MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnegcl Structured version   Unicode version

Theorem qnegcl 11200
Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qnegcl  |-  ( A  e.  QQ  ->  -u A  e.  QQ )

Proof of Theorem qnegcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 11185 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 zcn 10865 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
32adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
4 nncn 10539 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
54adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
6 nnne0 10564 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
76adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  =/=  0 )
83, 5, 7divnegd 10329 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  -> 
-u ( x  / 
y )  =  (
-u x  /  y
) )
9 znegcl 10895 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
10 znq 11187 . . . . . 6  |-  ( (
-u x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u x  /  y )  e.  QQ )
119, 10sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u x  / 
y )  e.  QQ )
128, 11eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  -> 
-u ( x  / 
y )  e.  QQ )
13 negeq 9803 . . . . 5  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  -u A  =  -u ( x  / 
y ) )
1413eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( -u A  e.  QQ  <->  -u ( x  /  y )  e.  QQ ) )
1512, 14syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  -u A  e.  QQ ) )
1615rexlimivv 2951 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  -u A  e.  QQ )
171, 16sylbi 195 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  -u A  e.  QQ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   ZZcz 10860   QQcq 11183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-z 10861  df-q 11184
This theorem is referenced by:  qsubcl  11202  pcadd2  14493  qsubdrg  18665  vitalilem1  22183  qaa  22885  numdenneg  27842  rmxyneg  31095  mpaaeu  31340
  Copyright terms: Public domain W3C validator