Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh0 Structured version   Unicode version

Theorem qqh0 26559
Description: The image of  0 by the QQHom homomorphism is the ring's zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqh0  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  0
)  =  ( 0g
`  R ) )

Proof of Theorem qqh0
StepHypRef Expression
1 zssq 11072 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
2 0z 10769 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
31, 2sselii 3462 . . 3  |-  0  e.  QQ
4 qqhval2.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 qqhval2.1 . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
6 qqhval2.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
74, 5, 6qqhvval 26558 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  0  e.  QQ )  ->  (
(QQHom `  R ) `  0 )  =  ( ( L `  (numer `  0 ) ) 
./  ( L `  (denom `  0 ) ) ) )
83, 7mpan2 671 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  0
)  =  ( ( L `  (numer ` 
0 ) )  ./  ( L `  (denom ` 
0 ) ) ) )
9 1z 10788 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
10 gcd0id 13826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
0  gcd  1 )  =  ( abs `  1
) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  gcd  1 )  =  ( abs `  1
)
12 abs1 12905 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  1 )  =  1
1311, 12eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  gcd  1 )  =  1
14 0cn 9490 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
1514div1i 10171 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  /  1 )  =  0
1615eqcomi 2467 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( 0  / 
1 )
1713, 16pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  gcd  1 )  =  1  /\  0  =  ( 0  / 
1 ) )
18 1nn 10445 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
19 qnumdenbi 13941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  QQ  /\  0  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  (
( ( 0  gcd  1 )  =  1  /\  0  =  ( 0  /  1 ) )  <->  ( (numer ` 
0 )  =  0  /\  (denom `  0
)  =  1 ) ) )
203, 2, 18, 19mp3an 1315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  gcd  1
)  =  1  /\  0  =  ( 0  /  1 ) )  <-> 
( (numer `  0
)  =  0  /\  (denom `  0 )  =  1 ) )
2117, 20mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( (numer `  0 )  =  0  /\  (denom ` 
0 )  =  1 )
2221simpli 458 . . . . . 6  |-  (numer ` 
0 )  =  0
2322fveq2i 5803 . . . . 5  |-  ( L `
 (numer `  0
) )  =  ( L `  0 )
2421simpri 462 . . . . . 6  |-  (denom ` 
0 )  =  1
2524fveq2i 5803 . . . . 5  |-  ( L `
 (denom `  0
) )  =  ( L `  1 )
2623, 25oveq12i 6213 . . . 4  |-  ( ( L `  (numer ` 
0 ) )  ./  ( L `  (denom ` 
0 ) ) )  =  ( ( L `
 0 )  ./  ( L `  1 ) )
27 drngrng 16963 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
28 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
296, 28zrh0 18071 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( L `
 0 )  =  ( 0g `  R
) )
30 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
316, 30zrh1 18070 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  R
) )
3229, 31oveq12d 6219 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( L `  0 ) 
./  ( L ` 
1 ) )  =  ( ( 0g `  R )  ./  ( 1r `  R ) ) )
3327, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 0 )  ./  ( L `  1 ) )  =  ( ( 0g `  R ) 
./  ( 1r `  R ) ) )
34 drnggrp 16964 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Grp )
354, 28grpidcl 15686 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Grp  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( 0g `  R )  e.  B
)
374, 5, 30dvr1 16905 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  ./  ( 1r `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
3827, 36, 37syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( 0g
`  R )  ./  ( 1r `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
3933, 38eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 0 )  ./  ( L `  1 ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4026, 39syl5eq 2507 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 (numer `  0
) )  ./  ( L `  (denom `  0
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
4140adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( ( L `  (numer `  0
) )  ./  ( L `  (denom `  0
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
428, 41eqtrd 2495 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  0
)  =  ( 0g
`  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   1c1 9395    / cdiv 10105   NNcn 10434   ZZcz 10758   QQcq 11065   abscabs 12842    gcd cgcd 13809  numercnumer 13930  denomcdenom 13931   Basecbs 14293   0gc0g 14498   Grpcgrp 15530   1rcur 16726   Ringcrg 16769  /rcdvr 16898   DivRingcdr 16956   ZRHomczrh 18057  chrcchr 18059  QQHomcqqh 26547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-dvds 13655  df-gcd 13810  df-numer 13932  df-denom 13933  df-gz 14110  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-od 16154  df-cmn 16401  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-dvr 16899  df-rnghom 16930  df-drng 16958  df-subrg 16987  df-cnfld 17945  df-zring 18010  df-zrh 18061  df-chr 18063  df-qqh 26548
This theorem is referenced by:  qqhcn  26566
  Copyright terms: Public domain W3C validator