Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnumdenbi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem qnumdenbi 14686
 Description: Two numbers are the canonical representation of a rational iff they are coprime and have the right quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qnumdenbi numer denom

Proof of Theorem qnumdenbi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qredeu 14657 . . . . . . 7
2 riotacl 6264 . . . . . . 7
3 1st2nd2 6827 . . . . . . 7
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6
5 qnumval 14679 . . . . . . 7 numer
6 qdenval 14680 . . . . . . 7 denom
75, 6opeq12d 4173 . . . . . 6 numer denom
84, 7eqtr4d 2487 . . . . 5 numer denom
98eqeq1d 2452 . . . 4 numer denom
1093ad2ant1 1028 . . 3 numer denom
11 fvex 5873 . . . 4 numer
12 fvex 5873 . . . 4 denom
1311, 12opth 4675 . . 3 numer denom numer denom
1410, 13syl6rbb 266 . 2 numer denom
15 opelxpi 4865 . . . 4
18 fveq2 5863 . . . . . . 7
19 fveq2 5863 . . . . . . 7
2018, 19oveq12d 6306 . . . . . 6
2120eqeq1d 2452 . . . . 5
2218, 19oveq12d 6306 . . . . . 6
2322eqeq2d 2460 . . . . 5
2421, 23anbi12d 716 . . . 4
2524riota2 6272 . . 3
2616, 17, 25syl2anc 666 . 2
27 op1stg 6802 . . . . . 6
28 op2ndg 6803 . . . . . 6
2927, 28oveq12d 6306 . . . . 5
30293adant1 1025 . . . 4
3130eqeq1d 2452 . . 3
32273adant1 1025 . . . . 5
33283adant1 1025 . . . . 5
3432, 33oveq12d 6306 . . . 4
3534eqeq2d 2460 . . 3
3631, 35anbi12d 716 . 2
3714, 26, 363bitr2rd 286 1 numer denom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886  wreu 2738  cop 3973   cxp 4831  cfv 5581  crio 6249  (class class class)co 6288  c1st 6788  c2nd 6789  c1 9537   cdiv 10266  cn 10606  cz 10934  cq 11261   cgcd 14461  numercnumer 14675  denomcdenom 14676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-numer 14677  df-denom 14678 This theorem is referenced by:  qnumdencoprm  14687  qeqnumdivden  14688  divnumden  14690  numdensq  14696  numdenneg  28373  qqh0  28781  qqh1  28782
 Copyright terms: Public domain W3C validator