Theorem qtopbaslem 20349

Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtopbas.1	|- S C_ RR*

Assertion

Ref	Expression
qtopbaslem	|- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem

Dummy variables u t v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooex 11335	. . . 4 |- (,) e. _V
2	1	rnex 6524	. . 3 |- ran (,) e. _V
3		imassrn 5192	. . 3 |- ( (,) " ( S X. S ) ) C_ ran (,)
4	2, 3	ssexi 4449	. 2 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V
5		qtopbas.1	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR*
6	5	sseli 3364	. . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. RR* )
7	5	sseli 3364	. . . . . . . 8 |- ( w e. S -> w e. RR* )
8	6, 7	anim12i 566	. . . . . . 7 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* ) )
9	5	sseli 3364	. . . . . . . 8 |- ( v e. S -> v e. RR* )
10	5	sseli 3364	. . . . . . . 8 |- ( u e. S -> u e. RR* )
11	9, 10	anim12i 566	. . . . . . 7 |- ( ( v e. S /\ u e. S ) -> ( v e. RR* /\ u e. RR* ) )
12		iooin 11346	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ u e. RR* ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) )
13	8, 11, 12	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) )
14		ifcl 3843	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> if ( z <_ v , v , z ) e. S )
15	14	ancoms 453	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ v e. S ) -> if ( z <_ v , v , z ) e. S )
16		ifcl 3843	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> if ( w <_ u , w , u ) e. S )
17		df-ov 6106	. . . . . . . . 9 |- ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) = ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. )
18		opelxpi 4883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) )
19		ioof 11399	. . . . . . . . . . . 12 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
20		ffun 5573	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> Fun (,) )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Fun (,)
22		xpss12 4957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ RR* /\ S C_ RR* ) -> ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) )
23	5, 5, 22	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* )
24	19	fdmi 5576	. . . . . . . . . . . 12 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
25	23, 24	sseqtr4i 3401	. . . . . . . . . . 11 |- ( S X. S ) C_ dom (,)
26		funfvima2 5965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun (,) /\ ( S X. S ) C_ dom (,) ) -> ( <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
27	21, 25, 26	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
28	18, 27	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
29	17, 28	syl5eqel 2527	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
30	15, 16, 29	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. S /\ v e. S ) /\ ( w e. S /\ u e. S ) ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
31	30	an4s 822	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
32	13, 31	eqeltrd 2517	. . . . 5 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
33	32	ralrimivva 2820	. . . 4 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
34	33	rgen2a 2794	. . 3 |- A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
35		ffn 5571	. . . . . 6 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
36	19, 35	ax-mp 5	. . . . 5 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
37		ineq1 3557	. . . . . . . 8 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( x i^i y ) = ( ( (,) ` t ) i^i y ) )
38	37	eleq1d 2509	. . . . . . 7 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
39	38	ralbidv 2747	. . . . . 6 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
40	39	ralima 5969	. . . . 5 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
41	36, 23, 40	mp2an 672	. . . 4 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
42		fveq2 5703	. . . . . . . . . 10 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. z , w >. ) )
43		df-ov 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( z (,) w ) = ( (,) ` <. z , w >. )
44	42, 43	syl6eqr 2493	. . . . . . . . 9 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( z (,) w ) )
45	44	ineq1d 3563	. . . . . . . 8 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( (,) ` t ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i y ) )
46	45	eleq1d 2509	. . . . . . 7 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
47	46	ralbidv 2747	. . . . . 6 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
48		ineq2 3558	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( z (,) w ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) )
49	48	eleq1d 2509	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
50	49	ralima 5969	. . . . . . . 8 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
51	36, 23, 50	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
52		fveq2 5703	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. v , u >. ) )
53		df-ov 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( v (,) u ) = ( (,) ` <. v , u >. )
54	52, 53	syl6eqr 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( v (,) u ) )
55	54	ineq2d 3564	. . . . . . . . 9 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) = ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) )
56	55	eleq1d 2509	. . . . . . . 8 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
57	56	ralxp 4993	. . . . . . 7 |- ( A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
58	51, 57	bitri 249	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
59	47, 58	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
60	59	ralxp 4993	. . . 4 |- ( A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
61	41, 60	bitri 249	. . 3 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
62	34, 61	mpbir 209	. 2 |- A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
63		fiinbas 18569	. 2 |- ( ( ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V /\ A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) -> ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases )
64	4, 62, 63	mp2an 672	1 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2727   _Vcvv 2984   i^i cin 3339   C_ wss 3340   ifcif 3803   ~Pcpw 3872   <.cop 3895   class class class wbr 4304   X. cxp 4850   dom cdm 4852   ran crn 4853   "cima 4855   Fun wfun 5424   Fn wfn 5425   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   RR*cxr 9429   <_ cle 9431   (,)cioo 11312   TopBasesctb 18514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-ioo 11316  df-bases 18517

This theorem is referenced by:  qtopbas  20350  retopbas  20351