MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qrevaddcl Structured version   Unicode version

Theorem qrevaddcl 11205
Description: Reverse closure law for addition of rationals. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qrevaddcl  |-  ( B  e.  QQ  ->  (
( A  e.  CC  /\  ( A  +  B
)  e.  QQ )  <-> 
A  e.  QQ ) )

Proof of Theorem qrevaddcl
StepHypRef Expression
1 qcn 11197 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
2 pncan 9817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
31, 2sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
43ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
54adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  QQ  /\  A  e.  CC )  /\  ( A  +  B )  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  -  B )  =  A )
6 qsubcl 11202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  e.  QQ )
76ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  ( A  +  B
)  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  -  B )  e.  QQ )
87adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  QQ  /\  A  e.  CC )  /\  ( A  +  B )  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  -  B )  e.  QQ )
95, 8eqeltrrd 2543 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  QQ  /\  A  e.  CC )  /\  ( A  +  B )  e.  QQ )  ->  A  e.  QQ )
109ex 432 . . . 4  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  e.  QQ  ->  A  e.  QQ ) )
11 qaddcl 11199 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  QQ )
1211expcom 433 . . . . 5  |-  ( B  e.  QQ  ->  ( A  e.  QQ  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
1312adantr 463 . . . 4  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  e.  QQ  ->  ( A  +  B
)  e.  QQ ) )
1410, 13impbid 191 . . 3  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  e.  QQ  <->  A  e.  QQ ) )
1514pm5.32da 639 . 2  |-  ( B  e.  QQ  ->  (
( A  e.  CC  /\  ( A  +  B
)  e.  QQ )  <-> 
( A  e.  CC  /\  A  e.  QQ ) ) )
16 qcn 11197 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
1716pm4.71ri 631 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  ( A  e.  CC  /\  A  e.  QQ ) )
1815, 17syl6bbr 263 1  |-  ( B  e.  QQ  ->  (
( A  e.  CC  /\  ( A  +  B
)  e.  QQ )  <-> 
A  e.  QQ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   CCcc 9479    + caddc 9484    - cmin 9796   QQcq 11183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-q 11184
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator