MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qre Structured version   Unicode version

Theorem qre 11150
Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
qre  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem qre
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 11147 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 zre 10829 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
3 nnre 10503 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
4 nnne0 10529 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
53, 4jca 530 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  RR  /\  y  =/=  0 ) )
6 redivcl 10224 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  /  y )  e.  RR )
763expb 1198 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  e.  RR  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( x  /  y )  e.  RR )
82, 5, 7syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  /  y
)  e.  RR )
9 eleq1 2474 . . . 4  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( x  /  y )  e.  RR ) )
108, 9syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  A  e.  RR ) )
1110rexlimivv 2900 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  A  e.  RR )
121, 11sylbi 195 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2754  (class class class)co 6234   RRcr 9441   0cc0 9442    / cdiv 10167   NNcn 10496   ZZcz 10825   QQcq 11145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-z 10826  df-q 11146
This theorem is referenced by:  qssre  11155  irradd  11169  irrmul  11170  qbtwnxr  11370  qsqueeze  11371  qextltlem  11372  xralrple  11375  ixxub  11521  ixxlb  11522  ioo0  11525  ico0  11546  ioc0  11547  qnumgt0  14384  pcabs  14499  blssps  21111  blss  21112  blcld  21192  qdensere  21461  nmoleub2lem3  21782  mbfaddlem  22251  dvlip2  22580  itgsubst  22634  aalioulem2  22913  aalioulem4  22915  aalioulem5  22916  aalioulem6  22917  aaliou  22918  aaliou2b  22921  ipasslem8  26046  itg2gt0cn  31424  irrapxlem5  35104  rpnnen3lem  35316
  Copyright terms: Public domain W3C validator