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Theorem qqhval2lem 26264
Description: Lemma for qqhval2 26265 (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqhval2lem  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  (numer `  ( X  /  Y ) ) ) 
./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  X ) 
./  ( L `  Y ) ) )

Proof of Theorem qqhval2lem
StepHypRef Expression
1 drngrng 16763 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 qqhval2.2 . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
32zrhrhm 17785 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  R ) )
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  L  e.  (ring RingHom  R
) )
54ad2antrr 718 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  L  e.  (ring RingHom  R ) )
6 simpr1 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  X  e.  ZZ )
7 simpr2 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  e.  ZZ )
86, 7gcdcld 13685 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  e.  NN0 )
98nn0zd 10733 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  e.  ZZ )
10 simpr3 989 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  =/=  0 )
11 gcdeq0 13688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( ( X  gcd  Y )  =  0  <->  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) ) )
1211simplbda 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  ( X  gcd  Y )  =  0 )  ->  Y  =  0 )
1312ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( ( X  gcd  Y )  =  0  ->  Y  =  0 ) )
1413necon3d 2636 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( Y  =/=  0  ->  ( X  gcd  Y
)  =/=  0 ) )
1514imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  Y  =/=  0
)  ->  ( X  gcd  Y )  =/=  0
)
166, 7, 10, 15syl21anc 1210 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  =/=  0 )
17 gcddvds 13682 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( ( X  gcd  Y )  ||  X  /\  ( X  gcd  Y ) 
||  Y ) )
186, 7, 17syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( X  gcd  Y )  ||  X  /\  ( X  gcd  Y ) 
||  Y ) )
1918simpld 456 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  ||  X )
20 dvdsval2 13521 . . . . 5  |-  ( ( ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
( X  gcd  Y
)  ||  X  <->  ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ ) )
2120biimpa 481 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  gcd  Y )  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  X  e.  ZZ )  /\  ( X  gcd  Y )  ||  X )  ->  ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
229, 16, 6, 19, 21syl31anc 1214 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
2318simprd 460 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  ||  Y )
24 dvdsval2 13521 . . . . 5  |-  ( ( ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( X  gcd  Y
)  ||  Y  <->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ ) )
2524biimpa 481 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  gcd  Y )  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  ( X  gcd  Y )  ||  Y )  ->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
269, 16, 7, 23, 25syl31anc 1214 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
27 zringbas 17731 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
28 qqhval2.0 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
2927, 28rhmf 16748 . . . . . 6  |-  ( L  e.  (ring RingHom  R )  ->  L : ZZ --> B )
305, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  L : ZZ --> B )
3130, 26ffvelrnd 5832 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  B )
32 ffn 5547 . . . . . 6  |-  ( L : ZZ --> B  ->  L  Fn  ZZ )
3330, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  L  Fn  ZZ )
347zcnd 10736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  e.  CC )
359zcnd 10736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  e.  CC )
3634, 35, 10, 16divne0d 10111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =/=  0 )
37 ovex 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  _V
3837elsnc 3889 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  { 0 }  <-> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =  0 )
3938necon3bbii 2629 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  { 0 }  <-> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =/=  0 )
4036, 39sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  { 0 } )
411ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  R  e.  Ring )
42 simplr 747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
(chr `  R )  =  0 )
43 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4428, 2, 43zrhker 26260 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  =  0  <->  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  { 0 } ) )
4544biimpa 481 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( `' L " { ( 0g
`  R ) } )  =  { 0 } )
4641, 42, 45syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  { 0 } )
4740, 46neleqtrrd 2529 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
48 elpreima 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  (
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <-> 
( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ  /\  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } ) ) )
4948baibd 893 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  { ( 0g `  R ) } ) )
5049biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  { ( 0g `  R ) }  ->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) ) )
5150con3and 439 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  /\  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  -.  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } )
52 fvex 5689 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  e. 
