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Theorem qqhval2lem 28793
Description: Lemma for qqhval2 28794 (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqhval2lem  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  (numer `  ( X  /  Y ) ) ) 
./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  X ) 
./  ( L `  Y ) ) )

Proof of Theorem qqhval2lem
StepHypRef Expression
1 drngring 17981 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 qqhval2.2 . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
32zrhrhm 19081 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  R ) )
41, 3syl 17 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  L  e.  (ring RingHom  R
) )
54ad2antrr 730 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  L  e.  (ring RingHom  R ) )
6 simpr1 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  X  e.  ZZ )
7 simpr2 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  e.  ZZ )
86, 7gcdcld 14481 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  e.  NN0 )
98nn0zd 11045 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  e.  ZZ )
10 simpr3 1013 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  =/=  0 )
11 gcdeq0 14484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( ( X  gcd  Y )  =  0  <->  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) ) )
1211simplbda 628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  ( X  gcd  Y )  =  0 )  ->  Y  =  0 )
1312ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( ( X  gcd  Y )  =  0  ->  Y  =  0 ) )
1413necon3d 2644 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( Y  =/=  0  ->  ( X  gcd  Y
)  =/=  0 ) )
1514imp 430 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  Y  =/=  0
)  ->  ( X  gcd  Y )  =/=  0
)
166, 7, 10, 15syl21anc 1263 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  =/=  0 )
17 gcddvds 14476 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( ( X  gcd  Y )  ||  X  /\  ( X  gcd  Y ) 
||  Y ) )
186, 7, 17syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( X  gcd  Y )  ||  X  /\  ( X  gcd  Y ) 
||  Y ) )
1918simpld 460 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  ||  X )
20 dvdsval2 14307 . . . . 5  |-  ( ( ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
( X  gcd  Y
)  ||  X  <->  ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ ) )
2120biimpa 486 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  gcd  Y )  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  X  e.  ZZ )  /\  ( X  gcd  Y )  ||  X )  ->  ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
229, 16, 6, 19, 21syl31anc 1267 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
2318simprd 464 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  ||  Y )
24 dvdsval2 14307 . . . . 5  |-  ( ( ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( X  gcd  Y
)  ||  Y  <->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ ) )
2524biimpa 486 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  gcd  Y )  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  =/=  0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  ( X  gcd  Y )  ||  Y )  ->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
269, 16, 7, 23, 25syl31anc 1267 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )
27 zringbas 19043 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
28 qqhval2.0 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
2927, 28rhmf 17953 . . . . . 6  |-  ( L  e.  (ring RingHom  R )  ->  L : ZZ --> B )
305, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  L : ZZ --> B )
3130, 26ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  B )
32 ffn 5746 . . . . . 6  |-  ( L : ZZ --> B  ->  L  Fn  ZZ )
3330, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  L  Fn  ZZ )
347zcnd 11048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  Y  e.  CC )
359zcnd 11048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( X  gcd  Y
)  e.  CC )
3634, 35, 10, 16divne0d 10406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =/=  0 )
37 ovex 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  _V
3837elsnc 4022 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  { 0 }  <-> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =  0 )
3938necon3bbii 2681 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  { 0 }  <-> 
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =/=  0 )
4036, 39sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  { 0 } )
411ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  R  e.  Ring )
42 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
(chr `  R )  =  0 )
43 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4428, 2, 43zrhker 28789 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  =  0  <->  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  { 0 } ) )
4544biimpa 486 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( `' L " { ( 0g
`  R ) } )  =  { 0 } )
4641, 42, 45syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  { 0 } )
4740, 46neleqtrrd 2531 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
48 elpreima 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  (
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <-> 
( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ  /\  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } ) ) )
4948baibd 917 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  { ( 0g `  R ) } ) )
5049biimprd 226 . . . . . . 7  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  { ( 0g `  R ) }  ->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) ) )
5150con3dimp 442 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  /\  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  -.  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } )
52 fvex 5891 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  e. 
_V
5352elsnc 4022 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) }  <->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
5453necon3bbii 2681 . . . . . 6  |-  ( -.  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) }  <->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
5551, 54sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ )  /\  -.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
5633, 26, 47, 55syl21anc 1263 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =/=  ( 0g `  R
) )
57 eqid 2422 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
5828, 57, 43drngunit 17979 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  =/=  ( 0g `  R
) ) ) )
5958ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )  =/=  ( 0g `  R
) ) ) )
6031, 56, 59mpbir2and 930 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )
)
6130, 9ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  B )
62 ovex 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( X  gcd  Y )  e. 
