Theorem qqhval2lem 28859

Description: Lemma for qqhval2 28860. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	|- B = ( Base ` R )
qqhval2.1	|- ./ = (/r ` R )
qqhval2.2	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
qqhval2lem	|- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )

Proof of Theorem qqhval2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 18060	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
2		qqhval2.2	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` R )
3	2	zrhrhm 19160	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> L e. (ℤring RingHom R ) )
4	1, 3	syl 17	. . . 4 |- ( R e. DivRing -> L e. (ℤring RingHom R ) )
5	4	ad2antrr 740	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L e. (ℤring RingHom R ) )
6		simpr1 1036	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> X e. ZZ )
7		simpr2 1037	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y e. ZZ )
8	6, 7	gcdcld 14561	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. NN0 )
9	8	nn0zd 11061	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. ZZ )
10		simpr3 1038	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y =/= 0 )
11		gcdeq0 14564	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) = 0 <-> ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) )
12	11	simplbda 636	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) = 0 ) -> Y = 0 )
13	12	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) = 0 -> Y = 0 ) )
14	13	necon3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( Y =/= 0 -> ( X gcd Y ) =/= 0 ) )
15	14	imp 436	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ Y =/= 0 ) -> ( X gcd Y ) =/= 0 )
16	6, 7, 10, 15	syl21anc 1291	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) =/= 0 )
17		gcddvds 14556	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || X /\ ( X gcd Y ) || Y ) )
18	6, 7, 17	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( X gcd Y ) || X /\ ( X gcd Y ) || Y ) )
19	18	simpld 466	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) || X )
20		dvdsval2 14385	. . . . 5 |- ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ X e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || X <-> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) )
21	20	biimpa 492	. . . 4 |- ( ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ X e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) || X ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
22	9, 16, 6, 19, 21	syl31anc 1295	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
23	18	simprd 470	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) || Y )
24		dvdsval2 14385	. . . . 5 |- ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || Y <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) )
25	24	biimpa 492	. . . 4 |- ( ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ Y e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) || Y ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
26	9, 16, 7, 23, 25	syl31anc 1295	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
27		zringbas 19122	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
28		qqhval2.0	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
29	27, 28	rhmf 18032	. . . . . 6 |- ( L e. (ℤring RingHom R ) -> L : ZZ --> B )
30	5, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L : ZZ --> B )
31	30, 26	ffvelrnd 6038	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B )
32		ffn 5739	. . . . . 6 |- ( L : ZZ --> B -> L Fn ZZ )
33	30, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L Fn ZZ )
34	7	zcnd 11064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y e. CC )
35	9	zcnd 11064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. CC )
36	34, 35, 10, 16	divne0d 10421	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) =/= 0 )
37		ovex 6336	. . . . . . . . 9 |- ( Y / ( X gcd Y ) ) e. _V
38	37	elsnc 3984	. . . . . . . 8 |- ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) = 0 )
39	38	necon3bbii 2690	. . . . . . 7 |- ( -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) =/= 0 )
40	36, 39	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } )
41	1	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> R e. Ring )
42		simplr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> (chr ` R ) = 0 )
43		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
44	28, 2, 43	zrhker 28855	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( (chr ` R ) = 0 <-> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } ) )
45	44	biimpa 492	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
46	41, 42, 45	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
47	40, 46	neleqtrrd 2571	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
48		elpreima 6017	. . . . . . . . 9 |- ( L Fn ZZ -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
49	48	baibd 923	. . . . . . . 8 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
50	49	biimprd 231	. . . . . . 7 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
51	50	con3dimp 448	. . . . . 6 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) /\ -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
52		fvex 5889	. . . . . . . 8 |- ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. _V
53	52	elsnc 3984	. . . . . . 7 |- ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( 0g ` R ) )
54	53	necon3bbii 2690	. . . . . 6 |- ( -. ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
55	51, 54	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) /\ -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
56	33, 26, 47, 55	syl21anc 1291	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
57		eqid 2471	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
58	28, 57, 43	drngunit 18058	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
59	58	ad2antrr 740	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
60	31, 56, 59	mpbir2and 936	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) )
61	30, 9	ffvelrnd 6038	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B )
62		ovex 6336	. . . . . . . . 9 |- ( X gcd Y ) e. _V
63	62	elsnc 3984	. . . . . . . 8 |- ( ( X gcd Y ) e. { 0 } <-> ( X gcd Y ) = 0 )
64	63	necon3bbii 2690	. . . . . . 7 |- ( -. ( X gcd Y ) e. { 0 } <-> ( X gcd Y ) =/= 0 )
65	16, 64	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( X gcd Y ) e. { 0 } )
66	65, 46	neleqtrrd 2571	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
67		elpreima 6017	. . . . . . . . 9 |- ( L Fn ZZ -> ( ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
68	67	baibd 923	. . . . . . . 8 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
69	68	biimprd 231	. . . . . . 7 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
70	69	con3dimp 448	. . . . . 6 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
71		fvex 5889	. . . . . . . 8 |- ( L ` ( X gcd Y ) ) e. _V
72	71	elsnc 3984	. . . . . . 7 |- ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) = ( 0g ` R ) )
73	72	necon3bbii 2690	. . . . . 6 |- ( -. ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
74	70, 73	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
75	33, 9, 66, 74	syl21anc 1291	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
76	28, 57, 43	drngunit 18058	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
77	76	ad2antrr 740	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
78	61, 75, 77	mpbir2and 936	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) )
