Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhghm Structured version   Unicode version

Theorem qqhghm 28130
 Description: The QQHom homomorphism is a group homomorphism if the target structure is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0
qqhval2.1 /r
qqhval2.2 RHom
qqhrhm.1 flds
Assertion
Ref Expression
qqhghm chr QQHom

Proof of Theorem qqhghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhrhm.1 . . 3 flds
21qrngbas 23930 . 2
3 qqhval2.0 . 2
4 qex 11219 . . 3
5 cnfldadd 18552 . . . 4 fld
61, 5ressplusg 14758 . . 3
74, 6ax-mp 5 . 2
8 eqid 2457 . 2
91qdrng 23931 . . 3
10 drnggrp 17531 . . 3
119, 10mp1i 12 . 2 chr
12 drnggrp 17531 . . 3
14 qqhval2.1 . . 3 /r
15 qqhval2.2 . . 3 RHom
163, 14, 15qqhf 28128 . 2 chr QQHom
17 drngring 17530 . . . . 5
1817ad2antrr 725 . . . 4 chr
1917adantr 465 . . . . . . 7 chr
2015zrhrhm 18676 . . . . . . 7 ring RingHom
21 zringbas 18621 . . . . . . . 8 ring
2221, 3rhmf 17502 . . . . . . 7 ring RingHom
2319, 20, 223syl 20 . . . . . 6 chr
2423adantr 465 . . . . 5 chr
25 qnumcl 14285 . . . . . . 7 numer
2625ad2antrl 727 . . . . . 6 chr numer
27 qdencl 14286 . . . . . . . 8 denom
2827ad2antll 728 . . . . . . 7 chr denom
2928nnzd 10989 . . . . . 6 chr denom
3026, 29zmulcld 10996 . . . . 5 chr numer denom
3124, 30ffvelrnd 6033 . . . 4 chr numer denom
32 qnumcl 14285 . . . . . . 7 numer
3332ad2antll 728 . . . . . 6 chr numer
34 qdencl 14286 . . . . . . . 8 denom
3534ad2antrl 727 . . . . . . 7 chr denom
3635nnzd 10989 . . . . . 6 chr denom
3733, 36zmulcld 10996 . . . . 5 chr numer denom
3824, 37ffvelrnd 6033 . . . 4 chr numer denom
3918, 20syl 16 . . . . . 6 chr ring RingHom
40 zringmulr 18624 . . . . . . 7 ring
41 eqid 2457 . . . . . . 7
4221, 40, 41rhmmul 17503 . . . . . 6 ring RingHom denom denom denom denom denomdenom
4339, 36, 29, 42syl3anc 1228 . . . . 5 chr denom denom denomdenom
44 simpl 457 . . . . . . 7 chr chr
4535nnne0d 10601 . . . . . . 7 chr denom
46 eqid 2457 . . . . . . . 8
473, 15, 46elzrhunit 28121 . . . . . . 7 chr denom denom denom Unit
4844, 36, 45, 47syl12anc 1226 . . . . . 6 chr denom Unit
4928nnne0d 10601 . . . . . . 7 chr denom
503, 15, 46elzrhunit 28121 . . . . . . 7 chr denom denom denom Unit
5144, 29, 49, 50syl12anc 1226 . . . . . 6 chr denom Unit
52 eqid 2457 . . . . . . 7 Unit Unit
5352, 41unitmulcl 17440 . . . . . 6 denom Unit denom Unit denomdenom Unit
5418, 48, 51, 53syl3anc 1228 . . . . 5 chr denomdenom Unit
5543, 54eqeltrd 2545 . . . 4 chr denom denom Unit
563, 52, 8, 14dvrdir 27941 . . . 4 numer denom numer denom denom denom Unit numer denom numer denom denom denom numer denom denom denom numer denom denom denom
5718, 31, 38, 55, 56syl13anc 1230 . . 3 chr numer denom numer denom denom denom numer denom denom denom numer denom denom denom
58 qeqnumdivden 14291 . . . . . . . 8 numer denom
5958ad2antrl 727 . . . . . . 7 chr numer denom
60 qeqnumdivden 14291 . . . . . . . 8 numer denom
6160ad2antll 728 . . . . . . 7 chr numer denom
6259, 61oveq12d 6314 . . . . . 6 chr numer denom numer denom
6326zcnd 10991 . . . . . . 7 chr numer
6436zcnd 10991 . . . . . . 7 chr denom
6533zcnd 10991 . . . . . . 7 chr numer
6629zcnd 10991 . . . . . . 7 chr denom
6763, 64, 65, 66, 45, 49divadddivd 10385 . . . . . 6 chr numer denom numer denom numer denom numer denom denom denom
6862, 67eqtrd 2498 . . . . 5 chr numer denom numer denom denom denom
6968fveq2d 5876 . . . 4 chr QQHom QQHomnumer denom numer denom denom denom