_V
6362elsnc 4022 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  gcd  Y )  e.  { 0 }  <-> 
( X  gcd  Y
)  =  0 )
6463necon3bbii 2681 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( X  gcd  Y
)  e.  { 0 }  <->  ( X  gcd  Y )  =/=  0 )
6516, 64sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( X  gcd  Y
)  e.  { 0 } )
6665, 46neleqtrrd 2531 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  -.  ( X  gcd  Y
)  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
67 elpreima 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  (
( X  gcd  Y
)  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( ( X  gcd  Y )  e.  ZZ  /\  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  e.  {
( 0g `  R
) } ) ) )
6867baibd 917 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  e.  ZZ )  -> 
( ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( L `  ( X  gcd  Y
) )  e.  {
( 0g `  R
) } ) )
6968biimprd 226 . . . . . . 7  |-  ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  e.  ZZ )  -> 
( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  { ( 0g `  R ) }  ->  ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) ) )
7069con3dimp 442 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  -.  ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } )
71 fvex 5891 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  e.  _V
7271elsnc 4022 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  { ( 0g
`  R ) }  <-> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  =  ( 0g `  R ) )
7372necon3bbii 2681 . . . . . 6  |-  ( -.  ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  { ( 0g
`  R ) }  <-> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) )
7470, 73sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( L  Fn  ZZ  /\  ( X  gcd  Y
)  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  gcd  Y )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( L `  ( X  gcd  Y
) )  =/=  ( 0g `  R ) )
7533, 9, 66, 74syl21anc 1263 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) )
7628, 57, 43drngunit 17979 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) ) ) )
7776ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  B  /\  ( L `
 ( X  gcd  Y ) )  =/=  ( 0g `  R ) ) ) )
7861, 75, 77mpbir2and 930 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R
) )
79 qqhval2.1 . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
80 zringmulr 19046 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` ring )
8157, 27, 79, 80rhmdvd 28592 . . 3  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  R )  /\  ( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ  /\  ( X  gcd  Y )  e.  ZZ )  /\  (
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )  /\  ( L `  ( X  gcd  Y ) )  e.  (Unit `  R
) ) )  -> 
( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) ) ) )
825, 22, 26, 9, 60, 78, 81syl132anc 1282 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) ) ) )
83 divnumden 14696 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( X  /  Y ) )  =  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  /\  (denom `  ( X  /  Y
) )  =  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
846, 83sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( X  /  Y ) )  =  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  /\  (denom `  ( X  /  Y
) )  =  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
8584simpld 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  (numer `  ( X  /  Y ) )  =  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )
8685eqcomd 2430 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  =  (numer `  ( X  /  Y ) ) )
8786fveq2d 5885 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  (numer `  ( X  /  Y
) ) ) )
8884simprd 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  (denom `  ( X  /  Y ) )  =  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )
8988eqcomd 2430 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  =  (denom `  ( X  /  Y ) ) )
9089fveq2d 5885 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  (denom `  ( X  /  Y
) ) ) )
9187, 90oveq12d 6323 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (numer `  ( X  /  Y
) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y
) ) ) ) )
9222adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ )
9392zcnd 11048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  CC )
9493mulm1d 10077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )
95 neg1cn 10720 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
9695a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u 1  e.  CC )
9796, 93mulcomd 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
9894, 97eqtr3d 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  =  ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
9998fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) )
10026adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ )
101100zcnd 11048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  CC )
102101mulm1d 10077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )
10396, 101mulcomd 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
104102, 103eqtr3d 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  =  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1 ) )
105104fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `
 ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) )
10699, 105oveq12d 6323 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 -u ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) ) )
1076adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  X  e.  ZZ )
1087adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  Y  e.  ZZ )
109 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u Y  e.  NN )
110 divnumden2 28388 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  -u Y  e.  NN )  ->  (
(numer `  ( X  /  Y ) )  = 
-u ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  /\  (denom `  ( X  /  Y
) )  =  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
111107, 108, 109, 110syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( X  /  Y
) )  =  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  /\  (denom `  ( X  /  Y ) )  =  -u ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) ) )
112111simpld 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  (numer `  ( X  /  Y ) )  =  -u ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )
