Theorem qqhval2lem 28123

Description: Lemma for qqhval2 28124 (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	|- B = ( Base ` R )
qqhval2.1	|- ./ = (/r ` R )
qqhval2.2	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
qqhval2lem	|- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )

Proof of Theorem qqhval2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 17530	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
2		qqhval2.2	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` R )
3	2	zrhrhm 18676	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> L e. (ℤring RingHom R ) )
4	1, 3	syl 16	. . . 4 |- ( R e. DivRing -> L e. (ℤring RingHom R ) )
5	4	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L e. (ℤring RingHom R ) )
6		simpr1 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> X e. ZZ )
7		simpr2 1003	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y e. ZZ )
8	6, 7	gcdcld 14168	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. NN0 )
9	8	nn0zd 10988	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. ZZ )
10		simpr3 1004	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y =/= 0 )
11		gcdeq0 14171	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) = 0 <-> ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) )
12	11	simplbda 624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) = 0 ) -> Y = 0 )
13	12	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) = 0 -> Y = 0 ) )
14	13	necon3d 2681	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( Y =/= 0 -> ( X gcd Y ) =/= 0 ) )
15	14	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ Y =/= 0 ) -> ( X gcd Y ) =/= 0 )
16	6, 7, 10, 15	syl21anc 1227	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) =/= 0 )
17		gcddvds 14165	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || X /\ ( X gcd Y ) || Y ) )
18	6, 7, 17	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( X gcd Y ) || X /\ ( X gcd Y ) || Y ) )
19	18	simpld 459	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) || X )
20		dvdsval2 14001	. . . . 5 |- ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ X e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || X <-> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) )
21	20	biimpa 484	. . . 4 |- ( ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ X e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) || X ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
22	9, 16, 6, 19, 21	syl31anc 1231	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
23	18	simprd 463	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) || Y )
24		dvdsval2 14001	. . . . 5 |- ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || Y <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) )
25	24	biimpa 484	. . . 4 |- ( ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ Y e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) || Y ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
26	9, 16, 7, 23, 25	syl31anc 1231	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
27		zringbas 18621	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
28		qqhval2.0	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
29	27, 28	rhmf 17502	. . . . . 6 |- ( L e. (ℤring RingHom R ) -> L : ZZ --> B )
30	5, 29	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L : ZZ --> B )
31	30, 26	ffvelrnd 6033	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B )
32		ffn 5737	. . . . . 6 |- ( L : ZZ --> B -> L Fn ZZ )
33	30, 32	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L Fn ZZ )
34	7	zcnd 10991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y e. CC )
35	9	zcnd 10991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. CC )
36	34, 35, 10, 16	divne0d 10357	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) =/= 0 )
37		ovex 6324	. . . . . . . . 9 |- ( Y / ( X gcd Y ) ) e. _V
38	37	elsnc 4056	. . . . . . . 8 |- ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) = 0 )
39	38	necon3bbii 2718	. . . . . . 7 |- ( -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) =/= 0 )
40	36, 39	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } )
41	1	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> R e. Ring )
42		simplr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> (chr ` R ) = 0 )
43		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
44	28, 2, 43	zrhker 28119	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( (chr ` R ) = 0 <-> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } ) )
45	44	biimpa 484	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
46	41, 42, 45	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
47	40, 46	neleqtrrd 2570	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
48		elpreima 6008	. . . . . . . . 9 |- ( L Fn ZZ -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
49	48	baibd 909	. . . . . . . 8 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
50	49	biimprd 223	. . . . . . 7 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
51	50	con3dimp 441	. . . . . 6 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) /\ -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
52		fvex 5882	. . . . . . . 8 |- ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. _V
53	52	elsnc 4056	. . . . . . 7 |- ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( 0g ` R ) )
54	53	necon3bbii 2718	. . . . . 6 |- ( -. ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
55	51, 54	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) /\ -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
56	33, 26, 47, 55	syl21anc 1227	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
57		eqid 2457	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
58	28, 57, 43	drngunit 17528	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
59	58	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
60	31, 56, 59	mpbir2and 922	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) )
61	30, 9	ffvelrnd 6033	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B )
62		ovex 6324	. . . . . . . . 9 |- ( X gcd Y ) e. _V
63	62	elsnc 4056	. . . . . . . 8 |- ( ( X gcd Y ) e. { 0 } <-> ( X gcd Y ) = 0 )
64	63	necon3bbii 2718	. . . . . . 7 |- ( -. ( X gcd Y ) e. { 0 } <-> ( X gcd Y ) =/= 0 )
65	16, 64	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( X gcd Y ) e. { 0 } )
66	65, 46	neleqtrrd 2570	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
67		elpreima 6008	. . . . . . . . 9 |- ( L Fn ZZ -> ( ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
68	67	baibd 909	. . . . . . . 8 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
69	68	biimprd 223	. . . . . . 7 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
70	69	con3dimp 441	. . . . . 6 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
71		fvex 5882	. . . . . . . 8 |- ( L ` ( X gcd Y ) ) e. _V
72	71	elsnc 4056	. . . . . . 7 |- ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) = ( 0g ` R ) )
73	72	necon3bbii 2718	. . . . . 6 |- ( -. ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
74	70, 73	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
75	33, 9, 66, 74	syl21anc 1227	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
76	28, 57, 43	drngunit 17528	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
77	76	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
78	61, 75, 77	mpbir2and 922	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) )
