Theorem qsqueeze 7461

Description: If a nonnegative real is less than any positive rational, it is zero.

Assertion

Ref	Expression
qsqueeze	|- ((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A.x e. QQ (0 < x -> A < x)) -> A = 0)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem qsqueeze

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 6603	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
2		ltnle 6680	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A <-> -. A <_ 0))
3	1, 2	mpan 759	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (0 < A <-> -. A <_ 0))
4		qbtwnre 7459	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ A e. RR /\ 0 < A) -> E.x e. QQ (0 < x /\ x < A))
5	1, 4	mp3an1 1178	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> E.x e. QQ (0 < x /\ x < A))
6	5	ex 402	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (0 < A -> E.x e. QQ (0 < x /\ x < A)))
7		ltnsym 6702	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. RR) -> (A < x -> -. x < A))
8	7	con2d 107	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ x e. RR) -> (x < A -> -. A < x))
9		qre 7439	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. QQ -> x e. RR)
10	8, 9	sylan2 500	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ x e. QQ) -> (x < A -> -. A < x))
11	10	anim2d 620	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ x e. QQ) -> ((0 < x /\ x < A) -> (0 < x /\ -. A < x)))
12	11	reximdva 2203	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (E.x e. QQ (0 < x /\ x < A) -> E.x e. QQ (0 < x /\ -. A < x)))
13	6, 12	syld 30	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (0 < A -> E.x e. QQ (0 < x /\ -. A < x)))
14	3, 13	sylbird 222	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (-. A <_ 0 -> E.x e. QQ (0 < x /\ -. A < x)))
15		rexanali 2144	. . . . . 6 |- (E.x e. QQ (0 < x /\ -. A < x) <-> -. A.x e. QQ (0 < x -> A < x))
16	14, 15	syl6ib 229	. . . . 5 |- (A e. RR -> (-. A <_ 0 -> -. A.x e. QQ (0 < x -> A < x)))
17	16	con4d 91	. . . 4 |- (A e. RR -> (A.x e. QQ (0 < x -> A < x) -> A <_ 0))
18	17	imp 377	. . 3 |- ((A e. RR /\ A.x e. QQ (0 < x -> A < x)) -> A <_ 0)
19	18	3adant2 895	. 2 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A.x e. QQ (0 < x -> A < x)) -> A <_ 0)
20		letri3 6687	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 e. RR) -> (A = 0 <-> (A <_ 0 /\ 0 <_ A)))
21	1, 20	mpan2 760	. . . 4 |- (A e. RR -> (A = 0 <-> (A <_ 0 /\ 0 <_ A)))
22		iba 704	. . . . 5 |- (0 <_ A -> (A <_ 0 <-> (A <_ 0 /\ 0 <_ A)))
23	22	bicomd 580	. . . 4 |- (0 <_ A -> ((A <_ 0 /\ 0 <_ A) <-> A <_ 0))
24	21, 23	sylan9bb 599	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A = 0 <-> A <_ 0))
25	24	3adant3 896	. 2 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A.x e. QQ (0 < x -> A < x)) -> (A = 0 <-> A <_ 0))
26	19, 25	mpbird 213	1 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A.x e. QQ (0 < x -> A < x)) -> A = 0)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  RRcr 6385  0cc0 6386   <_ cle 6448  QQcq 6452   < clt 6653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436

Copyright terms: Public domain