Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhf Structured version   Unicode version

Theorem qqhf 28629
Description: QQHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqhf  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  (QQHom `  R
) : QQ --> B )

Proof of Theorem qqhf
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhval2.0 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 qqhval2.1 . . 3  |-  ./  =  (/r
`  R )
3 qqhval2.2 . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
41, 2, 3qqhval2 28625 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  (QQHom `  R
)  =  ( q  e.  QQ  |->  ( ( L `  (numer `  q ) )  ./  ( L `  (denom `  q ) ) ) ) )
5 drngring 17917 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
65adantr 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  R  e.  Ring )
76adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  R  e.  Ring )
83zrhrhm 19014 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  R ) )
9 zringbas 18979 . . . . . 6  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
109, 1rhmf 17889 . . . . 5  |-  ( L  e.  (ring RingHom  R )  ->  L : ZZ --> B )
117, 8, 103syl 18 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  L : ZZ --> B )
12 qnumcl 14660 . . . . 5  |-  ( q  e.  QQ  ->  (numer `  q )  e.  ZZ )
1312adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (numer `  q )  e.  ZZ )
1411, 13ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (numer `  q
) )  e.  B
)
15 simpll 758 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  R  e.  DivRing )
16 qdencl 14661 . . . . . . 7  |-  ( q  e.  QQ  ->  (denom `  q )  e.  NN )
1716adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (denom `  q )  e.  NN )
1817nnzd 11039 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (denom `  q )  e.  ZZ )
1911, 18ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (denom `  q
) )  e.  B
)
2017nnne0d 10654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (denom `  q )  =/=  0
)
2120neneqd 2632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  (denom `  q )  =  0 )
22 fvex 5891 . . . . . . . . . 10  |-  (denom `  q )  e.  _V
2322elsnc 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( (denom `  q )  e.  {
0 }  <->  (denom `  q
)  =  0 )
2421, 23sylnibr 306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  (denom `  q )  e. 
{ 0 } )
25 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
261, 3, 25zrhker 28620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  =  0  <->  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  { 0 } ) )
2726biimpa 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( `' L " { ( 0g
`  R ) } )  =  { 0 } )
285, 27sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( `' L " { ( 0g
`  R ) } )  =  { 0 } )
2928adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  {
0 } )
3024, 29neleqtrrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
31 ffn 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L : ZZ --> B  ->  L  Fn  ZZ )
328, 10, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  Fn  ZZ )
33 elpreima 6017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  (
(denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <-> 
( (denom `  q
)  e.  ZZ  /\  ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } ) ) )
345, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( (denom `  q )  e.  ZZ  /\  ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } ) ) )
3534biimpar 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
(denom `  q )  e.  ZZ  /\  ( L `
 (denom `  q
) )  e.  {
( 0g `  R
) } ) )  ->  (denom `  q
)  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
3635expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (denom `  q )  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 (denom `  q
) )  e.  {
( 0g `  R
) }  ->  (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) ) )
3736con3dimp 442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (denom `  q )  e.  ZZ )  /\  -.  (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  -.  ( L `  (denom `  q
) )  e.  {
( 0g `  R
) } )
3815, 18, 30, 37syl21anc 1263 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } )
39 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( L `
 (denom `  q
) )  e.  _V
4039elsnc 4026 . . . . . 6  |-  ( ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) }  <->  ( L `  (denom `  q )
)  =  ( 0g
`  R ) )
4138, 40sylnib 305 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  ( L `  (denom `  q ) )  =  ( 0g `  R
) )
4241neqned 2634 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (denom `  q
) )  =/=  ( 0g `  R ) )
43 eqid 2429 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
441, 43, 25drngunit 17915 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 (denom `  q
) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  (denom `  q
) )  e.  B  /\  ( L `  (denom `  q ) )  =/=  ( 0g `  R
) ) ) )
4544biimpar 487 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
( L `  (denom `  q ) )  e.  B  /\  ( L `
 (denom `  q
) )  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( L `  (denom `  q )
)  e.  (Unit `  R ) )
4615, 19, 42, 45syl12anc 1262 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (denom `  q
) )  e.  (Unit `  R ) )
471, 43, 2dvrcl 17849 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( L `  (numer `  q
) )  e.  B  /\  ( L `  (denom `  q ) )  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( ( L `  (numer `  q
) )  ./  ( L `  (denom `  q
) ) )  e.  B )
487, 14, 46, 47syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (
( L `  (numer `  q ) )  ./  ( L `  (denom `  q ) ) )  e.  B )
494, 48fmpt3d 6062 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  (QQHom `  R
) : QQ --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   {csn 4002   `'ccnv 4853   "cima 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   NNcn 10609   ZZcz 10937   QQcq 11264  numercnumer 14653  denomcdenom 14654   Basecbs 15084   0gc0g 15297   Ringcrg 17715  Unitcui 17802  /rcdvr 17845   RingHom crh 17875   DivRingcdr 17910  ℤringzring 18973   ZRHomczrh 19002  chrcchr 19004  QQHomcqqh 28615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-numer 14655  df-denom 14656  df-gz 14837  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-od 17120  df-cmn 17367  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-cnfld 18906  df-zring 18974  df-zrh 19006  df-chr 19008  df-qqh 28616
This theorem is referenced by:  qqhghm  28631  qqhrhm  28632  qqhcn  28634  qqhucn  28635  qqhre  28663
  Copyright terms: Public domain W3C validator