Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnbl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem qndenserrnbl 38265
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnbl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
qndenserrnbl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( RR 
^m  I ) )
qndenserrnbl.d  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
qndenserrnbl.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
qndenserrnbl  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( QQ  ^m  I ) y  e.  ( X ( ball `  D
) E ) )
Distinct variable groups:    y, D    y, E    y, I    y, X    ph, y

Proof of Theorem qndenserrnbl
StepHypRef Expression
1 0ex 4551 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
21snid 4008 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
}
32a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  (/)  e.  { (/)
} )
4 oveq2 6328 . . . . . 6  |-  ( I  =  (/)  ->  ( QQ 
^m  I )  =  ( QQ  ^m  (/) ) )
5 qex 11310 . . . . . . . 8  |-  QQ  e.  _V
6 mapdm0 37525 . . . . . . . 8  |-  ( QQ  e.  _V  ->  ( QQ  ^m  (/) )  =  { (/)
} )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( QQ 
^m  (/) )  =  { (/)
}
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( I  =  (/)  ->  ( QQ 
^m  (/) )  =  { (/)
} )
94, 8eqtr2d 2497 . . . . 5  |-  ( I  =  (/)  ->  { (/) }  =  ( QQ  ^m  I ) )
109adantl 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  { (/) }  =  ( QQ  ^m  I ) )
113, 10eleqtrd 2542 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  (/)  e.  ( QQ  ^m  I ) )
12 qndenserrnbl.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
13 qndenserrnbl.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( dist `  (ℝ^ `  I ) )
1413rrxmetfi 38257 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  Fin  ->  D  e.  ( Met `  ( RR  ^m  I ) ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  ( RR  ^m  I
) ) )
16 metxmet 21404 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  ( RR  ^m  I ) )  ->  D  e.  ( *Met `  ( RR  ^m  I ) ) )
1715, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  ( RR 
^m  I ) ) )
1817adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  D  e.  ( *Met `  ( RR  ^m  I ) ) )
19 qndenserrnbl.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( RR 
^m  I ) )
2019adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  X  e.  ( RR  ^m  I ) )
21 oveq2 6328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  (/)  ->  ( RR 
^m  I )  =  ( RR  ^m  (/) ) )
22 reex 9661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  _V
23 mapdm0 37525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( RR  ^m  (/) )  =  { (/)
} )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
^m  (/) )  =  { (/)
}
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  (/)  ->  ( RR 
^m  (/) )  =  { (/)
} )
2621, 25eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  (/)  ->  ( RR 
^m  I )  =  { (/) } )
2726adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  ( RR  ^m  I )  =  { (/)
} )
2820, 27eleqtrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  X  e.  {
(/) } )
29 elsncg 4003 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( RR  ^m  I )  ->  ( X  e.  { (/) }  <->  X  =  (/) ) )
3019, 29syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  { (/)
}  <->  X  =  (/) ) )
3130adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  ( X  e.  { (/) }  <->  X  =  (/) ) )
3228, 31mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  X  =  (/) )
3332eqcomd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  (/)  =  X )
3433, 20eqeltrd 2540 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  (/)  e.  ( RR  ^m  I ) )
35 qndenserrnbl.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
3635rpxrd 11376 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR* )
3735rpgt0d 11378 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  E )
3836, 37jca 539 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR*  /\  0  <  E ) )
3938adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  ( E  e.  RR*  /\  0  < 
E ) )
40 xblcntr 21481 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  ( RR 
^m  I ) )  /\  (/)  e.  ( RR 
^m  I )  /\  ( E  e.  RR*  /\  0  <  E ) )  ->  (/) 
e.  ( (/) ( ball `  D ) E ) )
4118, 34, 39, 40syl3anc 1276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  (/)  e.  (
(/) ( ball `  D
) E ) )
4233oveq1d 6335 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  ( (/) ( ball `  D ) E )  =  ( X (
ball `  D ) E ) )
4341, 42eleqtrd 2542 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  (/)  e.  ( X ( ball `  D
) E ) )
44 eleq1 2528 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  ( X (
ball `  D ) E )  <->  (/)  e.  ( X ( ball `  D
) E ) ) )
4544rspcev 3162 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  ( QQ  ^m  I )  /\  (/)  e.  ( X ( ball `  D
) E ) )  ->  E. y  e.  ( QQ  ^m  I ) y  e.  ( X ( ball `  D
) E ) )
4611, 43, 45syl2anc 671 . 2  |-  ( (
ph  /\  I  =  (/) )  ->  E. y  e.  ( QQ  ^m  I
) y  e.  ( X ( ball `  D
) E ) )
4712adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  I  =  (/) )  ->  I  e.  Fin )
48 neqne 2643 . . . 4  |-  ( -.  I  =  (/)  ->  I  =/=  (/) )
4948adantl 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  I  =  (/) )  ->  I  =/=  (/) )
5019adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  I  =  (/) )  ->  X  e.  ( RR  ^m  I
) )
5135adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  I  =  (/) )  ->  E  e.  RR+ )
5247, 49, 50, 13, 51qndenserrnbllem 38264 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  I  =  (/) )  ->  E. y  e.  ( QQ  ^m  I
) y  e.  ( X ( ball `  D
) E ) )
5346, 52pm2.61dan 805 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( QQ  ^m  I ) y  e.  ( X ( ball `  D
) E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   (/)c0 3743   {csn 3980   class class class wbr 4418   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    ^m cmap 7503   Fincfn 7600   RRcr 9569   0cc0 9570   RR*cxr 9705    < clt 9706   QQcq 11298   RR+crp 11336   distcds 15254   *Metcxmt 19010   Metcme 19011   ballcbl 19012  ℝ^crrx 22397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-tpos 7004  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xadd 11444  df-ioo 11673  df-ico 11675  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-clim 13607  df-sum 13808  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-hom 15269  df-cco 15270  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-prds 15401  df-pws 15403  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-mhm 16637  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-subg 16869  df-ghm 16936  df-cntz 17026  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-oppr 17906  df-dvdsr 17924  df-unit 17925  df-invr 17955  df-dvr 17966  df-rnghom 17998  df-drng 18032  df-field 18033  df-subrg 18061  df-staf 18128  df-srng 18129  df-lmod 18148  df-lss 18211  df-sra 18450  df-rgmod 18451  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-cnfld 19026  df-refld 19228  df-dsmm 19350  df-frlm 19365  df-nm 21652  df-tng 21654  df-tch 22202  df-rrx 22399
This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  38267
  Copyright terms: Public domain W3C validator