MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qsqueeze Structured version   Unicode version

Theorem qsqueeze 11425
Description: If a nonnegative real is less than any positive rational, it is zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
qsqueeze  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A. x  e.  QQ  (
0  <  x  ->  A  <  x ) )  ->  A  =  0 )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem qsqueeze
StepHypRef Expression
1 0re 9613 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 ltnle 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
31, 2mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
4 qbtwnre 11423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  x  <  A ) )
51, 4mp3an1 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  x  <  A ) )
65ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  E. x  e.  QQ  (
0  <  x  /\  x  <  A ) ) )
7 qre 11212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
8 ltnsym 9700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  <  x  ->  -.  x  <  A
) )
98con2d 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <  x
) )
107, 9sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  QQ )  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <  x
) )
1110anim2d 565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  QQ )  ->  ( ( 0  < 
x  /\  x  <  A )  ->  ( 0  <  x  /\  -.  A  <  x ) ) )
1211reximdva 2932 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  x  <  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  -.  A  <  x
) ) )
136, 12syld 44 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  E. x  e.  QQ  (
0  <  x  /\  -.  A  <  x ) ) )
143, 13sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  <_  0  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  -.  A  <  x
) ) )
15 rexanali 2910 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  QQ  (
0  <  x  /\  -.  A  <  x )  <->  -.  A. x  e.  QQ  ( 0  <  x  ->  A  <  x ) )
1614, 15syl6ib 226 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  <_  0  ->  -.  A. x  e.  QQ  ( 0  <  x  ->  A  <  x ) ) )
1716con4d 105 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A. x  e.  QQ  ( 0  <  x  ->  A  <  x )  ->  A  <_  0
) )
1817imp 429 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A. x  e.  QQ  (
0  <  x  ->  A  <  x ) )  ->  A  <_  0
)
19183adant2 1015 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A. x  e.  QQ  (
0  <  x  ->  A  <  x ) )  ->  A  <_  0
)
20 letri3 9687 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  =  0  <-> 
( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
211, 20mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  0  <->  ( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
2221rbaibd 910 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  =  0  <-> 
A  <_  0 ) )
23223adant3 1016 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A. x  e.  QQ  (
0  <  x  ->  A  <  x ) )  ->  ( A  =  0  <->  A  <_  0 ) )
2419, 23mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A. x  e.  QQ  (
0  <  x  ->  A  <  x ) )  ->  A  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   RRcr 9508   0cc0 9509    < clt 9645    <_ cle 9646   QQcq 11207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator