Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhvval Structured version   Unicode version

Theorem qqhvval 26266
Description: Value of the canonical homormorphism from the rational number when the target ring is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqhvval  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  ->  (
(QQHom `  R ) `  Q )  =  ( ( L `  (numer `  Q ) )  ./  ( L `  (denom `  Q ) ) ) )

Proof of Theorem qqhvval
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhval2.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 qqhval2.1 . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
3 qqhval2.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
41, 2, 3qqhval2 26265 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  (QQHom `  R
)  =  ( q  e.  QQ  |->  ( ( L `  (numer `  q ) )  ./  ( L `  (denom `  q ) ) ) ) )
54adantr 462 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  ->  (QQHom `  R )  =  ( q  e.  QQ  |->  ( ( L `  (numer `  q ) )  ./  ( L `  (denom `  q ) ) ) ) )
6 simpr 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  q  =  Q )
76fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  (numer `  q
)  =  (numer `  Q ) )
87fveq2d 5683 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  ( L `  (numer `  q )
)  =  ( L `
 (numer `  Q
) ) )
96fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  (denom `  q
)  =  (denom `  Q ) )
109fveq2d 5683 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  ( L `  (denom `  q )
)  =  ( L `
 (denom `  Q
) ) )
118, 10oveq12d 6098 . 2  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  /\  q  =  Q )  ->  ( ( L `  (numer `  q
) )  ./  ( L `  (denom `  q
) ) )  =  ( ( L `  (numer `  Q ) ) 
./  ( L `  (denom `  Q ) ) ) )
12 simpr 458 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  ->  Q  e.  QQ )
13 ovex 6105 . . 3  |-  ( ( L `  (numer `  Q ) )  ./  ( L `  (denom `  Q ) ) )  e.  _V
1413a1i 11 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  ->  (
( L `  (numer `  Q ) )  ./  ( L `  (denom `  Q ) ) )  e.  _V )
155, 11, 12, 14fvmptd 5767 1  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  Q  e.  QQ )  ->  (
(QQHom `  R ) `  Q )  =  ( ( L `  (numer `  Q ) )  ./  ( L `  (denom `  Q ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   0cc0 9270   QQcq 10941  numercnumer 13794  denomcdenom 13795   Basecbs 14157  /rcdvr 16708   DivRingcdr 16756   ZRHomczrh 17773  chrcchr 17775  QQHomcqqh 26255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-dvds 13519  df-gcd 13674  df-numer 13796  df-denom 13797  df-gz 13974  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-0g 14363  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-subg 15658  df-ghm 15725  df-od 16012  df-cmn 16259  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-oppr 16649  df-dvdsr 16667  df-unit 16668  df-invr 16698  df-dvr 16709  df-rnghom 16740  df-drng 16758  df-subrg 16787  df-cnfld 17663  df-zring 17726  df-zrh 17777  df-chr 17779  df-qqh 26256
This theorem is referenced by:  qqh0  26267  qqh1  26268  qqhvq  26270  qqhnm  26273  qqhre  26300
  Copyright terms: Public domain W3C validator