Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhrhm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem qqhrhm 28786
 Description: The QQHom homomorphism is a ring homomorphism if the target structure is a field. If the target structure is a division ring, it is a group homomorphism, but not a ring homomorphism, because it does not preserve the ring multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0
qqhval2.1 /r
qqhval2.2 RHom
qqhrhm.1 flds
Assertion
Ref Expression
qqhrhm Field chr QQHom RingHom

Proof of Theorem qqhrhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhrhm.1 . . 3 flds
21qrngbas 24450 . 2
31qrng1 24453 . 2
4 eqid 2450 . 2
5 qex 11273 . . 3
6 cnfldmul 18969 . . . 4 fld
71, 6ressmulr 15243 . . 3
85, 7ax-mp 5 . 2
9 eqid 2450 . 2
101qdrng 24451 . . 3
11 drngring 17975 . . 3
1210, 11mp1i 13 . 2 Field chr
13 isfld 17977 . . . . 5 Field
1413simplbi 462 . . . 4 Field
1514adantr 467 . . 3 Field chr
16 drngring 17975 . . 3
1715, 16syl 17 . 2 Field chr
18 qqhval2.0 . . . 4
19 qqhval2.1 . . . 4 /r
20 qqhval2.2 . . . 4 RHom
2118, 19, 20qqh1 28782 . . 3 chr QQHom
2214, 21sylan 474 . 2 Field chr QQHom
23 eqid 2450 . . . 4 Unit Unit
24 eqid 2450 . . . 4
2513simprbi 466 . . . . 5 Field
2625ad2antrr 731 . . . 4 Field chr
2720zrhrhm 19076 . . . . . . 7 ring RingHom
28 zringbas 19038 . . . . . . . 8 ring
2928, 18rhmf 17947 . . . . . . 7 ring RingHom
3017, 27, 293syl 18 . . . . . 6 Field chr
3130adantr 467 . . . . 5 Field chr
32 qnumcl 14682 . . . . . 6 numer
3332ad2antrl 733 . . . . 5 Field chr numer
3431, 33ffvelrnd 6021 . . . 4 Field chr numer
3514ad2antrr 731 . . . . . 6 Field chr
36 simplr 761 . . . . . 6 Field chr chr
3735, 36jca 535 . . . . 5 Field chr chr
38 qdencl 14683 . . . . . . 7 denom
3938ad2antrl 733 . . . . . 6 Field chr denom
4039nnzd 11036 . . . . 5 Field chr denom
4139nnne0d 10651 . . . . 5 Field chr denom
42 eqid 2450 . . . . . 6
4318, 20, 42elzrhunit 28776 . . . . 5 chr denom denom denom Unit
4437, 40, 41, 43syl12anc 1265 . . . 4 Field chr denom Unit
45 qnumcl 14682 . . . . . 6 numer
4645ad2antll 734 . . . . 5 Field chr numer
4731, 46ffvelrnd 6021 . . . 4 Field chr numer
48 qdencl 14683 . . . . . . 7 denom
4948ad2antll 734 . . . . . 6 Field chr denom
5049nnzd 11036 . . . . 5 Field chr denom
5149nnne0d 10651 . . . . 5 Field chr denom
5218, 20, 42elzrhunit 28776 . . . . 5 chr denom denom denom Unit
5337, 50, 51, 52syl12anc 1265 . . . 4 Field chr denom Unit
5418, 23, 24, 19, 9, 26, 34, 44, 47, 53rdivmuldivd 28547 . . 3 Field chr numer denomnumer denom numernumer denomdenom
55 qeqnumdivden 14688 . . . . . . 7 numer denom
5655fveq2d 5867 . . . . . 6 QQHom QQHomnumer denom
5756ad2antrl 733 . . . . 5 Field chr QQHom QQHomnumer denom
5818, 19, 20qqhvq 28784 . . . . . 6 chr numer denom denom QQHomnumer denom numer denom
5937, 33, 40, 41, 58syl13anc 1269 . . . . 5 Field chr QQHomnumer denom numer denom
6057, 59eqtrd 2484 . . . 4 Field chr QQHom numer denom
61 qeqnumdivden 14688 . . . . . . 7 numer denom
6261fveq2d 5867 . . . . . 6 QQHom QQHomnumer denom
6362ad2antll 734 . . . . 5 Field chr QQHom QQHomnumer denom
