Theorem qsexg 5352

Description: A quotient set exists. (Contributed by FL, 19-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qsexg	|- (A e. _V -> (A/.R) e. _V)

Proof of Theorem qsexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opabex2g 4540	. 2 |- (A e. _V -> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. _V)
2		rnexg 4207	. 2 |- ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. _V -> ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. _V)
3		df-rex 2110	. . . . . 6 |- (E.x e. A y = [x]R <-> E.x(x e. A /\ y = [x]R))
4	3	abbii 2006	. . . . 5 |- {y | E.x e. A y = [x]R} = {y | E.x(x e. A /\ y = [x]R)}
5		df-qs 5323	. . . . 5 |- (A/.R) = {y | E.x e. A y = [x]R}
6		rnopab 4201	. . . . 5 |- ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} = {y | E.x(x e. A /\ y = [x]R)}
7	4, 5, 6	3eqtr4ri 1923	. . . 4 |- ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} = (A/.R)
8	7	eleq1i 1960	. . 3 |- (ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. _V <-> (A/.R) e. _V)
9	8	biimpi 168	. 2 |- (ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. _V -> (A/.R) e. _V)
10	1, 2, 9	3syl 24	1 |- (A e. _V -> (A/.R) e. _V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  {copab 3395  ran crn 3987  [cec 5316  /.cqs 5317

This theorem is referenced by:  qsex 5353  qusp 14908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-qs 5323

Copyright terms: Public domain