MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qsubdrg Structured version   Unicode version

Theorem qsubdrg 18680
Description: The rational numbers form a division subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
qsubdrg  |-  ( QQ  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  QQ )  e.  DivRing )

Proof of Theorem qsubdrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qcn 11157 . 2  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  CC )
2 qaddcl 11159 . 2  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  y  e.  QQ )  ->  ( x  +  y )  e.  QQ )
3 qnegcl 11160 . 2  |-  ( x  e.  QQ  ->  -u x  e.  QQ )
4 zssq 11150 . . 3  |-  ZZ  C_  QQ
5 1z 10853 . . 3  |-  1  e.  ZZ
64, 5sselii 3436 . 2  |-  1  e.  QQ
7 qmulcl 11161 . 2  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  y  e.  QQ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  QQ )
8 qreccl 11163 . 2  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  QQ )
91, 2, 3, 6, 7, 8cnsubdrglem 18679 1  |-  ( QQ  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  QQ )  e.  DivRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    e. wcel 1840   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   1c1 9441   ZZcz 10823   QQcq 11143   ↾s cress 14732   DivRingcdr 17606  SubRingcsubrg 17635  ℂfldccnfld 18630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-addf 9519  ax-mulf 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-tpos 6910  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-subg 16412  df-cmn 17014  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-cring 17411  df-oppr 17482  df-dvdsr 17500  df-unit 17501  df-invr 17531  df-dvr 17542  df-drng 17608  df-subrg 17637  df-cnfld 18631
This theorem is referenced by:  qdrng  24076  qrng0  24077  qrng1  24078  qrngneg  24079  qrngdiv  24080  qabsabv  24085  qqhcn  28305  qqhucn  28306
  Copyright terms: Public domain W3C validator