Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhf Structured version   Unicode version

Theorem qqhf 27631
Description: QQHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqhf  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  (QQHom `  R
) : QQ --> B )

Proof of Theorem qqhf
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhval2.0 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 qqhval2.1 . . 3  |-  ./  =  (/r
`  R )
3 qqhval2.2 . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
41, 2, 3qqhval2 27627 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  (QQHom `  R
)  =  ( q  e.  QQ  |->  ( ( L `  (numer `  q ) )  ./  ( L `  (denom `  q ) ) ) ) )
5 drngrng 17203 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  R  e.  Ring )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  R  e.  Ring )
83zrhrhm 18344 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  R ) )
9 zringbas 18290 . . . . . 6  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
109, 1rhmf 17176 . . . . 5  |-  ( L  e.  (ring RingHom  R )  ->  L : ZZ --> B )
117, 8, 103syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  L : ZZ --> B )
12 qnumcl 14132 . . . . 5  |-  ( q  e.  QQ  ->  (numer `  q )  e.  ZZ )
1312adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (numer `  q )  e.  ZZ )
1411, 13ffvelrnd 6022 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (numer `  q
) )  e.  B
)
15 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  R  e.  DivRing )
16 qdencl 14133 . . . . . . 7  |-  ( q  e.  QQ  ->  (denom `  q )  e.  NN )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (denom `  q )  e.  NN )
1817nnzd 10965 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (denom `  q )  e.  ZZ )
1911, 18ffvelrnd 6022 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (denom `  q
) )  e.  B
)
2017nnne0d 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (denom `  q )  =/=  0
)
2120neneqd 2669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  (denom `  q )  =  0 )
22 fvex 5876 . . . . . . . . . 10  |-  (denom `  q )  e.  _V
2322elsnc 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( (denom `  q )  e.  {
0 }  <->  (denom `  q
)  =  0 )
2421, 23sylnibr 305 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  (denom `  q )  e. 
{ 0 } )
25 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
261, 3, 25zrhker 27622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  =  0  <->  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  { 0 } ) )
2726biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( `' L " { ( 0g
`  R ) } )  =  { 0 } )
285, 27sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( `' L " { ( 0g
`  R ) } )  =  { 0 } )
2928adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  {
0 } )
3024, 29neleqtrrd 2580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
31 ffn 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L : ZZ --> B  ->  L  Fn  ZZ )
328, 10, 313syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  Fn  ZZ )
33 elpreima 6001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  (
(denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <-> 
( (denom `  q
)  e.  ZZ  /\  ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } ) ) )
345, 32, 333syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( (denom `  q )  e.  ZZ  /\  ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } ) ) )
3534biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
(denom `  q )  e.  ZZ  /\  ( L `
 (denom `  q
) )  e.  {
( 0g `  R
) } ) )  ->  (denom `  q
)  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
3635expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (denom `  q )  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 (denom `  q
) )  e.  {
( 0g `  R
) }  ->  (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) ) )
3736con3dimp 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (denom `  q )  e.  ZZ )  /\  -.  (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  -.  ( L `  (denom `  q
) )  e.  {
( 0g `  R
) } )
3815, 18, 30, 37syl21anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } )
39 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( L `
 (denom `  q
) )  e.  _V
4039elsnc 4051 . . . . . 6  |-  ( ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) }  <->  ( L `  (denom `  q )
)  =  ( 0g
`  R ) )
4138, 40sylnib 304 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  ( L `  (denom `  q ) )  =  ( 0g `  R
) )
4241neqned 2670 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (denom `  q
) )  =/=  ( 0g `  R ) )
43 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
441, 43, 25drngunit 17201 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 (denom `  q
) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  (denom `  q
) )  e.  B  /\  ( L `  (denom `  q ) )  =/=  ( 0g `  R
) ) ) )
4544biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
( L `  (denom `  q ) )  e.  B  /\  ( L `
 (denom `  q
) )  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( L `  (denom `  q )
)  e.  (Unit `  R ) )
4615, 19, 42, 45syl12anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (denom `  q
) )  e.  (Unit `  R ) )
471, 43, 2dvrcl 17136 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( L `  (numer `  q
) )  e.  B  /\  ( L `  (denom `  q ) )  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( ( L `  (numer `  q
) )  ./  ( L `  (denom `  q
) ) )  e.  B )
487, 14, 46, 47syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (
( L `  (numer `  q ) )  ./  ( L `  (denom `  q ) ) )  e.  B )
494, 48fmpt3d 27196 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  (QQHom `  R
) : QQ --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {csn 4027   `'ccnv 4998   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   NNcn 10536   ZZcz 10864   QQcq 11182  numercnumer 14125  denomcdenom 14126   Basecbs 14490   0gc0g 14695   Ringcrg 17000  Unitcui 17089  /rcdvr 17132   RingHom crh 17162   DivRingcdr 17196  ℤringzring 18284   ZRHomczrh 18332  chrcchr 18334  QQHomcqqh 27617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-numer 14127  df-denom 14128  df-gz 14307  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-od 16359  df-cmn 16606  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-rnghom 17165  df-drng 17198  df-subrg 17227  df-cnfld 18220  df-zring 18285  df-zrh 18336  df-chr 18338  df-qqh 27618
This theorem is referenced by:  qqhghm  27633  qqhrhm  27634  qqhcn  27636  qqhucn  27637  qqhre  27662
  Copyright terms: Public domain W3C validator