Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhvval Unicode version

Theorem qqhvval 24320
Description: Value of the canonical homormorphism from the rational number when the target ring is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqhvval  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  ->  (
(QQHom `  R ) `  Q )  =  ( ( L `  (numer `  Q ) )  ./  ( L `  (denom `  Q ) ) ) )

Proof of Theorem qqhvval
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhval2.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 qqhval2.1 . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
3 qqhval2.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
41, 2, 3qqhval2 24319 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  (QQHom `  R
)  =  ( q  e.  QQ  |->  ( ( L `  (numer `  q ) )  ./  ( L `  (denom `  q ) ) ) ) )
54adantr 452 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  ->  (QQHom `  R )  =  ( q  e.  QQ  |->  ( ( L `  (numer `  q ) )  ./  ( L `  (denom `  q ) ) ) ) )
6 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  q  =  Q )
76fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  (numer `  q
)  =  (numer `  Q ) )
87fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  ( L `  (numer `  q )
)  =  ( L `
 (numer `  Q
) ) )
96fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  (denom `  q
)  =  (denom `  Q ) )
109fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  ( L `  (denom `  q )
)  =  ( L `
 (denom `  Q
) ) )
118, 10oveq12d 6058 . 2  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  ( ( L `  (numer `  q
) )  ./  ( L `  (denom `  q
) ) )  =  ( ( L `  (numer `  Q ) ) 
./  ( L `  (denom `  Q ) ) ) )
12 simpr 448 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  ->  Q  e.  QQ )
13 ovex 6065 . . 3  |-  ( ( L `  (numer `  Q ) )  ./  ( L `  (denom `  Q ) ) )  e.  _V
1413a1i 11 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  ->  (
( L `  (numer `  Q ) )  ./  ( L `  (denom `  Q ) ) )  e.  _V )
155, 11, 12, 14fvmptd 5769 1  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  ->  (
(QQHom `  R ) `  Q )  =  ( ( L `  (numer `  Q ) )  ./  ( L `  (denom `  Q ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   QQcq 10530  numercnumer 13080  denomcdenom 13081   Basecbs 13424  /rcdvr 15742   DivRingcdr 15790   ZRHomczrh 16733  chrcchr 16735  QQHomcqqh 24309
This theorem is referenced by:  qqh0  24321  qqh1  24322  qqhvq  24324  qqhnm  24327  qqhre  24339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-numer 13082  df-denom 13083  df-gz 13253  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-od 15122  df-cmn 15369  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-chr 16739  df-qqh 24310
  Copyright terms: Public domain W3C validator