MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qmulz Unicode version

Theorem qmulz 10533
Description: If  A is rational, then some integer multiple of it is an integer. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
qmulz  |-  ( A  e.  QQ  ->  E. x  e.  NN  ( A  x.  x )  e.  ZZ )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem qmulz
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 10532 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  NN  A  =  ( y  /  x ) )
2 rexcom 2829 . . 3  |-  ( E. y  e.  ZZ  E. x  e.  NN  A  =  ( y  /  x )  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  ZZ  A  =  ( y  /  x ) )
3 zcn 10243 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
43adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
5 nncn 9964 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
65adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
7 nnne0 9988 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
87adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  =/=  0 )
94, 6, 8divcan1d 9747 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  /  x )  x.  x
)  =  y )
10 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ZZ )
119, 10eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  /  x )  x.  x
)  e.  ZZ )
12 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( y  /  x )  ->  ( A  x.  x )  =  ( ( y  /  x )  x.  x ) )
1312eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( y  /  x )  ->  (
( A  x.  x
)  e.  ZZ  <->  ( (
y  /  x )  x.  x )  e.  ZZ ) )
1411, 13syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( A  =  ( y  /  x )  ->  ( A  x.  x )  e.  ZZ ) )
1514rexlimdva 2790 . . . 4  |-  ( x  e.  NN  ->  ( E. y  e.  ZZ  A  =  ( y  /  x )  ->  ( A  x.  x )  e.  ZZ ) )
1615reximia 2771 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  ZZ  A  =  ( y  /  x )  ->  E. x  e.  NN  ( A  x.  x )  e.  ZZ )
172, 16sylbi 188 . 2  |-  ( E. y  e.  ZZ  E. x  e.  NN  A  =  ( y  /  x )  ->  E. x  e.  NN  ( A  x.  x )  e.  ZZ )
181, 17sylbi 188 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  E. x  e.  NN  ( A  x.  x )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951    / cdiv 9633   NNcn 9956   ZZcz 10238   QQcq 10530
This theorem is referenced by:  elqaalem1  20189  elqaalem3  20191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-z 10239  df-q 10531
  Copyright terms: Public domain W3C validator