Theorem qqhf 28629

Description: QQHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	|- B = ( Base ` R )
qqhval2.1	|- ./ = (/r ` R )
qqhval2.2	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
qqhf	|- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) : QQ --> B )

Proof of Theorem qqhf

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qqhval2.0	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		qqhval2.1	. . 3 |- ./ = (/r ` R )
3		qqhval2.2	. . 3 |- L = ( ZRHom ` R )
4	1, 2, 3	qqhval2 28625	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) = ( q e. QQ |-> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) ) )
5		drngring 17917	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
6	5	adantr 466	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> R e. Ring )
7	6	adantr 466	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> R e. Ring )
8	3	zrhrhm 19014	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> L e. (ℤring RingHom R ) )
9		zringbas 18979	. . . . . 6 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
10	9, 1	rhmf 17889	. . . . 5 |- ( L e. (ℤring RingHom R ) -> L : ZZ --> B )
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> L : ZZ --> B )
12		qnumcl 14660	. . . . 5 |- ( q e. QQ -> (numer ` q ) e. ZZ )
13	12	adantl 467	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (numer ` q ) e. ZZ )
14	11, 13	ffvelrnd 6038	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (numer ` q ) ) e. B )
15		simpll 758	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> R e. DivRing )
16		qdencl 14661	. . . . . . 7 |- ( q e. QQ -> (denom ` q ) e. NN )
17	16	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) e. NN )
18	17	nnzd 11039	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) e. ZZ )
19	11, 18	ffvelrnd 6038	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. B )
20	17	nnne0d 10654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> (denom ` q ) =/= 0 )
21	20	neneqd 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) = 0 )
22		fvex 5891	. . . . . . . . . 10 |- (denom ` q ) e. _V
23	22	elsnc 4026	. . . . . . . . 9 |- ( (denom ` q ) e. { 0 } <-> (denom ` q ) = 0 )
24	21, 23	sylnibr 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) e. { 0 } )
25		eqid 2429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
26	1, 3, 25	zrhker 28620	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( (chr ` R ) = 0 <-> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } ) )
27	26	biimpa 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
28	5, 27	sylan 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
29	28	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
30	24, 29	neleqtrrd 2542	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
31		ffn 5746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L : ZZ --> B -> L Fn ZZ )
32	8, 10, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> L Fn ZZ )
33		elpreima 6017	. . . . . . . . . . 11 |- ( L Fn ZZ -> ( (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
34	5, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. DivRing -> ( (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
35	34	biimpar 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. DivRing /\ ( (denom ` q ) e. ZZ /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) -> (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
36	35	expr 618	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. DivRing /\ (denom ` q ) e. ZZ ) -> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
37	36	con3dimp 442	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (denom ` q ) e. ZZ ) /\ -. (denom ` q ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
38	15, 18, 30, 37	syl21anc 1263	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
39		fvex 5891	. . . . . . 7 |- ( L ` (denom ` q ) ) e. _V
40	39	elsnc 4026	. . . . . 6 |- ( ( L ` (denom ` q ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` (denom ` q ) ) = ( 0g ` R ) )
41	38, 40	sylnib 305	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> -. ( L ` (denom ` q ) ) = ( 0g ` R ) )
42	41	neqned 2634	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) )
43		eqid 2429	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
44	1, 43, 25	drngunit 17915	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` (denom ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
45	44	biimpar 487	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ ( ( L ` (denom ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) )
46	15, 19, 42, 45	syl12anc 1262	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) )
47	1, 43, 2	dvrcl 17849	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( L ` (numer ` q ) ) e. B /\ ( L ` (denom ` q ) ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) e. B )
48	7, 14, 46, 47	syl3anc 1264	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ q e. QQ ) -> ( ( L ` (numer ` q ) ) ./ ( L ` (denom ` q ) ) ) e. B )
49	4, 48	fmpt3d 6062	1 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> (QQHom ` R ) : QQ --> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   {csn 4002   `'ccnv 4853   "cima 4857   Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   NNcn 10609   ZZcz 10937   QQcq 11264  numercnumer 14653  denomcdenom 14654   Basecbs 15084   0gc0g 15297   Ringcrg 17715  Unitcui 17802  /_rcdvr 17845   RingHom crh 17875   DivRingcdr 17910  ℤ_ringzring 18973   ZRHomczrh 19002  chrcchr 19004  QQHomcqqh 28615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-numer 14655  df-denom 14656  df-gz 14837  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-od 17120  df-cmn 17367  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-cnfld 18906  df-zring 18974  df-zrh 19006  df-chr 19008  df-qqh 28616

This theorem is referenced by:  qqhghm  28631  qqhrhm  28632  qqhcn  28634  qqhucn  28635  qqhre  28663