Theorem qqhf 28783

Description: QQHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	|- B = ( Base ` R )
qqhval2.1	|- ./ = (/r ` R )
qqhval2.2	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
qqhf	|- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) : QQ --> B )

Proof of Theorem qqhf

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qqhval2.0	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		qqhval2.1	. . 3 |- ./ = (/r ` R )
3		qqhval2.2	. . 3 |- L = ( ZRHom ` R )
4	1, 2, 3	qqhval2 28779	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) = ( q e. QQ |-> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) ) )
5		drngring 17975	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
6	5	adantr 467	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> R e. Ring )
7	6	adantr 467	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> R e. Ring )
8	3	zrhrhm 19076	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> L e. (ℤring RingHom R ) )
9		zringbas 19038	. . . . . 6 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
10	9, 1	rhmf 17947	. . . . 5 |- ( L e. (ℤring RingHom R ) -> L : ZZ --> B )
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> L : ZZ --> B )
12		qnumcl 14682	. . . . 5 |- ( q e. QQ -> (numer ` q ) e. ZZ )
13	12	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (numer ` q ) e. ZZ )
14	11, 13	ffvelrnd 6021	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (numer ` q ) ) e. B )
15		simpll 759	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> R e. DivRing )
16		qdencl 14683	. . . . . . 7 |- ( q e. QQ -> (denom ` q ) e. NN )
17	16	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) e. NN )
18	17	nnzd 11036	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) e. ZZ )
19	11, 18	ffvelrnd 6021	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. B )
20	17	nnne0d 10651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) =/= 0 )
21	20	neneqd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) = 0 )
22		fvex 5873	. . . . . . . . . 10 |- (denom ` q ) e. _V
23	22	elsnc 3991	. . . . . . . . 9 |- ( (denom ` q ) e. { 0 } <-> (denom ` q ) = 0 )
24	21, 23	sylnibr 307	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) e. { 0 } )
25		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
26	1, 3, 25	zrhker 28774	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( (chr ` R ) = 0 <-> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } ) )
27	26	biimpa 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
28	5, 27	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
29	28	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
30	24, 29	neleqtrrd 2550	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
31		ffn 5726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L : ZZ --> B -> L Fn ZZ )
32	8, 10, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> L Fn ZZ )
33		elpreima 6000	. . . . . . . . . . 11 |- ( L Fn ZZ -> ( (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
34	5, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. DivRing -> ( (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
35	34	biimpar 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. DivRing /\ ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) -> (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
36	35	expr 619	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. DivRing /\ (denom ` q ) e. ZZ ) -> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
37	36	con3dimp 443	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (denom ` q ) e. ZZ ) /\ -. (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
38	15, 18, 30, 37	syl21anc 1266	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
39		fvex 5873	. . . . . . 7 |- ( L ` (denom ` q ) ) e. _V
40	39	elsnc 3991	. . . . . 6 |- ( ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` (denom ` q ) ) = ( 0g ` R ) )
41	38, 40	sylnib 306	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) = ( 0g ` R ) )
42	41	neqned 2630	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) )
43		eqid 2450	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
44	1, 43, 25	drngunit 17973	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
45	44	biimpar 488	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ ( ( L ` (denom ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) )
46	15, 19, 42, 45	syl12anc 1265	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) )
47	1, 43, 2	dvrcl 17907	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( L ` (numer ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) e. B )
48	7, 14, 46, 47	syl3anc 1267	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) e. B )
49	4, 48	fmpt3d 6045	1 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) : QQ --> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   {csn 3967   `'ccnv 4832   "cima 4836   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536   NNcn 10606   ZZcz 10934   QQcq 11261  numercnumer 14675  denomcdenom 14676   Basecbs 15114   0gc0g 15331   Ringcrg 17773  Unitcui 17860  /_rcdvr 17903   RingHom crh 17933   DivRingcdr 17968  ℤ_ringzring 19032   ZRHomczrh 19064  chrcchr 19066  QQHomcqqh 28769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-numer 14677  df-denom 14678  df-gz 14867  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-od 17165  df-cmn 17425  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-subrg 17999  df-cnfld 18964  df-zring 19033  df-zrh 19068  df-chr 19070  df-qqh 28770

This theorem is referenced by:  qqhghm  28785  qqhrhm  28786  qqhcn  28788  qqhucn  28789  qqhre  28817