MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnnen Structured version   Unicode version

Theorem qnnen 13797
Description: The rational numbers are countable. This proof does not use the Axiom of Choice, even though it uses an onto function, because the base set  ( ZZ  X.  NN ) is numerable. Exercise 2 of [Enderton] p. 133. For purposes of the Metamath 100 list, we are considering Mario Carneiro's revision as the date this proof was completed. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
qnnen  |-  QQ  ~~  NN

Proof of Theorem qnnen
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 8052 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
2 nnenom 12046 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
32ensymi 7555 . . . . . . 7  |-  om  ~~  NN
4 isnumi 8316 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
51, 3, 4mp2an 672 . . . . . 6  |-  NN  e.  dom  card
6 znnen 13796 . . . . . . 7  |-  ZZ  ~~  NN
7 ennum 8317 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
~~  NN  ->  ( ZZ  e.  dom  card  <->  NN  e.  dom  card ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  dom  card  <->  NN  e.  dom  card )
95, 8mpbir 209 . . . . 5  |-  ZZ  e.  dom  card
10 xpnum 8321 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  dom  card  /\  NN  e.  dom  card )  ->  ( ZZ  X.  NN )  e.  dom  card )
119, 5, 10mp2an 672 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  e. 
dom  card
12 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  / 
y ) )
13 ovex 6300 . . . . . 6  |-  ( x  /  y )  e. 
_V
1412, 13fnmpt2i 6843 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )
1512rnmpt2 6387 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) }
16 elq 11173 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) )
1716abbi2i 2593 . . . . . 6  |-  QQ  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) }
1815, 17eqtr4i 2492 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  QQ
19 df-fo 5585 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) ) : ( ZZ 
X.  NN ) -onto-> QQ  <->  ( ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )  /\  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) )  =  QQ ) )
2014, 18, 19mpbir2an 913 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) ) : ( ZZ  X.  NN ) -onto-> QQ
21 fodomnum 8427 . . . 4  |-  ( ( ZZ  X.  NN )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> QQ  ->  QQ  ~<_  ( ZZ 
X.  NN ) ) )
2211, 20, 21mp2 9 . . 3  |-  QQ  ~<_  ( ZZ 
X.  NN )
23 nnex 10531 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
2423enref 7538 . . . . 5  |-  NN  ~~  NN
25 xpen 7670 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  ~~  NN  /\  NN  ~~  NN )  -> 
( ZZ  X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
266, 24, 25mp2an 672 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN )
27 xpnnen 13792 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
2826, 27entri 7559 . . 3  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  NN
29 domentr 7564 . . 3  |-  ( ( QQ  ~<_  ( ZZ  X.  NN )  /\  ( ZZ  X.  NN )  ~~  NN )  ->  QQ  ~<_  NN )
3022, 28, 29mp2an 672 . 2  |-  QQ  ~<_  NN
31 qex 11183 . . 3  |-  QQ  e.  _V
32 nnssq 11180 . . 3  |-  NN  C_  QQ
33 ssdomg 7551 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  ( NN  C_  QQ  ->  NN  ~<_  QQ ) )
3431, 32, 33mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  QQ
35 sbth 7627 . 2  |-  ( ( QQ  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  QQ )  ->  QQ  ~~  NN )
3630, 34, 35mp2an 672 1  |-  QQ  ~~  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   Oncon0 4871    X. cxp 4990   dom cdm 4992   ran crn 4993    Fn wfn 5574   -onto->wfo 5577  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   omcom 6671    ~~ cen 7503    ~<_ cdom 7504   cardccrd 8305    / cdiv 10195   NNcn 10525   ZZcz 10853   QQcq 11171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172
This theorem is referenced by:  rpnnen  13810  resdomq  13827  re2ndc  21034  ovolq  21630  opnmblALT  21740  vitali  21750  mbfimaopnlem  21790  mbfaddlem  21795  mblfinlem1  29615  irrapx1  30355
  Copyright terms: Public domain W3C validator