MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qrngdiv Structured version   Unicode version

Theorem qrngdiv 23675
Description: The division operation in the field of rationals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
Assertion
Ref Expression
qrngdiv  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( X (/r `  Q ) Y )  =  ( X  /  Y ) )

Proof of Theorem qrngdiv
StepHypRef Expression
1 qsubdrg 18340 . . . . 5  |-  ( QQ  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  QQ )  e.  DivRing )
21simpli 458 . . . 4  |-  QQ  e.  (SubRing ` fld )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  QQ  e.  (SubRing ` fld ) )
4 simp1 996 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  X  e.  QQ )
5 3simpc 995 . . . 4  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 ) )
6 eldifsn 4158 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( QQ  \  { 0 } )  <-> 
( Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 ) )
75, 6sylibr 212 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  Y  e.  ( QQ  \  {
0 } ) )
8 qrng.q . . . 4  |-  Q  =  (flds  QQ )
9 cnflddiv 18318 . . . 4  |-  /  =  (/r
` fld
)
108qrngbas 23670 . . . . 5  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
118qrng0 23672 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g `  Q )
128qdrng 23671 . . . . 5  |-  Q  e.  DivRing
1310, 11, 12drngui 17273 . . . 4  |-  ( QQ 
\  { 0 } )  =  (Unit `  Q )
14 eqid 2467 . . . 4  |-  (/r `  Q
)  =  (/r `  Q
)
158, 9, 13, 14subrgdv 17317 . . 3  |-  ( ( QQ  e.  (SubRing ` fld )  /\  X  e.  QQ  /\  Y  e.  ( QQ  \  {
0 } ) )  ->  ( X  /  Y )  =  ( X (/r `  Q ) Y ) )
163, 4, 7, 15syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( X  /  Y )  =  ( X (/r `  Q
) Y ) )
1716eqcomd 2475 1  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( X (/r `  Q ) Y )  =  ( X  /  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3478   {csn 4033   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504    / cdiv 10218   QQcq 11194   ↾s cress 14508  /rcdvr 17203   DivRingcdr 17267  SubRingcsubrg 17296  ℂfldccnfld 18290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-cnfld 18291
This theorem is referenced by:  ostthlem1  23678
  Copyright terms: Public domain W3C validator