7030, 37zaddcld 10994 . . . . 5 chr numer denom numer denom
7136, 29zmulcld 10996 . . . . 5 chr denom denom
7264, 66, 45, 49mulne0d 10222 . . . . 5 chr denom denom
733, 14, 15qqhvq 28129 . . . . 5 chr numer denom numer denom denom denom denom denom QQHomnumer denom numer denom denom denom numer denom numer denom denom denom
7444, 70, 71, 72, 73syl13anc 1230 . . . 4 chr QQHomnumer denom numer denom denom denom numer denom numer denom denom denom
75 rhmghm 17501 . . . . . 6 ring RingHom ring
7639, 75syl 16 . . . . 5 chr ring
77 zringplusg 18622 . . . . . . 7 ring
7821, 77, 8ghmlin 16399 . . . . . 6 ring numer denom numer denom numer denom numer denom numer denom numer denom
7978oveq1d 6311 . . . . 5 ring numer denom numer denom numer denom numer denom denom denom numer denom numer denom denom denom
8076, 30, 37, 79syl3anc 1228 . . . 4 chr numer denom numer denom denom denom numer denom numer denom denom denom
8169, 74, 803eqtrd 2502 . . 3 chr QQHom numer denom numer denom denom denom
8258fveq2d 5876 . . . . . 6 QQHom QQHomnumer denom
8382ad2antrl 727 . . . . 5 chr QQHom QQHomnumer denom
843, 14, 15qqhvq 28129 . . . . . 6 chr numer denom denom QQHomnumer denom numer denom
8544, 26, 36, 45, 84syl13anc 1230 . . . . 5 chr QQHomnumer denom numer denom
8652, 21, 14, 40rhmdvd 27972 . . . . . 6 ring RingHom numer denom denom denom Unit denom Unit numer denom numer denom denom denom
8739, 26, 36, 29, 48, 51, 86syl132anc 1246 . . . . 5 chr numer denom numer denom denom denom
8883, 85, 873eqtrd 2502 . . . 4 chr QQHom numer denom denom denom
8960fveq2d 5876 . . . . . 6 QQHom QQHomnumer denom
9089ad2antll 728 . . . . 5 chr QQHom QQHomnumer denom
9152, 21, 14, 40rhmdvd 27972 . . . . . . 7 ring RingHom numer denom denom denom Unit denom Unit numer denom numer denom denom denom
9239, 33, 29, 36, 51, 48, 91syl132anc 1246 . . . . . 6 chr numer denom numer denom denom denom
933, 14, 15qqhvq 28129 . . . . . . 7 chr numer denom denom QQHomnumer denom numer denom
9444, 33, 29, 49, 93syl13anc 1230 . . . . . 6 chr QQHomnumer denom numer denom
9564, 66mulcomd 9634 . . . . . . . 8 chr denom denom denom denom
9695fveq2d 5876 . . . . . . 7 chr denom denom denom denom
9796oveq2d 6312 . . . . . 6 chr numer denom denom denom numer denom denom denom
9892, 94, 973eqtr4d 2508 . . . . 5 chr QQHomnumer denom numer denom denom denom
9990, 98eqtrd 2498 . . . 4 chr QQHom numer denom denom denom
10088, 99oveq12d 6314 . . 3 chr QQHom QQHom numer denom denom denom numer denom denom denom
10157, 81, 1003eqtr4d 2508 . 2 chr QQHom QQHom QQHom
1022, 3, 7, 8, 11, 13, 16, 101isghmd 16403 1 chr QQHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  cvv 3109  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc0 9509   caddc 9512   cmul 9514   cdiv 10227  cn 10556  cz 10885  cq 11207  numercnumer 14278  denomcdenom 14279  cbs 14644   ↾s cress 14645   cplusg 14712  cmulr 14713  c0g 14857  cgrp 16180   cghm 16391  crg 17325  Unitcui 17415  /rcdvr 17458   RingHom crh 17488  cdr 17523  ℂfldccnfld 18547  ℤringzring 18615  RHomczrh 18664  chrcchr 18666  QQHomcqqh 28114 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-numer 14280  df-denom 14281  df-gz 14460  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-od 16680  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-chr 18670  df-qqh 28115 This theorem is referenced by:  qqhcn  28133  qqhucn  28134
 Copyright terms: Public domain W3C validator