6418, 19, 20qqhvq 28784 . . . . . 6 chr numer denom denom QQHomnumer denom numer denom
6537, 46, 50, 51, 64syl13anc 1269 . . . . 5 Field chr QQHomnumer denom numer denom
6663, 65eqtrd 2484 . . . 4 Field chr QQHom numer denom
6760, 66oveq12d 6306 . . 3 Field chr QQHomQQHom numer denomnumer denom
6855ad2antrl 733 . . . . . . 7 Field chr numer denom
6961ad2antll 734 . . . . . . 7 Field chr numer denom
7068, 69oveq12d 6306 . . . . . 6 Field chr numer denom numer denom
7133zcnd 11038 . . . . . . 7 Field chr numer
7240zcnd 11038 . . . . . . 7 Field chr denom
7346zcnd 11038 . . . . . . 7 Field chr numer
7450zcnd 11038 . . . . . . 7 Field chr denom
7571, 72, 73, 74, 41, 51divmuldivd 10421 . . . . . 6 Field chr numer denom numer denom numer numer denom denom
7670, 75eqtrd 2484 . . . . 5 Field chr numer numer denom denom
7776fveq2d 5867 . . . 4 Field chr QQHom QQHomnumer numer denom denom
7833, 46zmulcld 11043 . . . . 5 Field chr numer numer
7940, 50zmulcld 11043 . . . . 5 Field chr denom denom
8072, 74, 41, 51mulne0d 10261 . . . . 5 Field chr denom denom
8118, 19, 20qqhvq 28784 . . . . 5 chr numer numer denom denom denom denom QQHomnumer numer denom denom numer numer denom denom
8237, 78, 79, 80, 81syl13anc 1269 . . . 4 Field chr QQHomnumer numer denom denom numer numer denom denom
8335, 16syl 17 . . . . . . 7 Field chr
8483, 27syl 17 . . . . . 6 Field chr ring RingHom
85 zringmulr 19041 . . . . . . 7 ring
8628, 85, 9rhmmul 17948 . . . . . 6 ring RingHom numer numer numer numer numernumer
8784, 33, 46, 86syl3anc 1267 . . . . 5 Field chr numer numer numernumer
8828, 85, 9rhmmul 17948 . . . . . 6 ring RingHom denom denom denom denom denomdenom
8984, 40, 50, 88syl3anc 1267 . . . . 5 Field chr denom denom denomdenom
9087, 89oveq12d 6306 . . . 4 Field chr numer numer denom denom numernumer denomdenom
9177, 82, 903eqtrd 2488 . . 3 Field chr QQHom numernumer denomdenom
9254, 67, 913eqtr4rd 2495 . 2 Field chr QQHom QQHomQQHom
93 cnfldadd 18968 . . . 4 fld
941, 93ressplusg 15232 . . 3
955, 94ax-mp 5 . 2
9618, 19, 20qqhf 28783 . . 3 chr QQHom
9714, 96sylan 474 . 2 Field chr QQHom
9833, 50zmulcld 11043 . . . . 5 Field chr numer denom
9931, 98ffvelrnd 6021 . . . 4 Field chr numer denom
10046, 40zmulcld 11043 . . . . 5 Field chr numer denom
10131, 100ffvelrnd 6021 . . . 4 Field chr numer denom
10223, 9unitmulcl 17885 . . . . . 6 denom Unit denom Unit denomdenom Unit
10383, 44, 53, 102syl3anc 1267 . . . . 5 Field chr denomdenom Unit
10489, 103eqeltrd 2528 . . . 4 Field chr denom denom Unit
10518, 23, 24, 19dvrdir 28546 . . . 4 numer denom numer denom denom denom Unit numer denom numer denom denom denom numer denom denom denom numer denom denom denom
10683, 99, 101, 104, 105syl13anc 1269 . . 3 Field chr numer denom numer denom denom denom numer denom denom denom numer denom denom denom
10768, 69oveq12d 6306 . . . . . 6 Field chr numer denom numer denom
10871, 72, 73, 74, 41, 51divadddivd 10424 . . . . . 6 Field chr numer denom numer denom numer denom numer denom denom denom
109107, 108eqtrd 2484 . . . . 5 Field chr numer denom numer denom denom denom
