Theorem qqhval2lem 27787

Description: Lemma for qqhval2 27788 (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	|- B = ( Base ` R )
qqhval2.1	|- ./ = (/r ` R )
qqhval2.2	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
qqhval2lem	|- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )

Proof of Theorem qqhval2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngrng 17274	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
2		qqhval2.2	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` R )
3	2	zrhrhm 18418	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> L e. (ℤring RingHom R ) )
4	1, 3	syl 16	. . . 4 |- ( R e. DivRing -> L e. (ℤring RingHom R ) )
5	4	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L e. (ℤring RingHom R ) )
6		simpr1 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> X e. ZZ )
7		simpr2 1003	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y e. ZZ )
8	6, 7	gcdcld 14032	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. NN0 )
9	8	nn0zd 10976	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. ZZ )
10		simpr3 1004	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y =/= 0 )
11		gcdeq0 14035	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) = 0 <-> ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) )
12	11	simplbda 624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) = 0 ) -> Y = 0 )
13	12	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) = 0 -> Y = 0 ) )
14	13	necon3d 2691	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( Y =/= 0 -> ( X gcd Y ) =/= 0 ) )
15	14	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ Y =/= 0 ) -> ( X gcd Y ) =/= 0 )
16	6, 7, 10, 15	syl21anc 1227	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) =/= 0 )
17		gcddvds 14029	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || X /\ ( X gcd Y ) || Y ) )
18	6, 7, 17	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( X gcd Y ) || X /\ ( X gcd Y ) || Y ) )
19	18	simpld 459	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) || X )
20		dvdsval2 13867	. . . . 5 |- ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ X e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || X <-> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) )
21	20	biimpa 484	. . . 4 |- ( ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ X e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) || X ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
22	9, 16, 6, 19, 21	syl31anc 1231	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
23	18	simprd 463	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) || Y )
24		dvdsval2 13867	. . . . 5 |- ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || Y <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) )
25	24	biimpa 484	. . . 4 |- ( ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ Y e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) || Y ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
26	9, 16, 7, 23, 25	syl31anc 1231	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
27		zringbas 18364	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
28		qqhval2.0	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
29	27, 28	rhmf 17247	. . . . . 6 |- ( L e. (ℤring RingHom R ) -> L : ZZ --> B )
30	5, 29	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L : ZZ --> B )
31	30, 26	ffvelrnd 6033	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B )
32		ffn 5737	. . . . . 6 |- ( L : ZZ --> B -> L Fn ZZ )
33	30, 32	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L Fn ZZ )
34	7	zcnd 10979	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y e. CC )
35	9	zcnd 10979	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. CC )
36	34, 35, 10, 16	divne0d 10348	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) =/= 0 )
37		ovex 6320	. . . . . . . . 9 |- ( Y / ( X gcd Y ) ) e. _V
38	37	elsnc 4057	. . . . . . . 8 |- ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) = 0 )
39	38	necon3bbii 2728	. . . . . . 7 |- ( -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) =/= 0 )
40	36, 39	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } )
41	1	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> R e. Ring )
42		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> (chr ` R ) = 0 )
43		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
44	28, 2, 43	zrhker 27783	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( (chr ` R ) = 0 <-> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } ) )
45	44	biimpa 484	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
46	41, 42, 45	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
47	40, 46	neleqtrrd 2580	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
48		elpreima 6008	. . . . . . . . 9 |- ( L Fn ZZ -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
49	48	baibd 907	. . . . . . . 8 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
50	49	biimprd 223	. . . . . . 7 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
51	50	con3dimp 441	. . . . . 6 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) /\ -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
52		fvex 5882	. . . . . . . 8 |- ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. _V
53	52	elsnc 4057	. . . . . . 7 |- ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( 0g ` R ) )
54	53	necon3bbii 2728	. . . . . 6 |- ( -. ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
55	51, 54	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) /\ -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
56	33, 26, 47, 55	syl21anc 1227	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
57		eqid 2467	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
58	28, 57, 43	drngunit 17272	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
59	58	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
60	31, 56, 59	mpbir2and 920	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) )
61	30, 9	ffvelrnd 6033	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B )
62		ovex 6320	. . . . . . . . 9 |- ( X gcd Y ) e. _V
63	62	elsnc 4057	. . . . . . . 8 |- ( ( X gcd Y ) e. { 0 } <-> ( X gcd Y ) = 0 )
64	63	necon3bbii 2728	. . . . . . 7 |- ( -. ( X gcd Y ) e. { 0 } <-> ( X gcd Y ) =/= 0 )
65	16, 64	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( X gcd Y ) e. { 0 } )
66	65, 46	neleqtrrd 2580	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
67		elpreima 6008	. . . . . . . . 9 |- ( L Fn ZZ -> ( ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
68	67	baibd 907	. . . . . . . 8 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
69	68	biimprd 223	. . . . . . 7 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
70	69	con3dimp 441	. . . . . 6 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
71		fvex 5882	. . . . . . . 8 |- ( L ` ( X gcd Y ) ) e. _V
72	71	elsnc 4057	. . . . . . 7 |- ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) = ( 0g ` R ) )
73	72	necon3bbii 2728	. . . . . 6 |- ( -. ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
74	70, 73	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
75	33, 9, 66, 74	syl21anc 1227	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
76	28, 57, 43	drngunit 17272	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
77	76	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
78	61, 75, 77	mpbir2and 920	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) )
79		qqhval2.1	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
