Theorem qqhf 27631

Description: QQHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	|- B = ( Base ` R )
qqhval2.1	|- ./ = (/r ` R )
qqhval2.2	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
qqhf	|- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) : QQ --> B )

Proof of Theorem qqhf

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qqhval2.0	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		qqhval2.1	. . 3 |- ./ = (/r ` R )
3		qqhval2.2	. . 3 |- L = ( ZRHom ` R )
4	1, 2, 3	qqhval2 27627	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) = ( q e. QQ |-> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) ) )
5		drngrng 17203	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
6	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> R e. Ring )
7	6	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> R e. Ring )
8	3	zrhrhm 18344	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> L e. (ℤring RingHom R ) )
9		zringbas 18290	. . . . . 6 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
10	9, 1	rhmf 17176	. . . . 5 |- ( L e. (ℤring RingHom R ) -> L : ZZ --> B )
11	7, 8, 10	3syl 20	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> L : ZZ --> B )
12		qnumcl 14132	. . . . 5 |- ( q e. QQ -> (numer ` q ) e. ZZ )
13	12	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (numer ` q ) e. ZZ )
14	11, 13	ffvelrnd 6022	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (numer ` q ) ) e. B )
15		simpll 753	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> R e. DivRing )
16		qdencl 14133	. . . . . . 7 |- ( q e. QQ -> (denom ` q ) e. NN )
17	16	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) e. NN )
18	17	nnzd 10965	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) e. ZZ )
19	11, 18	ffvelrnd 6022	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. B )
20	17	nnne0d 10580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) =/= 0 )
21	20	neneqd 2669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) = 0 )
22		fvex 5876	. . . . . . . . . 10 |- (denom ` q ) e. _V
23	22	elsnc 4051	. . . . . . . . 9 |- ( (denom ` q ) e. { 0 } <-> (denom ` q ) = 0 )
24	21, 23	sylnibr 305	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) e. { 0 } )
25		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
26	1, 3, 25	zrhker 27622	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( (chr ` R ) = 0 <-> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } ) )
27	26	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
28	5, 27	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
29	28	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
30	24, 29	neleqtrrd 2580	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
31		ffn 5731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L : ZZ --> B -> L Fn ZZ )
32	8, 10, 31	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> L Fn ZZ )
33		elpreima 6001	. . . . . . . . . . 11 |- ( L Fn ZZ -> ( (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
34	5, 32, 33	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. DivRing -> ( (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
35	34	biimpar 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. DivRing /\ ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) -> (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
36	35	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. DivRing /\ (denom ` q ) e. ZZ ) -> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
37	36	con3dimp 441	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (denom ` q ) e. ZZ ) /\ -. (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
38	15, 18, 30, 37	syl21anc 1227	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
39		fvex 5876	. . . . . . 7 |- ( L ` (denom ` q ) ) e. _V
40	39	elsnc 4051	. . . . . 6 |- ( ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` (denom ` q ) ) = ( 0g ` R ) )
41	38, 40	sylnib 304	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) = ( 0g ` R ) )
42	41	neqned 2670	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) )
43		eqid 2467	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
44	1, 43, 25	drngunit 17201	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
45	44	biimpar 485	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ ( ( L ` (denom ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) )
46	15, 19, 42, 45	syl12anc 1226	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) )
47	1, 43, 2	dvrcl 17136	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( L ` (numer ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) e. B )
48	7, 14, 46, 47	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) e. B )
49	4, 48	fmpt3d 27196	1 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) : QQ --> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   {csn 4027   `'ccnv 4998   "cima 5002   Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   NNcn 10536   ZZcz 10864   QQcq 11182  numercnumer 14125  denomcdenom 14126   Basecbs 14490   0gc0g 14695   Ringcrg 17000  Unitcui 17089  /_rcdvr 17132   RingHom crh 17162   DivRingcdr 17196  ℤ_ringzring 18284   ZRHomczrh 18332  chrcchr 18334  QQHomcqqh 27617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-numer 14127  df-denom 14128  df-gz 14307  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-od 16359  df-cmn 16606  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-rnghom 17165  df-drng 17198  df-subrg 17227  df-cnfld 18220  df-zring 18285  df-zrh 18336  df-chr 18338  df-qqh 27618

This theorem is referenced by:  qqhghm  27633  qqhrhm  27634  qqhcn  27636  qqhucn  27637  qqhre  27662