Theorem qqhf 28864

Description: QQHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	|- B = ( Base ` R )
qqhval2.1	|- ./ = (/r ` R )
qqhval2.2	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
qqhf	|- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) : QQ --> B )

Proof of Theorem qqhf

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qqhval2.0	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		qqhval2.1	. . 3 |- ./ = (/r ` R )
3		qqhval2.2	. . 3 |- L = ( ZRHom ` R )
4	1, 2, 3	qqhval2 28860	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) = ( q e. QQ |-> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) ) )
5		drngring 18060	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
6	5	adantr 472	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> R e. Ring )
7	6	adantr 472	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> R e. Ring )
8	3	zrhrhm 19160	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> L e. (ℤring RingHom R ) )
9		zringbas 19122	. . . . . 6 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
10	9, 1	rhmf 18032	. . . . 5 |- ( L e. (ℤring RingHom R ) -> L : ZZ --> B )
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> L : ZZ --> B )
12		qnumcl 14768	. . . . 5 |- ( q e. QQ -> (numer ` q ) e. ZZ )
13	12	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (numer ` q ) e. ZZ )
14	11, 13	ffvelrnd 6038	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (numer ` q ) ) e. B )
15		simpll 768	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> R e. DivRing )
16		qdencl 14769	. . . . . . 7 |- ( q e. QQ -> (denom ` q ) e. NN )
17	16	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) e. NN )
18	17	nnzd 11062	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) e. ZZ )
19	11, 18	ffvelrnd 6038	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. B )
20	17	nnne0d 10676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) =/= 0 )
21	20	neneqd 2648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) = 0 )
22		fvex 5889	. . . . . . . . . 10 |- (denom ` q ) e. _V
23	22	elsnc 3984	. . . . . . . . 9 |- ( (denom ` q ) e. { 0 } <-> (denom ` q ) = 0 )
24	21, 23	sylnibr 312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) e. { 0 } )
25		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
26	1, 3, 25	zrhker 28855	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( (chr ` R ) = 0 <-> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } ) )
27	26	biimpa 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
28	5, 27	sylan 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
29	28	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
30	24, 29	neleqtrrd 2571	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
31		ffn 5739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L : ZZ --> B -> L Fn ZZ )
32	8, 10, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> L Fn ZZ )
33		elpreima 6017	. . . . . . . . . . 11 |- ( L Fn ZZ -> ( (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
34	5, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. DivRing -> ( (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
35	34	biimpar 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. DivRing /\ ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) -> (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
36	35	expr 626	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. DivRing /\ (denom ` q ) e. ZZ ) -> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
37	36	con3dimp 448	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (denom ` q ) e. ZZ ) /\ -. (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
38	15, 18, 30, 37	syl21anc 1291	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
39		fvex 5889	. . . . . . 7 |- ( L ` (denom ` q ) ) e. _V
40	39	elsnc 3984	. . . . . 6 |- ( ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` (denom ` q ) ) = ( 0g ` R ) )
41	38, 40	sylnib 311	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) = ( 0g ` R ) )
42	41	neqned 2650	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) )
43		eqid 2471	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
44	1, 43, 25	drngunit 18058	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
45	44	biimpar 493	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ ( ( L ` (denom ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) )
46	15, 19, 42, 45	syl12anc 1290	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) )
47	1, 43, 2	dvrcl 17992	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( L ` (numer ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) e. B )
48	7, 14, 46, 47	syl3anc 1292	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) e. B )
49	4, 48	fmpt3d 6062	1 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) : QQ --> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   {csn 3959   `'ccnv 4838   "cima 4842   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   NNcn 10631   ZZcz 10961   QQcq 11287  numercnumer 14761  denomcdenom 14762   Basecbs 15199   0gc0g 15416   Ringcrg 17858  Unitcui 17945  /_rcdvr 17988   RingHom crh 18018   DivRingcdr 18053  ℤ_ringzring 19116   ZRHomczrh 19148  chrcchr 19150  QQHomcqqh 28850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-numer 14763  df-denom 14764  df-gz 14953  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-od 17250  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-chr 19154  df-qqh 28851

This theorem is referenced by:  qqhghm  28866  qqhrhm  28867  qqhcn  28869  qqhucn  28870  qqhre  28898