Theorem qtopbaslem 21390

Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtopbas.1	|- S C_ RR*

Assertion

Ref	Expression
qtopbaslem	|- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem

Dummy variables u t v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooex 11577	. . . 4 |- (,) e. _V
2	1	rnex 6733	. . 3 |- ran (,) e. _V
3		imassrn 5358	. . 3 |- ( (,) " ( S X. S ) ) C_ ran (,)
4	2, 3	ssexi 4601	. 2 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V
5		qtopbas.1	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR*
6	5	sseli 3495	. . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. RR* )
7	5	sseli 3495	. . . . . . . 8 |- ( w e. S -> w e. RR* )
8	6, 7	anim12i 566	. . . . . . 7 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* ) )
9	5	sseli 3495	. . . . . . . 8 |- ( v e. S -> v e. RR* )
10	5	sseli 3495	. . . . . . . 8 |- ( u e. S -> u e. RR* )
11	9, 10	anim12i 566	. . . . . . 7 |- ( ( v e. S /\ u e. S ) -> ( v e. RR* /\ u e. RR* ) )
12		iooin 11588	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ u e. RR* ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) )
13	8, 11, 12	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) )
14		ifcl 3986	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> if ( z <_ v , v , z ) e. S )
15	14	ancoms 453	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ v e. S ) -> if ( z <_ v , v , z ) e. S )
16		ifcl 3986	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> if ( w <_ u , w , u ) e. S )
17		df-ov 6299	. . . . . . . . 9 |- ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) = ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. )
18		opelxpi 5040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) )
19		ioof 11647	. . . . . . . . . . . 12 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
20		ffun 5739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> Fun (,) )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Fun (,)
22		xpss12 5117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ RR* /\ S C_ RR* ) -> ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) )
23	5, 5, 22	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* )
24	19	fdmi 5742	. . . . . . . . . . . 12 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
25	23, 24	sseqtr4i 3532	. . . . . . . . . . 11 |- ( S X. S ) C_ dom (,)
26		funfvima2 6149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun (,) /\ ( S X. S ) C_ dom (,) ) -> ( <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
27	21, 25, 26	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
28	18, 27	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
29	17, 28	syl5eqel 2549	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
30	15, 16, 29	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. S /\ v e. S ) /\ ( w e. S /\ u e. S ) ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
31	30	an4s 826	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
32	13, 31	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
33	32	ralrimivva 2878	. . . 4 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
34	33	rgen2a 2884	. . 3 |- A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
35		ffn 5737	. . . . . 6 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
36	19, 35	ax-mp 5	. . . . 5 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
37		ineq1 3689	. . . . . . . 8 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( x i^i y ) = ( ( (,) ` t ) i^i y ) )
38	37	eleq1d 2526	. . . . . . 7 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
39	38	ralbidv 2896	. . . . . 6 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
40	39	ralima 6153	. . . . 5 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
41	36, 23, 40	mp2an 672	. . . 4 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
42		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. z , w >. ) )
43		df-ov 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( z (,) w ) = ( (,) ` <. z , w >. )
44	42, 43	syl6eqr 2516	. . . . . . . . 9 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( z (,) w ) )
45	44	ineq1d 3695	. . . . . . . 8 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( (,) ` t ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i y ) )
46	45	eleq1d 2526	. . . . . . 7 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
47	46	ralbidv 2896	. . . . . 6 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
48		ineq2 3690	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( z (,) w ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) )
49	48	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
50	49	ralima 6153	. . . . . . . 8 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
51	36, 23, 50	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
52		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. v , u >. ) )
53		df-ov 6299	. . . . . . . . . . 11 |- ( v (,) u ) = ( (,) ` <. v , u >. )
54	52, 53	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . 10 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( v (,) u ) )
55	54	ineq2d 3696	. . . . . . . . 9 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) = ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) )
56	55	eleq1d 2526	. . . . . . . 8 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
57	56	ralxp 5154	. . . . . . 7 |- ( A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
58	51, 57	bitri 249	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
59	47, 58	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
60	59	ralxp 5154	. . . 4 |- ( A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
61	41, 60	bitri 249	. . 3 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
62	34, 61	mpbir 209	. 2 |- A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
63		fiinbas 19579	. 2 |- ( ( ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V /\ A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) -> ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases )
64	4, 62, 63	mp2an 672	1 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   <.cop 4038   class class class wbr 4456   X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   RR*cxr 9644   <_ cle 9646   (,)cioo 11554   TopBasesctb 19524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-ioo 11558  df-bases 19527

This theorem is referenced by:  qtopbas  21391  retopbas  21392