel 2533 |
. . . . . . . 8
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30 | 15, 16, 29 | syl2an 480 |
. . . . . . 7
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31 | 30 | an4s 835 |
. . . . . 6
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32 | 13, 31 | eqeltrd 2529 |
. . . . 5
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33 | 32 | ralrimivva 2809 |
. . . 4
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34 | 33 | rgen2a 2815 |
. . 3
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35 | ffn 5728 |
. . . . . 6
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36 | 19, 35 | ax-mp 5 |
. . . . 5
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37 | ineq1 3627 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | eleq1d 2513 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | ralbidv 2827 |
. . . . . 6
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40 | 39 | ralima 6145 |
. . . . 5
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41 | 36, 23, 40 | mp2an 678 |
. . . 4
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42 | fveq2 5865 |
. . . . . . . . . 10
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43 | df-ov 6293 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 42, 43 | syl6eqr 2503 |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | ineq1d 3633 |
. . . . . . . 8
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46 | 45 | eleq1d 2513 |
. . . . . . 7
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47 | 46 | ralbidv 2827 |
. . . . . 6
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48 | ineq2 3628 |
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49 | 48 | eleq1d 2513 |
. . . . . . . . 9
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50 | 49 | ralima 6145 |
. . . . . . . 8
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51 | 36, 23, 50 | mp2an 678 |
. . . . . . 7
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53 | df-ov 6293 |
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54 | 52, 53 | syl6eqr 2503 |
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55 | 54 | ineq2d 3634 |
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56 | 55 | eleq1d 2513 |
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57 | 56 | ralxp 4976 |
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58 | 51, 57 | bitri 253 |
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59 | 47, 58 | syl6bb 265 |
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60 | 59 | ralxp 4976 |
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61 | 41, 60 | bitri 253 |
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62 | 34, 61 | mpbir 213 |
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63 | fiinbas 19967 |
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64 | 4, 62, 63 | mp2an 678 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-op 3975 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-er 7363 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-ioo 11639 df-bases 19922 |
This theorem is referenced by: qtopbas 21780 retopbas 21781 |
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