Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qsssubdrg Structured version   Unicode version

Theorem qsssubdrg 18795
 Description: The rational numbers are a subset of any subfield of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
qsssubdrg SubRingfld flds

Proof of Theorem qsssubdrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 11228 . . 3
2 drngring 17721 . . . . . . . 8 flds flds
32ad2antlr 725 . . . . . . 7 SubRingfld flds flds
4 zsssubrg 18794 . . . . . . . . . 10 SubRingfld
54ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
6 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11 flds flds
76subrgbas 17756 . . . . . . . . . 10 SubRingfld flds
87ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds flds
95, 8sseqtrd 3477 . . . . . . . 8 SubRingfld flds flds
10 simprl 756 . . . . . . . 8 SubRingfld flds
119, 10sseldd 3442 . . . . . . 7 SubRingfld flds flds
12 nnz 10926 . . . . . . . . . 10
1312ad2antll 727 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
149, 13sseldd 3442 . . . . . . . 8 SubRingfld flds flds
15 nnne0 10608 . . . . . . . . . 10
1615ad2antll 727 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
17 cnfld0 18760 . . . . . . . . . . 11 fld
186, 17subrg0 17754 . . . . . . . . . 10 SubRingfld flds
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds flds
2016, 19neeqtrd 2698 . . . . . . . 8 SubRingfld flds flds
21 eqid 2402 . . . . . . . . . 10 flds flds
22 eqid 2402 . . . . . . . . . 10 Unitflds Unitflds
23 eqid 2402 . . . . . . . . . 10 flds flds
2421, 22, 23drngunit 17719 . . . . . . . . 9 flds Unitflds flds flds
2524ad2antlr 725 . . . . . . . 8 SubRingfld flds Unitflds flds flds
2614, 20, 25mpbir2and 923 . . . . . . 7 SubRingfld flds Unitflds
27 eqid 2402 . . . . . . . 8 /rflds /rflds
2821, 22, 27dvrcl 17653 . . . . . . 7 flds flds Unitflds /rflds flds
293, 11, 26, 28syl3anc 1230 . . . . . 6 SubRingfld flds /rflds flds
30 simpll 752 . . . . . . 7 SubRingfld flds SubRingfld
315, 10sseldd 3442 . . . . . . 7 SubRingfld flds
32 cnflddiv 18766 . . . . . . . 8 /rfld
336, 32, 22, 27subrgdv 17764 . . . . . . 7 SubRingfld Unitflds /rflds
3430, 31, 26, 33syl3anc 1230 . . . . . 6 SubRingfld flds /rflds
3529, 34, 83eltr4d 2505 . . . . 5 SubRingfld flds
36 eleq1 2474 . . . . 5
3735, 36syl5ibrcom 222 . . . 4 SubRingfld flds
3837rexlimdvva 2902 . . 3 SubRingfld flds
391, 38syl5bi 217 . 2 SubRingfld flds
4039ssrdv 3447 1 SubRingfld flds
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wrex 2754   wss 3413  cfv 5568  (class class class)co 6277  cc0 9521   cdiv 10246  cn 10575  cz 10904  cq 11226  cbs 14839   ↾s cress 14840  c0g 15052  crg 17516  Unitcui 17606  /rcdvr 17649  cdr 17714  SubRingcsubrg 17743  ℂfldccnfld 18738 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-addf 9600  ax-mulf 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-fz 11725  df-seq 12150  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-cmn 17122  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-drng 17716  df-subrg 17745  df-cnfld 18739 This theorem is referenced by:  cphqss  21925  resscdrg  22088
 Copyright terms: Public domain W3C validator