Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh0 Structured version   Unicode version

Theorem qqh0 28199
Description: The image of  0 by the QQHom homomorphism is the ring's zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqh0  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  0
)  =  ( 0g
`  R ) )

Proof of Theorem qqh0
StepHypRef Expression
1 zssq 11190 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
2 0z 10871 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
31, 2sselii 3486 . . 3  |-  0  e.  QQ
4 qqhval2.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 qqhval2.1 . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
6 qqhval2.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
74, 5, 6qqhvval 28198 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  0  e.  QQ )  ->  (
(QQHom `  R ) `  0 )  =  ( ( L `  (numer `  0 ) ) 
./  ( L `  (denom `  0 ) ) ) )
83, 7mpan2 669 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  0
)  =  ( ( L `  (numer ` 
0 ) )  ./  ( L `  (denom ` 
0 ) ) ) )
9 1z 10890 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
10 gcd0id 14245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
0  gcd  1 )  =  ( abs `  1
) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  gcd  1 )  =  ( abs `  1
)
12 abs1 13212 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  1 )  =  1
1311, 12eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  gcd  1 )  =  1
14 0cn 9577 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
1514div1i 10268 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  /  1 )  =  0
1615eqcomi 2467 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( 0  / 
1 )
1713, 16pm3.2i 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  gcd  1 )  =  1  /\  0  =  ( 0  / 
1 ) )
18 1nn 10542 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
19 qnumdenbi 14361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  QQ  /\  0  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  (
( ( 0  gcd  1 )  =  1  /\  0  =  ( 0  /  1 ) )  <->  ( (numer ` 
0 )  =  0  /\  (denom `  0
)  =  1 ) ) )
203, 2, 18, 19mp3an 1322 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  gcd  1
)  =  1  /\  0  =  ( 0  /  1 ) )  <-> 
( (numer `  0
)  =  0  /\  (denom `  0 )  =  1 ) )
2117, 20mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( (numer `  0 )  =  0  /\  (denom ` 
0 )  =  1 )
2221simpli 456 . . . . . 6  |-  (numer ` 
0 )  =  0
2322fveq2i 5851 . . . . 5  |-  ( L `
 (numer `  0
) )  =  ( L `  0 )
2421simpri 460 . . . . . 6  |-  (denom ` 
0 )  =  1
2524fveq2i 5851 . . . . 5  |-  ( L `
 (denom `  0
) )  =  ( L `  1 )
2623, 25oveq12i 6282 . . . 4  |-  ( ( L `  (numer ` 
0 ) )  ./  ( L `  (denom ` 
0 ) ) )  =  ( ( L `
 0 )  ./  ( L `  1 ) )
27 drngring 17598 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
28 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
296, 28zrh0 18726 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( L `
 0 )  =  ( 0g `  R
) )
30 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
316, 30zrh1 18725 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  R
) )
3229, 31oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( L `  0 ) 
./  ( L ` 
1 ) )  =  ( ( 0g `  R )  ./  ( 1r `  R ) ) )
3327, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 0 )  ./  ( L `  1 ) )  =  ( ( 0g `  R ) 
./  ( 1r `  R ) ) )
34 drnggrp 17599 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Grp )
354, 28grpidcl 16277 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Grp  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( 0g `  R )  e.  B
)
374, 5, 30dvr1 17533 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  ./  ( 1r `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
3827, 36, 37syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( 0g
`  R )  ./  ( 1r `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
3933, 38eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 0 )  ./  ( L `  1 ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4026, 39syl5eq 2507 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 (numer `  0
) )  ./  ( L `  (denom `  0
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
4140adantr 463 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( ( L `  (numer `  0
) )  ./  ( L `  (denom `  0
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
428, 41eqtrd 2495 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  0
)  =  ( 0g
`  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482    / cdiv 10202   NNcn 10531   ZZcz 10860   QQcq 11183   abscabs 13149    gcd cgcd 14228  numercnumer 14350  denomcdenom 14351   Basecbs 14716   0gc0g 14929   Grpcgrp 16252   1rcur 17348   Ringcrg 17393  /rcdvr 17526   DivRingcdr 17591   ZRHomczrh 18712  chrcchr 18714  QQHomcqqh 28187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-dvds 14071  df-gcd 14229  df-numer 14352  df-denom 14353  df-gz 14532  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-od 16752  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-rnghom 17559  df-drng 17593  df-subrg 17622  df-cnfld 18616  df-zring 18684  df-zrh 18716  df-chr 18718  df-qqh 28188
This theorem is referenced by:  qqhcn  28206
  Copyright terms: Public domain W3C validator