113112fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  (numer `  ( X  /  Y ) ) )  =  ( L `  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
114111simprd 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  (denom `  ( X  /  Y ) )  =  -u ( Y  / 
( X  gcd  Y
) ) )
115114fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) )  =  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )
116113, 115oveq12d 6323 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 (numer `  ( X  /  Y ) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  -u ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  -u ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) ) )
1175adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  L  e.  (ring RingHom  R
) )
118 1zzd 10975 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
119118znegcld 11049 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u 1  e.  ZZ )
12060adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R ) )
121 neg1z 10980 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
122 ax-1cn 9604 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
123122absnegi 13462 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
124 abs1 13360 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
125123, 124eqtri 2451 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
126 zringunit 19060 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  (Unit ` ring )  <->  (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( abs `  -u 1
)  =  1 ) )
127121, 125, 126mpbir2an 928 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  (Unit ` ring )
128127a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  -u 1  e.  (Unit ` ring ) )
129 elrhmunit 28591 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  R )  /\  -u 1  e.  (Unit ` ring )
)  ->  ( L `  -u 1 )  e.  (Unit `  R )
)
130117, 128, 129syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( L `  -u 1 )  e.  (Unit `  R ) )
13157, 27, 79, 80rhmdvd 28592 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  R )  /\  ( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  /\  (
( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) )  e.  (Unit `  R )  /\  ( L `  -u 1
)  e.  (Unit `  R ) ) )  ->  ( ( L `
 ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) ) )
132117, 92, 100, 119, 120, 130, 131syl132anc 1282 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) )  ./  ( L `  ( ( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  -u 1
) ) ) )
133106, 116, 1323eqtr4rd 2474 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  (chr `  R
)  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  /\  -u Y  e.  NN )  ->  ( ( L `
 ( X  / 
( X  gcd  Y
) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `
 (numer `  ( X  /  Y ) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) ) )
134 simp3 1007 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  Y  =/=  0 )
135134neneqd 2621 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  -.  Y  =  0 )
136 simp2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  Y  e.  ZZ )
137 elz 10946 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ZZ  <->  ( Y  e.  RR  /\  ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
138136, 137sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  e.  RR  /\  ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
139138simprd 464 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )
140 3orass 985 . . . . . 6  |-  ( ( Y  =  0  \/  Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN )  <-> 
( Y  =  0  \/  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
141139, 140sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  =  0  \/  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
142 orel1 383 . . . . 5  |-  ( -.  Y  =  0  -> 
( ( Y  =  0  \/  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )  -> 
( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) ) )
143135, 141, 142sylc 62 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  ( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )
144143adantl 467 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( Y  e.  NN  \/  -u Y  e.  NN ) )
14591, 133, 144mpjaodan 793 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( X  /  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( Y  /  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  (numer `  ( X  /  Y
) ) )  ./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y
) ) ) ) )
1466zcnd 11048 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  ->  X  e.  CC )
147146, 35, 16divcan1d 10391 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) )  =  X )
148147fveq2d 5885 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  (
( X  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  X
) )
14934, 35, 16divcan1d 10391 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) )  =  Y )
150149fveq2d 5885 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( L `  (
( Y  /  ( X  gcd  Y ) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  =  ( L `  Y
) )
151148, 150oveq12d 6323 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  ( ( X  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) )  ./  ( L `  ( ( Y  / 
( X  gcd  Y
) )  x.  ( X  gcd  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  X
)  ./  ( L `  Y ) ) )
15282, 145, 1513eqtr3d 2471 1  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 ) )  -> 
( ( L `  (numer `  ( X  /  Y ) ) ) 
./  ( L `  (denom `  ( X  /  Y ) ) ) )  =  ( ( L `  X ) 
./  ( L `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   {csn 3998   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   "cima 4856    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    x. cmul 9551   -ucneg 9868    / cdiv 10276   NNcn 10616   ZZcz 10944   abscabs 13297    || cdvds 14304    gcd cgcd 14467  numercnumer 14681  denomcdenom 14682   Basecbs 15120   0gc0g 15337   Ringcrg 17779  Unitcui 17866  /rcdvr 17909   RingHom crh 17939   DivRingcdr 17974  ℤringzring 19037   ZRHomczrh 19069  chrcchr 19071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-numer 14683  df-denom 14684  df-gz 14873  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-ghm 16880  df-od 17171  df-cmn 17431  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-dvr 17910  df-rnghom 17942  df-drng 17976  df-subrg 18005  df-cnfld 18970  df-zring 19038  df-zrh 19073  df-chr 19075
This theorem is referenced by:  qqhval2  28794  qqhvq  28799
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