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Theorem qreccl 10965
Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qreccl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qreccl
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 10947 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 nnne0 10346 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
32ancli 551 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  /\  y  =/=  0 ) )
4 neeq1 2611 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  <->  ( x  /  y )  =/=  0 ) )
5 zcn 10643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
6 nncn 10322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
75, 6anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )
8 divne0b 9997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  =/=  0  <->  (
x  /  y )  =/=  0 ) )
983expa 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( x  =/=  0  <->  ( x  / 
y )  =/=  0
) )
107, 9sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( x  =/=  0  <->  ( x  / 
y )  =/=  0
) )
1110bicomd 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( (
x  /  y )  =/=  0  <->  x  =/=  0 ) )
124, 11sylan9bbr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A  =/=  0  <->  x  =/=  0 ) )
13 nnz 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
14 zmulcl 10685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
1513, 14sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( x  x.  y )  e.  ZZ )
17 msqznn 10715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  x.  x
)  e.  NN )
1817adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( x  x.  x )  e.  NN )
1916, 18jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( (
x  x.  y )  e.  ZZ  /\  (
x  x.  x )  e.  NN ) )
2019adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN ) )
2120adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN ) )
22 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
1  /  A )  =  ( 1  / 
( x  /  y
) ) )
23 divid 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  /  x
)  =  1 )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  /  x
)  =  1 )
2524oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( ( x  /  x )  /  (
x  /  y ) )  =  ( 1  /  ( x  / 
y ) ) )
26 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  x  e.  CC )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
29 divdivdiv 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) ) )  ->  (
( x  /  x
)  /  ( x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) )
3026, 27, 27, 28, 29syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( ( x  /  x )  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3125, 30eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3231an4s 822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  ( x  =/=  0  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
337, 32sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3433anass1rs 805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) )
3522, 34sylan9eqr 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3635an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3721, 36jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) )
3837ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( x  =/=  0  ->  ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) ) )
3912, 38sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A  =/=  0  ->  ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) ) )
4039ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
4140anasss 647 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( y  e.  NN  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
423, 41sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A  =/=  0  ->  ( (
( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
43 rspceov 6123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN  /\  ( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  (
1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
44433expa 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  ( 1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
45 elq 10947 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  A )  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  ( 1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
4644, 45sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ )
4742, 46syl8 70 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A  =/=  0  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ ) ) )
4847rexlimivv 2841 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
1  /  A )  e.  QQ ) )
491, 48sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  =/=  0  ->  (
1  /  A )  e.  QQ ) )
5049imp 429 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279    / cdiv 9985   NNcn 10314   ZZcz 10638   QQcq 10945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-q 10946
This theorem is referenced by:  qdivcl  10966  qexpclz  11878  qsubdrg  17840  mpaaeu  29460
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