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Theorem qqhval2lem 28859
Description: Lemma for qqhval2 28860. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqhval2lem  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  (numer `  ( X  /  Y ) ) ) 
./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  X ) 
./  ( L `  Y ) ) )

Proof of Theorem qqhval2lem
StepHypRef Expression
1 drngring 18060 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 qqhval2.2 . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
32zrhrhm 19160 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  R ) )
41, 3syl 17 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  L  e.  (ring RingHom  R
) )
54ad2antrr 740 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  L  e.  (ring RingHom  R ) )
6 simpr1 1036 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  X  e.  ZZ )
7 simpr2 1037 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  e.  ZZ )
86, 7gcdcld 14561 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  e.  NN0 )
98nn0zd 11061 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  e.  ZZ )
10 simpr3 1038 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  =/=  0 )
11 gcdeq0 14564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( ( X  gcd  Y )  =  0  <->  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) ) )
1211simplbda 636 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  ( X  gcd  Y )  =  0 )  ->  Y  =  0 )
1312ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( ( X  gcd  Y )  =  0  ->  Y  =  0 ) )
1413necon3d 2664 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( Y  =/=  0  ->  ( X  gcd  Y
)  =/=  0 ) )
1514imp 436 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  Y  =/=  0
)  ->  ( X  gcd  Y )  =/=  0
)
166, 7, 10, 15syl21anc 1291 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  =/=  0 )
17 gcddvds 14556 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( ( X  gcd  Y )  ||  X  /\  ( X  gcd  Y ) 
||  Y ) )
186, 7, 17syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( X  gcd  Y )  ||  X  /\  ( X  gcd  Y ) 
||  Y ) )
1918simpld 466 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  ||  X )
20 dvdsval2 14385 . . . . 5  |-  ( ( ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
( X  gcd  Y
)  ||  X  <->  ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ ) )
2120biimpa 492 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  gcd  Y )  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  X  e.  ZZ )  /\  ( X  gcd  Y )  ||  X )  ->  ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
229, 16, 6, 19, 21syl31anc 1295 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
2318simprd 470 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  ||  Y )
24 dvdsval2 14385 . . . . 5  |-  ( ( ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( X  gcd  Y
)  ||  Y  <->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ ) )
2524biimpa 492 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  gcd  Y )  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  ( X  gcd  Y )  ||  Y )  ->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
269, 16, 7, 23, 25syl31anc 1295 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
27 zringbas 19122 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
28 qqhval2.0 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
2927, 28rhmf 18032 . . . . . 6  |-  ( L  e.  (ring RingHom  R )  ->  L : ZZ --> B )
305, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  L : ZZ --> B )
3130, 26ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  B )
32 ffn 5739 . . . . . 6  |-  ( L : ZZ --> B  ->  L  Fn  ZZ )
3330, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  L  Fn  ZZ )
347zcnd 11064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  e.  CC )
359zcnd 11064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  e.  CC )
3634, 35, 10, 16divne0d 10421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =/=  0 )
37 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  _V
3837elsnc 3984 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  { 0 }  <-> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =  0 )
3938necon3bbii 2690 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  { 0 }  <-> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =/=  0 )
4036, 39sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  { 0 } )
411ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  R  e.  Ring )
42 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
(chr `  R )  =  0 )
43 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4428, 2, 43zrhker 28855 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  =  0  <->  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  { 0 } ) )
4544biimpa 492 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( `' L " { ( 0g
`  R ) } )  =  { 0 } )
4641, 42, 45syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  { 0 } )
4740, 46neleqtrrd 2571 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
48 elpreima 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  (
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <-> 
( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ  /\  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } ) ) )
4948baibd 923 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  { ( 0g `  R ) } ) )
5049biimprd 231 . . . . . . 7  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  { ( 0g `  R ) }  ->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) ) )
5150con3dimp 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  /\  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  -.  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } )
52 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  e. 
_V
5352elsnc 3984 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) }  <->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
5453necon3bbii 2690 . . . . . 6  |-  ( -.  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) }  <->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
5551, 54sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  /\  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
5633, 26, 47, 55syl21anc 1291 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =/=  ( 0g `  R
) )
57 eqid 2471 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
5828, 57, 43drngunit 18058 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  =/=  ( 0g `  R
) ) ) )
5958ad2antrr 740 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  =/=  ( 0g `  R
) ) ) )
6031, 56, 59mpbir2and 936 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )
)
6130, 9ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  B )
62 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( X  gcd  Y )  e. 