80		zringmulr 18367	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℤring )
81	57, 27, 79, 80	rhmdvd 27636	. . 3 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ ( ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) )
82	5, 22, 26, 9, 60, 78, 81	syl132anc 1246	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) )
83		divnumden 14157	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
84	6, 83	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
85	84	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) )
86	85	eqcomd 2475	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) = (numer ` ( X / Y ) ) )
87	86	fveq2d 5876	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) )
88	84	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) )
89	88	eqcomd 2475	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) = (denom ` ( X / Y ) ) )
90	89	fveq2d 5876	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) )
91	87, 90	oveq12d 6313	. . 3 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
92	22	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
93	92	zcnd 10979	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. CC )
94	93	mulm1d 10020	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( X / ( X gcd Y ) ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) )
95		neg1cn 10651	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. CC
96	95	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. CC )
97	96, 93	mulcomd 9629	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
98	94, 97	eqtr3d 2510	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u ( X / ( X gcd Y ) ) = ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
99	98	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) )
100	26	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
101	100	zcnd 10979	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. CC )
102	101	mulm1d 10020	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) )
103	96, 101	mulcomd 9629	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
104	102, 103	eqtr3d 2510	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u ( Y / ( X gcd Y ) ) = ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
105	104	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) )
106	99, 105	oveq12d 6313	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
107	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> X e. ZZ )
108	7	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> Y e. ZZ )
109		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u Y e. NN )
110		divnumden2 27432	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ -u Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
111	107, 108, 109, 110	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
112	111	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) )
113	112	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) = ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) )
114	111	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) )
115	114	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) = ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
116	113, 115	oveq12d 6313	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) )
117	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> L e. (ℤring RingHom R ) )
118		1z 10906	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
119	118	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> 1 e. ZZ )
120	119	znegcld 10980	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. ZZ )
121	60	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) )
122		neg1z 10911	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
123		ax-1cn 9562	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
124	123	absnegi 13212	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
125		abs1 13110	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` 1 ) = 1
126	124, 125	eqtri 2496	. . . . . . . 8 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
127		zringunit 18389	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 e. (Unit ` ℤring ) <-> ( -u 1 e. ZZ /\ ( abs ` -u 1 ) = 1 ) )
128	122, 126, 127	mpbir2an 918	. . . . . . 7 |- -u 1 e. (Unit ` ℤring )
129	128	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. (Unit ` ℤring ) )
130		elrhmunit 27635	. . . . . 6 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ -u 1 e. (Unit ` ℤring ) ) -> ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) )
131	117, 129, 130	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) )
132	57, 27, 79, 80	rhmdvd 27636	. . . . 5 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ ( ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) /\ ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
133	117, 92, 100, 120, 121, 131, 132	syl132anc 1246	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
134	106, 116, 133	3eqtr4rd 2519	. . 3 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
135		simp3 998	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> Y =/= 0 )
136	135	neneqd 2669	. . . . 5 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> -. Y = 0 )
137		simp2 997	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> Y e. ZZ )
138		elz 10878	. . . . . . . 8 |- ( Y e. ZZ <-> ( Y e. RR /\ ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
139	137, 138	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y e. RR /\ ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
140	139	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
141		3orass 976	. . . . . 6 |- ( ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) <-> ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
142	140, 141	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
143		orel1 382	. . . . 5 |- ( -. Y = 0 -> ( ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
144	136, 142, 143	sylc 60	. . . 4 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
145	144	adantl 466	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
146	91, 134, 145	mpjaodan 784	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
147	6	zcnd 10979	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> X e. CC )
148	147, 35, 16	divcan1d 10333	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) = X )
149	148	fveq2d 5876	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` X ) )
150	34, 35, 16	divcan1d 10333	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) = Y )
151	150	fveq2d 5876	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` Y ) )
152	149, 151	oveq12d 6313	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )
153	82, 146, 152	3eqtr3d 2516	1 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 972   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   {csn 4033   class class class wbr 4453   `'ccnv 5004   "cima 5008   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   x. cmul 9509   -ucneg 9818   / cdiv 10218   NNcn 10548   ZZcz 10876   abscabs 13047   || cdivides 13864   gcd cgcd 14020  numercnumer 14142  denomcdenom 14143   Basecbs 14507   0gc0g 14712   Ringcrg 17070  Unitcui 17160  /_rcdvr 17203   RingHom crh 17233   DivRingcdr 17267  ℤ_ringzring 18358   ZRHomczrh 18406  chrcchr 18408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-numer 14144  df-denom 14145  df-gz 14324  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-od 16426  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-rnghom 17236  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zrh 18410  df-chr 18412

This theorem is referenced by:  qqhval2  27788  qqhvq  27793