Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhvq Structured version   Unicode version

Theorem qqhvq 26560
Description: The image of a quotient by the QQHom homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqhvq  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( (QQHom `  R
) `  ( X  /  Y ) )  =  ( ( L `  X )  ./  ( L `  Y )
) )

Proof of Theorem qqhvq
StepHypRef Expression
1 zssq 11070 . . . . 5  |-  ZZ  C_  QQ
2 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  X  e.  ZZ )
31, 2sseldi 3461 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  X  e.  QQ )
4 simpr2 995 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  e.  ZZ )
51, 4sseldi 3461 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  e.  QQ )
6 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  =/=  0 )
7 qdivcl 11084 . . . 4  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( X  /  Y )  e.  QQ )
83, 5, 6, 7syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  /  Y
)  e.  QQ )
9 qqhval2.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 qqhval2.1 . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
11 qqhval2.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
129, 10, 11qqhvval 26556 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  /  Y )  e.  QQ )  ->  (
(QQHom `  R ) `  ( X  /  Y
) )  =  ( ( L `  (numer `  ( X  /  Y
) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y
) ) ) ) )
138, 12syldan 470 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( (QQHom `  R
) `  ( X  /  Y ) )  =  ( ( L `  (numer `  ( X  /  Y ) ) ) 
./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) ) )
149, 10, 11qqhval2lem 26554 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  (numer `  ( X  /  Y ) ) ) 
./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  X ) 
./  ( L `  Y ) ) )
1513, 14eqtrd 2495 1  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( (QQHom `  R
) `  ( X  /  Y ) )  =  ( ( L `  X )  ./  ( L `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   0cc0 9392    / cdiv 10103   ZZcz 10756   QQcq 11063  numercnumer 13928  denomcdenom 13929   Basecbs 14291  /rcdvr 16896   DivRingcdr 16954   ZRHomczrh 18055  chrcchr 18057  QQHomcqqh 26545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-tpos 6854  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-fz 11554  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-dvds 13653  df-gcd 13808  df-numer 13930  df-denom 13931  df-gz 14108  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-0g 14498  df-mnd 15533  df-mhm 15582  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-sbg 15665  df-mulg 15666  df-subg 15796  df-ghm 15863  df-od 16152  df-cmn 16399  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-cring 16770  df-oppr 16837  df-dvdsr 16855  df-unit 16856  df-invr 16886  df-dvr 16897  df-rnghom 16928  df-drng 16956  df-subrg 16985  df-cnfld 17943  df-zring 18008  df-zrh 18059  df-chr 18061  df-qqh 26546
This theorem is referenced by:  qqhghm  26561  qqhrhm  26562
  Copyright terms: Public domain W3C validator