MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qrngdiv Structured version   Unicode version

Theorem qrngdiv 23016
Description: The division operation in the field of rationals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
Assertion
Ref Expression
qrngdiv  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( X (/r `  Q ) Y )  =  ( X  /  Y ) )

Proof of Theorem qrngdiv
StepHypRef Expression
1 qsubdrg 18000 . . . . 5  |-  ( QQ  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  QQ )  e.  DivRing )
21simpli 458 . . . 4  |-  QQ  e.  (SubRing ` fld )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  QQ  e.  (SubRing ` fld ) )
4 simp1 988 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  X  e.  QQ )
5 3simpc 987 . . . 4  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 ) )
6 eldifsn 4111 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( QQ  \  { 0 } )  <-> 
( Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 ) )
75, 6sylibr 212 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  Y  e.  ( QQ  \  {
0 } ) )
8 qrng.q . . . 4  |-  Q  =  (flds  QQ )
9 cnflddiv 17981 . . . 4  |-  /  =  (/r
` fld
)
108qrngbas 23011 . . . . 5  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
118qrng0 23013 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g `  Q )
128qdrng 23012 . . . . 5  |-  Q  e.  DivRing
1310, 11, 12drngui 16971 . . . 4  |-  ( QQ 
\  { 0 } )  =  (Unit `  Q )
14 eqid 2454 . . . 4  |-  (/r `  Q
)  =  (/r `  Q
)
158, 9, 13, 14subrgdv 17015 . . 3  |-  ( ( QQ  e.  (SubRing ` fld )  /\  X  e.  QQ  /\  Y  e.  ( QQ  \  {
0 } ) )  ->  ( X  /  Y )  =  ( X (/r `  Q ) Y ) )
163, 4, 7, 15syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( X  /  Y )  =  ( X (/r `  Q
) Y ) )
1716eqcomd 2462 1  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( X (/r `  Q ) Y )  =  ( X  /  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648    \ cdif 3436   {csn 3988   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9397    / cdiv 10108   QQcq 11068   ↾s cress 14297  /rcdvr 16907   DivRingcdr 16965  SubRingcsubrg 16994  ℂfldccnfld 17953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-subg 15801  df-cmn 16404  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-drng 16967  df-subrg 16996  df-cnfld 17954
This theorem is referenced by:  ostthlem1  23019
  Copyright terms: Public domain W3C validator