79		qqhval2.1	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
80		zringmulr 18624	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℤring )
81	57, 27, 79, 80	rhmdvd 27972	. . 3 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ ( ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) )
82	5, 22, 26, 9, 60, 78, 81	syl132anc 1246	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) )
83		divnumden 14293	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
84	6, 83	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
85	84	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) )
86	85	eqcomd 2465	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) = (numer ` ( X / Y ) ) )
87	86	fveq2d 5876	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) )
88	84	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) )
89	88	eqcomd 2465	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) = (denom ` ( X / Y ) ) )
90	89	fveq2d 5876	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) )
91	87, 90	oveq12d 6314	. . 3 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
92	22	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
93	92	zcnd 10991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. CC )
94	93	mulm1d 10029	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( X / ( X gcd Y ) ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) )
95		neg1cn 10660	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. CC
96	95	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. CC )
97	96, 93	mulcomd 9634	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
98	94, 97	eqtr3d 2500	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u ( X / ( X gcd Y ) ) = ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
99	98	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) )
100	26	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
101	100	zcnd 10991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. CC )
102	101	mulm1d 10029	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) )
103	96, 101	mulcomd 9634	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
104	102, 103	eqtr3d 2500	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u ( Y / ( X gcd Y ) ) = ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
105	104	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) )
106	99, 105	oveq12d 6314	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
107	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> X e. ZZ )
108	7	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> Y e. ZZ )
109		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u Y e. NN )
110		divnumden2 27769	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ -u Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
111	107, 108, 109, 110	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
112	111	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) )
113	112	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) = ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) )
114	111	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) )
115	114	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) = ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
116	113, 115	oveq12d 6314	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) )
117	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> L e. (ℤring RingHom R ) )
118		1zzd 10916	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> 1 e. ZZ )
119	118	znegcld 10992	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. ZZ )
120	60	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) )
121		neg1z 10921	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
122		ax-1cn 9567	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
123	122	absnegi 13244	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
124		abs1 13142	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` 1 ) = 1
125	123, 124	eqtri 2486	. . . . . . . 8 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
126		zringunit 18647	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 e. (Unit ` ℤring ) <-> ( -u 1 e. ZZ /\ ( abs ` -u 1 ) = 1 ) )
127	121, 125, 126	mpbir2an 920	. . . . . . 7 |- -u 1 e. (Unit ` ℤring )
128	127	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. (Unit ` ℤring ) )
129		elrhmunit 27971	. . . . . 6 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ -u 1 e. (Unit ` ℤring ) ) -> ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) )
130	117, 128, 129	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) )
131	57, 27, 79, 80	rhmdvd 27972	. . . . 5 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ ( ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) /\ ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
132	117, 92, 100, 119, 120, 130, 131	syl132anc 1246	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
133	106, 116, 132	3eqtr4rd 2509	. . 3 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
134		simp3 998	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> Y =/= 0 )
135	134	neneqd 2659	. . . . 5 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> -. Y = 0 )
136		simp2 997	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> Y e. ZZ )
137		elz 10887	. . . . . . . 8 |- ( Y e. ZZ <-> ( Y e. RR /\ ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
138	136, 137	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y e. RR /\ ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
139	138	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
140		3orass 976	. . . . . 6 |- ( ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) <-> ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
141	139, 140	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
142		orel1 382	. . . . 5 |- ( -. Y = 0 -> ( ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
143	135, 141, 142	sylc 60	. . . 4 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
144	143	adantl 466	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
145	91, 133, 144	mpjaodan 786	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
146	6	zcnd 10991	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> X e. CC )
147	146, 35, 16	divcan1d 10342	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) = X )
148	147	fveq2d 5876	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` X ) )
149	34, 35, 16	divcan1d 10342	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) = Y )
150	149	fveq2d 5876	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` Y ) )
151	148, 150	oveq12d 6314	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )
152	82, 145, 151	3eqtr3d 2506	1 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 972   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   {csn 4032   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   "cima 5011   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   -ucneg 9825   / cdiv 10227   NNcn 10556   ZZcz 10885   abscabs 13079   || cdvds 13998   gcd cgcd 14156  numercnumer 14278  denomcdenom 14279   Basecbs 14644   0gc0g 14857   Ringcrg 17325  Unitcui 17415  /_rcdvr 17458   RingHom crh 17488   DivRingcdr 17523  ℤ_ringzring 18615   ZRHomczrh 18664  chrcchr 18666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-numer 14280  df-denom 14281  df-gz 14460  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-od 16680  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-chr 18670

This theorem is referenced by:  qqhval2  28124  qqhvq  28129