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Theorem qreccl 11214
Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qreccl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qreccl
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 11196 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 nnne0 10580 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
32ancli 551 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  /\  y  =/=  0 ) )
4 neeq1 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  <->  ( x  /  y )  =/=  0 ) )
5 zcn 10881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
6 nncn 10556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
75, 6anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )
8 divne0b 10230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  =/=  0  <->  (
x  /  y )  =/=  0 ) )
983expa 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( x  =/=  0  <->  ( x  / 
y )  =/=  0
) )
107, 9sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( x  =/=  0  <->  ( x  / 
y )  =/=  0
) )
1110bicomd 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( (
x  /  y )  =/=  0  <->  x  =/=  0 ) )
124, 11sylan9bbr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A  =/=  0  <->  x  =/=  0 ) )
13 nnz 10898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
14 zmulcl 10923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
1513, 14sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( x  x.  y )  e.  ZZ )
17 msqznn 10954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  x.  x
)  e.  NN )
1817adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( x  x.  x )  e.  NN )
1916, 18jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( (
x  x.  y )  e.  ZZ  /\  (
x  x.  x )  e.  NN ) )
2019adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN ) )
2120adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN ) )
22 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
1  /  A )  =  ( 1  / 
( x  /  y
) ) )
23 divid 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  /  x
)  =  1 )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  /  x
)  =  1 )
2524oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( ( x  /  x )  /  (
x  /  y ) )  =  ( 1  /  ( x  / 
y ) ) )
26 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  x  e.  CC )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
29 divdivdiv 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) ) )  ->  (
( x  /  x
)  /  ( x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) )
3026, 27, 27, 28, 29syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( ( x  /  x )  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3125, 30eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3231an4s 824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  ( x  =/=  0  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
337, 32sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3433anass1rs 805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) )
3522, 34sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3635an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3721, 36jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) )
3837ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( x  =/=  0  ->  ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) ) )
3912, 38sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A  =/=  0  ->  ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) ) )
4039ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
4140anasss 647 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( y  e.  NN  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
423, 41sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A  =/=  0  ->  ( (
( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
43 rspceov 6332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN  /\  ( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  (
1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
44433expa 1196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  ( 1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
45 elq 11196 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  A )  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  ( 1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
4644, 45sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ )
4742, 46syl8 70 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A  =/=  0  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ ) ) )
4847rexlimivv 2964 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
1  /  A )  e.  QQ ) )
491, 48sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  =/=  0  ->  (
1  /  A )  e.  QQ ) )
5049imp 429 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509    / cdiv 10218   NNcn 10548   ZZcz 10876   QQcq 11194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-q 11195
This theorem is referenced by:  qdivcl  11215  qexpclz  12167  qsubdrg  18340  mpaaeu  31028
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