_V
6362elsnc 3984 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  gcd  Y )  e.  { 0 }  <-> 
( X  gcd  Y
)  =  0 )
6463necon3bbii 2690 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( X  gcd  Y
)  e.  { 0 }  <->  ( X  gcd  Y )  =/=  0 )
6516, 64sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( X  gcd  Y
)  e.  { 0 } )
6665, 46neleqtrrd 2571 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( X  gcd  Y
)  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
67 elpreima 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  (
( X  gcd  Y
)  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( ( X  gcd  Y )  e.  ZZ  /\  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  e.  {
( 0g `  R
) } ) ) )
6867baibd 923 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  e.  ZZ )  -> 
( ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( L `  ( X  gcd  Y
) )  e.  {
( 0g `  R
) } ) )
6968biimprd 231 . . . . . . 7  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  e.  ZZ )  -> 
( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  { ( 0g `  R ) }  ->  ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) ) )
7069con3dimp 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  -.  ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } )
71 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  e.  _V
7271elsnc 3984 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  { ( 0g
`  R ) }  <-> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  =  ( 0g `  R ) )
7372necon3bbii 2690 . . . . . 6  |-  ( -.  ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  { ( 0g
`  R ) }  <-> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) )
7470, 73sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( L `  ( X  gcd  Y
) )  =/=  ( 0g `  R ) )
7533, 9, 66, 74syl21anc 1291 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) )
7628, 57, 43drngunit 18058 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) ) ) )
7776ad2antrr 740 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) ) ) )
7861, 75, 77mpbir2and 936 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R
) )
79 qqhval2.1 . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
80 zringmulr 19125 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` ring )
8157, 27, 79, 80rhmdvd 28658 . . 3  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  R )  /\  ( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  e.  ZZ )  /\  (
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )  /\  ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R
) ) )  -> 
( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) ) ) )
825, 22, 26, 9, 60, 78, 81syl132anc 1310 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) ) ) )
83 divnumden 14776 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( X  /  Y ) )  =  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  /\  (denom `  ( X  /  Y
) )  =  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
846, 83sylan 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( X  /  Y ) )  =  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  /\  (denom `  ( X  /  Y
) )  =  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
8584simpld 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  (numer `  ( X  /  Y ) )  =  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )
8685eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  =  (numer `  ( X  /  Y ) ) )
8786fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  (numer `  ( X  /  Y
) ) ) )
8884simprd 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  (denom `  ( X  /  Y ) )  =  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )
8988eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =  (denom `  ( X  /  Y ) ) )
9089fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  (denom `  ( X  /  Y
) ) ) )
9187, 90oveq12d 6326 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (numer `  ( X  /  Y
) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y
) ) ) ) )
9222adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ )
9392zcnd 11064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  CC )
9493mulm1d 10091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )
95 neg1cn 10735 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
9695a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u 1  e.  CC )
9796, 93mulcomd 9682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
9894, 97eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  =  ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
9998fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) )
10026adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ )
101100zcnd 11064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  CC )
102101mulm1d 10091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )
10396, 101mulcomd 9682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
104102, 103eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  =  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
105104fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `
 ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) )
10699, 105oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 -u ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) ) )
1076adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  X  e.  ZZ )
1087adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  Y  e.  ZZ )
109 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u Y  e.  NN )
110 divnumden2 28456 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  -u Y  e.  NN )  ->  (
(numer `  ( X  /  Y ) )  = 
-u ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  /\  (denom `  ( X  /  Y
) )  =  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
111107, 108, 109, 110syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( X  /  Y
) )  =  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  /\  (denom `  ( X  /  Y ) )  =  -u ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) ) )
112111simpld 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  (numer `  ( X  /  Y ) )  =  -u ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )
113112fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  (numer `  ( X  /  Y ) ) )  =  ( L `  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
114111simprd 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  (denom `  ( X  /  Y ) )  =  -u ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )
115114fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) )  =  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
116113, 115oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 (numer `  ( X  /  Y ) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) ) )
1175adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  L  e.  (ring RingHom  R
) )
118 1zzd 10992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
119118znegcld 11065 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u 1  e.  ZZ )
12060adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R ) )
121 neg1z 10997 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
122 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
123122absnegi 13539 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
124 abs1 13437 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
125123, 124eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
126 zringunit 19139 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  (Unit ` ring )  <->  (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( abs `  -u 1
)  =  1 ) )
127121, 125, 126mpbir2an 934 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  (Unit ` ring )
128127a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u 1  e.  (Unit ` ring ) )
129 elrhmunit 28657 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  R )  /\  -u 1  e.  (Unit ` ring )
)  ->  ( L `  -u 1 )  e.  (Unit `  R )
)
130117, 128, 129syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  -u 1 )  e.  (Unit `  R ) )
13157, 27, 79, 80rhmdvd 28658 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  R )  /\  ( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  /\  (
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )  /\  ( L `  -u 1
)  e.  (Unit `  R ) ) )  ->  ( ( L `
 ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) ) )
132117, 92, 100, 119, 120, 130, 131syl132anc 1310 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) ) )
133106, 116, 1323eqtr4rd 2516 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 (numer `  ( X  /  Y ) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) ) )
134 simp3 1032 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  Y  =/=  0 )
135134neneqd 2648 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  -.  Y  =  0 )
136 simp2 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  Y  e.  ZZ )
137 elz 10963 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ZZ  <->  ( Y  e.  RR  /\  ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
138136, 137sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  e.  RR  /\  ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
139138simprd 470 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )
140 3orass 1010 . . . . . 6  |-  ( ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN )  <-> 
( Y  =  0  \/  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
141139, 140sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  =  0  \/  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
142 orel1 389 . . . . 5  |-  ( -.  Y  =  0  -> 
( ( Y  =  0  \/  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )  -> 
( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
143135, 141, 142sylc 61 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )
144143adantl 473 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )
14591, 133, 144mpjaodan 803 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (numer `  ( X  /  Y
) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y
) ) ) ) )
1466zcnd 11064 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  X  e.  CC )
147146, 35, 16divcan1d 10406 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) )  =  X )
148147fveq2d 5883 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  (
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  X
) )
14934, 35, 16divcan1d 10406 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) )  =  Y )
150149fveq2d 5883 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  (
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  Y
) )
151148, 150oveq12d 6326 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  X
)  ./  ( L `  Y ) ) )
15282, 145, 1513eqtr3d 2513 1  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  (numer `  ( X  /  Y ) ) ) 
./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  X ) 
./  ( L `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {csn 3959   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   abscabs 13374    || cdvds 14382    gcd cgcd 14547  numercnumer 14761  denomcdenom 14762   Basecbs 15199   0gc0g 15416   Ringcrg 17858  Unitcui 17945  /rcdvr 17988   RingHom crh 18018   DivRingcdr 18053  ℤringzring 19116   ZRHomczrh 19148  chrcchr 19150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-numer 14763  df-denom 14764  df-gz 14953  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-od 17250  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-chr 19154
This theorem is referenced by:  qqhval2  28860  qqhvq  28865
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