_V
5352elsnc 3889 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) }  <->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
5453necon3bbii 2629 . . . . . 6  |-  ( -.  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) }  <->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
5551, 54sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  /\  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
5633, 26, 47, 55syl21anc 1210 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =/=  ( 0g `  R
) )
57 eqid 2433 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
5828, 57, 43drngunit 16761 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  =/=  ( 0g `  R
) ) ) )
5958ad2antrr 718 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  =/=  ( 0g `  R
) ) ) )
6031, 56, 59mpbir2and 906 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )
)
6130, 9ffvelrnd 5832 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  B )
62 ovex 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( X  gcd  Y )  e. 
_V
6362elsnc 3889 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  gcd  Y )  e.  { 0 }  <-> 
( X  gcd  Y
)  =  0 )
6463necon3bbii 2629 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( X  gcd  Y
)  e.  { 0 }  <->  ( X  gcd  Y )  =/=  0 )
6516, 64sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( X  gcd  Y
)  e.  { 0 } )
6665, 46neleqtrrd 2529 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( X  gcd  Y
)  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
67 elpreima 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  (
( X  gcd  Y
)  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( ( X  gcd  Y )  e.  ZZ  /\  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  e.  {
( 0g `  R
) } ) ) )
6867baibd 893 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  e.  ZZ )  -> 
( ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( L `  ( X  gcd  Y
) )  e.  {
( 0g `  R
) } ) )
6968biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  e.  ZZ )  -> 
( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  { ( 0g `  R ) }  ->  ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) ) )
7069con3and 439 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  -.  ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } )
71 fvex 5689 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  e.  _V
7271elsnc 3889 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  { ( 0g
`  R ) }  <-> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  =  ( 0g `  R ) )
7372necon3bbii 2629 . . . . . 6  |-  ( -.  ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  { ( 0g
`  R ) }  <-> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) )
7470, 73sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( L `  ( X  gcd  Y
) )  =/=  ( 0g `  R ) )
7533, 9, 66, 74syl21anc 1210 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) )
7628, 57, 43drngunit 16761 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) ) ) )
7776ad2antrr 718 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) ) ) )
7861, 75, 77mpbir2and 906 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R
) )
79 qqhval2.1 . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
80 zringmulr 17734 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` ring )
8157, 27, 79, 80rhmdvd 26142 . . 3  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  R )  /\  ( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  e.  ZZ )  /\  (
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )  /\  ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R
) ) )  -> 
( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) ) ) )
825, 22, 26, 9, 60, 78, 81syl132anc 1229 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) ) ) )
83 divnumden 13809 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( X  /  Y ) )  =  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  /\  (denom `  ( X  /  Y
) )  =  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
846, 83sylan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( X  /  Y ) )  =  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  /\  (denom `  ( X  /  Y
) )  =  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
8584simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  (numer `  ( X  /  Y ) )  =  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )
8685eqcomd 2438 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  =  (numer `  ( X  /  Y ) ) )
8786fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  (numer `  ( X  /  Y
) ) ) )
8884simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  (denom `  ( X  /  Y ) )  =  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )
8988eqcomd 2438 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =  (denom `  ( X  /  Y ) ) )
9089fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  (denom `  ( X  /  Y
) ) ) )
9187, 90oveq12d 6098 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (numer `  ( X  /  Y
) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y
) ) ) ) )
9222adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ )
9392zcnd 10736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  CC )
9493mulm1d 9784 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )
95 neg1cn 10413 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
9695a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u 1  e.  CC )
9796, 93mulcomd 9395 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
9894, 97eqtr3d 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  =  ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
9998fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) )
10026adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ )
101100zcnd 10736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  CC )
102101mulm1d 9784 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )
10396, 101mulcomd 9395 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
104102, 103eqtr3d 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  =  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
105104fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `
 ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) )
10699, 105oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 -u ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) ) )
1076adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  X  e.  ZZ )
1087adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  Y  e.  ZZ )
109 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u Y  e.  NN )
