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Theorem qreccl 11087
Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qreccl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qreccl
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 11069 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 nnne0 10468 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
32ancli 551 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  /\  y  =/=  0 ) )
4 neeq1 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  <->  ( x  /  y )  =/=  0 ) )
5 zcn 10765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
6 nncn 10444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
75, 6anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )
8 divne0b 10119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  =/=  0  <->  (
x  /  y )  =/=  0 ) )
983expa 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( x  =/=  0  <->  ( x  / 
y )  =/=  0
) )
107, 9sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( x  =/=  0  <->  ( x  / 
y )  =/=  0
) )
1110bicomd 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( (
x  /  y )  =/=  0  <->  x  =/=  0 ) )
124, 11sylan9bbr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A  =/=  0  <->  x  =/=  0 ) )
13 nnz 10782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
14 zmulcl 10807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
1513, 14sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( x  x.  y )  e.  ZZ )
17 msqznn 10837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  x.  x
)  e.  NN )
1817adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( x  x.  x )  e.  NN )
1916, 18jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( (
x  x.  y )  e.  ZZ  /\  (
x  x.  x )  e.  NN ) )
2019adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN ) )
2120adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN ) )
22 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
1  /  A )  =  ( 1  / 
( x  /  y
) ) )
23 divid 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  /  x
)  =  1 )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  /  x
)  =  1 )
2524oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( ( x  /  x )  /  (
x  /  y ) )  =  ( 1  /  ( x  / 
y ) ) )
26 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  x  e.  CC )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
29 divdivdiv 10146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) ) )  ->  (
( x  /  x
)  /  ( x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) )
3026, 27, 27, 28, 29syl22anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( ( x  /  x )  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3125, 30eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3231an4s 822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  ( x  =/=  0  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
337, 32sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3433anass1rs 805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) )
3522, 34sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3635an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3721, 36jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) )
3837ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( x  =/=  0  ->  ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) ) )
3912, 38sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A  =/=  0  ->  ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) ) )
4039ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
4140anasss 647 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( y  e.  NN  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
423, 41sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A  =/=  0  ->  ( (
( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
43 rspceov 6240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN  /\  ( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  (
1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
44433expa 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  ( 1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
45 elq 11069 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  A )  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  ( 1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
4644, 45sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ )
4742, 46syl8 70 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A  =/=  0  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ ) ) )
4847rexlimivv 2952 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
1  /  A )  e.  QQ ) )
491, 48sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  =/=  0  ->  (
1  /  A )  e.  QQ ) )
5049imp 429 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800  (class class class)co 6203   CCcc 9394   0cc0 9396   1c1 9397    x. cmul 9401    / cdiv 10107   NNcn 10436   ZZcz 10760   QQcq 11067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-q 11068
This theorem is referenced by:  qdivcl  11088  qexpclz  12006  qsubdrg  17993  mpaaeu  29675
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