110109fveq2d 5867 . . . 4 Field chr QQHom QQHomnumer denom numer denom denom denom
11198, 100zaddcld 11041 . . . . 5 Field chr numer denom numer denom
11218, 19, 20qqhvq 28784 . . . . 5 chr numer denom numer denom denom denom denom denom QQHomnumer denom numer denom denom denom numer denom numer denom denom denom
11337, 111, 79, 80, 112syl13anc 1269 . . . 4 Field chr QQHomnumer denom numer denom denom denom numer denom numer denom denom denom
114 rhmghm 17946 . . . . . 6 ring RingHom ring
11584, 114syl 17 . . . . 5 Field chr ring
116 zringplusg 19039 . . . . . . 7 ring
11728, 116, 24ghmlin 16881 . . . . . 6 ring numer denom numer denom numer denom numer denom numer denom numer denom
118117oveq1d 6303 . . . . 5 ring numer denom numer denom numer denom numer denom denom denom numer denom numer denom denom denom
119115, 98, 100, 118syl3anc 1267 . . . 4 Field chr numer denom numer denom denom denom numer denom numer denom denom denom
120110, 113, 1193eqtrd 2488 . . 3 Field chr QQHom numer denom numer denom denom denom
12123, 28, 19, 85rhmdvd 28577 . . . . . 6 ring RingHom numer denom denom denom Unit denom Unit numer denom numer denom denom denom
12284, 33, 40, 50, 44, 53, 121syl132anc 1285 . . . . 5 Field chr numer denom numer denom denom denom
12357, 59, 1223eqtrd 2488 . . . 4 Field chr QQHom numer denom denom denom
12423, 28, 19, 85rhmdvd 28577 . . . . . . 7 ring RingHom numer denom denom denom Unit denom Unit numer denom numer denom denom denom
12584, 46, 50, 40, 53, 44, 124syl132anc 1285 . . . . . 6 Field chr numer denom numer denom denom denom
12672, 74mulcomd 9661 . . . . . . . 8 Field chr denom denom denom denom
127126fveq2d 5867 . . . . . . 7 Field chr denom denom denom denom
128127oveq2d 6304 . . . . . 6 Field chr numer denom denom denom numer denom denom denom
129125, 65, 1283eqtr4d 2494 . . . . 5 Field chr QQHomnumer denom numer denom denom denom
13063, 129eqtrd 2484 . . . 4 Field chr QQHom numer denom denom denom
131123, 130oveq12d 6306 . . 3 Field chr QQHom QQHom numer denom denom denom numer denom denom denom
132106, 120, 1313eqtr4d 2494 . 2 Field chr QQHom QQHom QQHom
1332, 3, 4, 8, 9, 12, 17, 22, 92, 18, 95, 24, 97, 132isrhmd 17950 1 Field chr QQHom RingHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  cvv 3044  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  cc0 9536  c1 9537   caddc 9539   cmul 9541   cdiv 10266  cn 10606  cz 10934  cq 11261  numercnumer 14675  denomcdenom 14676  cbs 15114   ↾s cress 15115   cplusg 15183  cmulr 15184  c0g 15331   cghm 16873  cur 17728  crg 17773  ccrg 17774  Unitcui 17860  /rcdvr 17903   RingHom crh 17933  cdr 17968  Fieldcfield 17969  ℂfldccnfld 18963  ℤringzring 19032  RHomczrh 19064  chrcchr 19066  QQHomcqqh 28769 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-numer 14677  df-denom 14678  df-gz 14867  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-od 17165  df-cmn 17425  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-field 17971  df-subrg 17999  df-cnfld 18964  df-zring 19033  df-zrh 19068  df-chr 19070  df-qqh 28770 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator