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Theorem qmulcl 11201
Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 11185 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 elq 11185 . 2  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
3 zmulcl 10912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  z
)  e.  ZZ )
4 nnmulcl 10560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  x.  w
)  e.  NN )
53, 4anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN ) )
65an4s 824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN ) )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w )  e.  NN ) )
8 oveq12 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( A  x.  B
)  =  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w ) ) )
9 zcn 10870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
10 zcn 10870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
119, 10anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
1211ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
13 nncn 10545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
14 nnne0 10569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
1513, 14jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
16 nncn 10545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
17 nnne0 10569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w  =/=  0 )
1816, 17jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
1915, 18anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) ) )
2019ad2ant2l 745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) ) )
21 divmuldiv 10245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
x  /  y )  x.  ( z  /  w ) )  =  ( ( x  x.  z )  /  (
y  x.  w ) ) )
2212, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  x.  (
z  /  w ) )  =  ( ( x  x.  z )  /  ( y  x.  w ) ) )
238, 22sylan9eqr 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  =  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )
24 rspceov 6322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  x.  z
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN  /\  ( A  x.  B
)  =  ( ( x  x.  z )  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  x.  B )  =  ( v  /  u ) )
25243expa 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN )  /\  ( A  x.  B )  =  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  x.  B )  =  ( v  /  u ) )
26 elq 11185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  x.  B )  e.  QQ  <->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  x.  B )  =  ( v  /  u ) )
2725, 26sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN )  /\  ( A  x.  B )  =  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
287, 23, 27syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
2928an4s 824 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
3029exp43 612 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ ) ) ) )
3130rexlimivv 2960 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w
)  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ ) ) )
3231rexlimdvv 2961 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ ) )
3332imp 429 . 2  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
341, 2, 33syl2anb 479 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493    x. cmul 9498    / cdiv 10207   NNcn 10537   ZZcz 10865   QQcq 11183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-q 11184
This theorem is referenced by:  qdivcl  11204  qexpcl  12151  qexpclz  12156  qsqcl  12208  pcaddlem  14269  qsubdrg  18278  qaa  22545  padicabv  23640  ostth2lem2  23644  ostth3  23648  rmxyadd  30688  mpaaeu  30931
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