MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnnen Structured version   Unicode version

Theorem qnnen 13929
Description: The rational numbers are countable. This proof does not use the Axiom of Choice, even though it uses an onto function, because the base set  ( ZZ  X.  NN ) is numerable. Exercise 2 of [Enderton] p. 133. For purposes of the Metamath 100 list, we are considering Mario Carneiro's revision as the date this proof was completed. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
qnnen  |-  QQ  ~~  NN

Proof of Theorem qnnen
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 8066 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
2 nnenom 12072 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
32ensymi 7567 . . . . . . 7  |-  om  ~~  NN
4 isnumi 8330 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
51, 3, 4mp2an 672 . . . . . 6  |-  NN  e.  dom  card
6 znnen 13928 . . . . . . 7  |-  ZZ  ~~  NN
7 ennum 8331 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
~~  NN  ->  ( ZZ  e.  dom  card  <->  NN  e.  dom  card ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  dom  card  <->  NN  e.  dom  card )
95, 8mpbir 209 . . . . 5  |-  ZZ  e.  dom  card
10 xpnum 8335 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  dom  card  /\  NN  e.  dom  card )  ->  ( ZZ  X.  NN )  e.  dom  card )
119, 5, 10mp2an 672 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  e. 
dom  card
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  / 
y ) )
13 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( x  /  y )  e. 
_V
1412, 13fnmpt2i 6854 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )
1512rnmpt2 6397 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) }
16 elq 11195 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) )
1716abbi2i 2576 . . . . . 6  |-  QQ  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) }
1815, 17eqtr4i 2475 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  QQ
19 df-fo 5584 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) ) : ( ZZ 
X.  NN ) -onto-> QQ  <->  ( ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )  /\  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) )  =  QQ ) )
2014, 18, 19mpbir2an 920 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) ) : ( ZZ  X.  NN ) -onto-> QQ
21 fodomnum 8441 . . . 4  |-  ( ( ZZ  X.  NN )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> QQ  ->  QQ  ~<_  ( ZZ 
X.  NN ) ) )
2211, 20, 21mp2 9 . . 3  |-  QQ  ~<_  ( ZZ 
X.  NN )
23 nnex 10549 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
2423enref 7550 . . . . 5  |-  NN  ~~  NN
25 xpen 7682 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  ~~  NN  /\  NN  ~~  NN )  -> 
( ZZ  X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
266, 24, 25mp2an 672 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN )
27 xpnnen 13924 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
2826, 27entri 7571 . . 3  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  NN
29 domentr 7576 . . 3  |-  ( ( QQ  ~<_  ( ZZ  X.  NN )  /\  ( ZZ  X.  NN )  ~~  NN )  ->  QQ  ~<_  NN )
3022, 28, 29mp2an 672 . 2  |-  QQ  ~<_  NN
31 qex 11205 . . 3  |-  QQ  e.  _V
32 nnssq 11202 . . 3  |-  NN  C_  QQ
33 ssdomg 7563 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  ( NN  C_  QQ  ->  NN  ~<_  QQ ) )
3431, 32, 33mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  QQ
35 sbth 7639 . 2  |-  ( ( QQ  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  QQ )  ->  QQ  ~~  NN )
3630, 34, 35mp2an 672 1  |-  QQ  ~~  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   Oncon0 4868    X. cxp 4987   dom cdm 4989   ran crn 4990    Fn wfn 5573   -onto->wfo 5576  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   omcom 6685    ~~ cen 7515    ~<_ cdom 7516   cardccrd 8319    / cdiv 10213   NNcn 10543   ZZcz 10871   QQcq 11193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-q 11194
This theorem is referenced by:  rpnnen  13942  resdomq  13959  re2ndc  21284  ovolq  21880  opnmblALT  21990  vitali  22000  mbfimaopnlem  22040  mbfaddlem  22045  mblfinlem1  30027  irrapx1  30740
  Copyright terms: Public domain W3C validator