110 divnumden2 25910 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  -u Y  e.  NN )  ->  (
(numer `  ( X  /  Y ) )  = 
-u ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  /\  (denom `  ( X  /  Y
) )  =  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
111107, 108, 109, 110syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( X  /  Y
) )  =  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  /\  (denom `  ( X  /  Y ) )  =  -u ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) ) )
112111simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  (numer `  ( X  /  Y ) )  =  -u ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )
113112fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  (numer `  ( X  /  Y ) ) )  =  ( L `  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
114111simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  (denom `  ( X  /  Y ) )  =  -u ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )
115114fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) )  =  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
116113, 115oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 (numer `  ( X  /  Y ) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) ) )
1175adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  L  e.  (ring RingHom  R
) )
118 1z 10664 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
119118a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
120119znegcld 10737 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u 1  e.  ZZ )
12160adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R ) )
122 neg1z 10669 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
123 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
124123absnegi 12871 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
125 abs1 12770 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
126124, 125eqtri 2453 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
127 zringunit 17756 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  (Unit ` ring )  <->  (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( abs `  -u 1
)  =  1 ) )
128122, 126, 127mpbir2an 904 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  (Unit ` ring )
129128a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u 1  e.  (Unit ` ring ) )
130 elrhmunit 26141 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  R )  /\  -u 1  e.  (Unit ` ring )
)  ->  ( L `  -u 1 )  e.  (Unit `  R )
)
131117, 129, 130syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  -u 1 )  e.  (Unit `  R ) )
13257, 27, 79, 80rhmdvd 26142 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  R )  /\  ( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  /\  (
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )  /\  ( L `  -u 1
)  e.  (Unit `  R ) ) )  ->  ( ( L `
 ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) ) )
133117, 92, 100, 120, 121, 131, 132syl132anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) ) )
134106, 116, 1333eqtr4rd 2476 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 (numer `  ( X  /  Y ) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) ) )
135 simp3 983 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  Y  =/=  0 )
136135neneqd 2614 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  -.  Y  =  0 )
137 simp2 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  Y  e.  ZZ )
138 elz 10636 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ZZ  <->  ( Y  e.  RR  /\  ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
139137, 138sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  e.  RR  /\  ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
140139simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )
141 3orass 961 . . . . . 6  |-  ( ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN )  <-> 
( Y  =  0  \/  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
142140, 141sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  =  0  \/  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
143 orel1 382 . . . . 5  |-  ( -.  Y  =  0  -> 
( ( Y  =  0  \/  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )  -> 
( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
144136, 142, 143sylc 60 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )
145144adantl 463 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )
14691, 134, 145mpjaodan 777 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (numer `  ( X  /  Y
) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y
) ) ) ) )
1476zcnd 10736 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  X  e.  CC )
148147, 35, 16divcan1d 10096 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) )  =  X )
149148fveq2d 5683 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  (
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  X
) )
15034, 35, 16divcan1d 10096 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) )  =  Y )
151150fveq2d 5683 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  (
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  Y
) )
152149, 151oveq12d 6098 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  X
)  ./  ( L `  Y ) ) )
15382, 146, 1523eqtr3d 2473 1  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  (numer `  ( X  /  Y ) ) ) 
./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  X ) 
./  ( L `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 957    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   {csn 3865   class class class wbr 4280   `'ccnv 4826   "cima 4830    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    x. cmul 9275   -ucneg 9584    / cdiv 9981   NNcn 10310   ZZcz 10634   abscabs 12707    || cdivides 13518    gcd cgcd 13673  numercnumer 13794  denomcdenom 13795   Basecbs 14157   0gc0g 14361   Ringcrg 16577  Unitcui 16665  /rcdvr 16708   RingHom crh 16738   DivRingcdr 16756  ℤringzring 17725   ZRHomczrh 17773  chrcchr 17775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-dvds 13519  df-gcd 13674  df-numer 13796  df-denom 13797  df-gz 13974  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-0g 14363  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-subg 15658  df-ghm 15725  df-od 16012  df-cmn 16259  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-oppr 16649  df-dvdsr 16667  df-unit 16668  df-invr 16698  df-dvr 16709  df-rnghom 16740  df-drng 16758  df-subrg 16787  df-cnfld 17663  df-zring 17726  df-zrh 17777  df-chr 17779
This theorem is referenced by:  qqhval2  26265  qqhvq  26270
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