79		qqhval2.1	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
80		zringmulr 19125	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℤring )
81	57, 27, 79, 80	rhmdvd 28658	. . 3 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ ( ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) )
82	5, 22, 26, 9, 60, 78, 81	syl132anc 1310	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) )
83		divnumden 14776	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
84	6, 83	sylan 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
85	84	simpld 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) )
86	85	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) = (numer ` ( X / Y ) ) )
87	86	fveq2d 5883	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) )
88	84	simprd 470	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) )
89	88	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) = (denom ` ( X / Y ) ) )
90	89	fveq2d 5883	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) )
91	87, 90	oveq12d 6326	. . 3 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
92	22	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
93	92	zcnd 11064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. CC )
94	93	mulm1d 10091	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( X / ( X gcd Y ) ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) )
95		neg1cn 10735	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. CC
96	95	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. CC )
97	96, 93	mulcomd 9682	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
98	94, 97	eqtr3d 2507	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u ( X / ( X gcd Y ) ) = ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
99	98	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) )
100	26	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
101	100	zcnd 11064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. CC )
102	101	mulm1d 10091	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) )
103	96, 101	mulcomd 9682	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
104	102, 103	eqtr3d 2507	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u ( Y / ( X gcd Y ) ) = ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
105	104	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) )
106	99, 105	oveq12d 6326	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
107	6	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> X e. ZZ )
108	7	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> Y e. ZZ )
109		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u Y e. NN )
110		divnumden2 28456	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ -u Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
111	107, 108, 109, 110	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
112	111	simpld 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) )
113	112	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) = ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) )
114	111	simprd 470	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) )
115	114	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) = ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
116	113, 115	oveq12d 6326	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) )
117	5	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> L e. (ℤring RingHom R ) )
118		1zzd 10992	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> 1 e. ZZ )
119	118	znegcld 11065	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. ZZ )
120	60	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) )
121		neg1z 10997	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
122		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
123	122	absnegi 13539	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
124		abs1 13437	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` 1 ) = 1
125	123, 124	eqtri 2493	. . . . . . . 8 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
126		zringunit 19139	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 e. (Unit ` ℤring ) <-> ( -u 1 e. ZZ /\ ( abs ` -u 1 ) = 1 ) )
127	121, 125, 126	mpbir2an 934	. . . . . . 7 |- -u 1 e. (Unit ` ℤring )
128	127	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. (Unit ` ℤring ) )
129		elrhmunit 28657	. . . . . 6 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ -u 1 e. (Unit ` ℤring ) ) -> ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) )
130	117, 128, 129	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) )
131	57, 27, 79, 80	rhmdvd 28658	. . . . 5 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ ( ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) /\ ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
132	117, 92, 100, 119, 120, 130, 131	syl132anc 1310	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
133	106, 116, 132	3eqtr4rd 2516	. . 3 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
134		simp3 1032	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> Y =/= 0 )
135	134	neneqd 2648	. . . . 5 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> -. Y = 0 )
136		simp2 1031	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> Y e. ZZ )
137		elz 10963	. . . . . . . 8 |- ( Y e. ZZ <-> ( Y e. RR /\ ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
138	136, 137	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y e. RR /\ ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
139	138	simprd 470	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
140		3orass 1010	. . . . . 6 |- ( ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) <-> ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
141	139, 140	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
142		orel1 389	. . . . 5 |- ( -. Y = 0 -> ( ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
143	135, 141, 142	sylc 61	. . . 4 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
144	143	adantl 473	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
145	91, 133, 144	mpjaodan 803	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
146	6	zcnd 11064	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> X e. CC )
147	146, 35, 16	divcan1d 10406	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) = X )
148	147	fveq2d 5883	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` X ) )
149	34, 35, 16	divcan1d 10406	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) = Y )
150	149	fveq2d 5883	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` Y ) )
151	148, 150	oveq12d 6326	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )
152	82, 145, 151	3eqtr3d 2513	1 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   \/ w3o 1006   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   {csn 3959   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   "cima 4842   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   -ucneg 9881   / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   abscabs 13374   || cdvds 14382   gcd cgcd 14547  numercnumer 14761  denomcdenom 14762   Basecbs 15199   0gc0g 15416   Ringcrg 17858  Unitcui 17945  /_rcdvr 17988   RingHom crh 18018   DivRingcdr 18053  ℤ_ringzring 19116   ZRHomczrh 19148  chrcchr 19150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-numer 14763  df-denom 14764  df-gz 14953  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-od 17250  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-chr 19154

This theorem is referenced by:  qqhval2  28860  qqhvq  28865