Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem qqhf 28783
Description: QQHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqhf  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  (QQHom `  R
) : QQ --> B )

Proof of Theorem qqhf
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhval2.0 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 qqhval2.1 . . 3  |-  ./  =  (/r
`  R )
3 qqhval2.2 . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
41, 2, 3qqhval2 28779 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  (QQHom `  R
)  =  ( q  e.  QQ  |->  ( ( L `  (numer `  q ) )  ./  ( L `  (denom `  q ) ) ) ) )
5 drngring 17975 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
65adantr 467 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  R  e.  Ring )
76adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  R  e.  Ring )
83zrhrhm 19076 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  R ) )
9 zringbas 19038 . . . . . 6  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
109, 1rhmf 17947 . . . . 5  |-  ( L  e.  (ring RingHom  R )  ->  L : ZZ --> B )
117, 8, 103syl 18 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  L : ZZ --> B )
12 qnumcl 14682 . . . . 5  |-  ( q  e.  QQ  ->  (numer `  q )  e.  ZZ )
1312adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (numer `  q )  e.  ZZ )
1411, 13ffvelrnd 6021 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (numer `  q
) )  e.  B
)
15 simpll 759 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  R  e.  DivRing )
16 qdencl 14683 . . . . . . 7  |-  ( q  e.  QQ  ->  (denom `  q )  e.  NN )
1716adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (denom `  q )  e.  NN )
1817nnzd 11036 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (denom `  q )  e.  ZZ )
1911, 18ffvelrnd 6021 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (denom `  q
) )  e.  B
)
2017nnne0d 10651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (denom `  q )  =/=  0
)
2120neneqd 2628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  (denom `  q )  =  0 )
22 fvex 5873 . . . . . . . . . 10  |-  (denom `  q )  e.  _V
2322elsnc 3991 . . . . . . . . 9  |-  ( (denom `  q )  e.  {
0 }  <->  (denom `  q
)  =  0 )
2421, 23sylnibr 307 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  (denom `  q )  e. 
{ 0 } )
25 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
261, 3, 25zrhker 28774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  =  0  <->  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  { 0 } ) )
2726biimpa 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( `' L " { ( 0g
`  R ) } )  =  { 0 } )
285, 27sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( `' L " { ( 0g
`  R ) } )  =  { 0 } )
2928adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  =  {
0 } )
3024, 29neleqtrrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
31 ffn 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L : ZZ --> B  ->  L  Fn  ZZ )
328, 10, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  Fn  ZZ )
33 elpreima 6000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  (
(denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <-> 
( (denom `  q
)  e.  ZZ  /\  ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } ) ) )
345, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } )  <->  ( (denom `  q )  e.  ZZ  /\  ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } ) ) )
3534biimpar 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
(denom `  q )  e.  ZZ  /\  ( L `
 (denom `  q
) )  e.  {
( 0g `  R
) } ) )  ->  (denom `  q
)  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )
3635expr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (denom `  q )  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 (denom `  q
) )  e.  {
( 0g `  R
) }  ->  (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) ) )
3736con3dimp 443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (denom `  q )  e.  ZZ )  /\  -.  (denom `  q )  e.  ( `' L " { ( 0g `  R ) } ) )  ->  -.  ( L `  (denom `  q
) )  e.  {
( 0g `  R
) } )
3815, 18, 30, 37syl21anc 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) } )
39 fvex 5873 . . . . . . 7  |-  ( L `
 (denom `  q
) )  e.  _V
4039elsnc 3991 . . . . . 6  |-  ( ( L `  (denom `  q ) )  e. 
{ ( 0g `  R ) }  <->  ( L `  (denom `  q )
)  =  ( 0g
`  R ) )
4138, 40sylnib 306 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  -.  ( L `  (denom `  q ) )  =  ( 0g `  R
) )
4241neqned 2630 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (denom `  q
) )  =/=  ( 0g `  R ) )
43 eqid 2450 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
441, 43, 25drngunit 17973 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 (denom `  q
) )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( L `  (denom `  q
) )  e.  B  /\  ( L `  (denom `  q ) )  =/=  ( 0g `  R
) ) ) )
4544biimpar 488 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
( L `  (denom `  q ) )  e.  B  /\  ( L `
 (denom `  q
) )  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( L `  (denom `  q )
)  e.  (Unit `  R ) )
4615, 19, 42, 45syl12anc 1265 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  ( L `  (denom `  q
) )  e.  (Unit `  R ) )
471, 43, 2dvrcl 17907 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( L `  (numer `  q
) )  e.  B  /\  ( L `  (denom `  q ) )  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( ( L `  (numer `  q
) )  ./  ( L `  (denom `  q
) ) )  e.  B )
487, 14, 46, 47syl3anc 1267 . 2  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  q  e.  QQ )  ->  (
( L `  (numer `  q ) )  ./  ( L `  (denom `  q ) ) )  e.  B )
494, 48fmpt3d 6045 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  (QQHom `  R
) : QQ --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   {csn 3967   `'ccnv 4832   "cima 4836    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536   NNcn 10606   ZZcz 10934   QQcq 11261  numercnumer 14675  denomcdenom 14676   Basecbs 15114   0gc0g 15331   Ringcrg 17773  Unitcui 17860  /rcdvr 17903   RingHom crh 17933   DivRingcdr 17968  ℤringzring 19032   ZRHomczrh 19064  chrcchr 19066  QQHomcqqh 28769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-numer 14677  df-denom 14678  df-gz 14867  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-od 17165  df-cmn 17425  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-subrg 17999  df-cnfld 18964  df-zring 19033  df-zrh 19068  df-chr 19070  df-qqh 28770
This theorem is referenced by:  qqhghm  28785  qqhrhm  28786  qqhcn  28788  qqhucn  28789  qqhre  28817
  Copyright terms: Public domain W3C validator