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Theorem qirropth 35185
Description: This lemma implements the concept of "equate rational and irrational parts", used to prove many arithmetical properties of the X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qirropth  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <-> 
( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )

Proof of Theorem qirropth
StepHypRef Expression
1 eldifn 3565 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  \  QQ )  ->  -.  A  e.  QQ )
213ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  -.  A  e.  QQ )
32adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  -.  A  e.  QQ )
4 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  ( CC  \  QQ ) )
54eldifad 3425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  CC )
6 simp2r 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  C  e.  QQ )
76ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  C  e.  QQ )
8 qcn 11240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  CC )
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  C  e.  CC )
10 simp3r 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  E  e.  QQ )
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  E  e.  QQ )
12 qcn 11240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  QQ  ->  E  e.  CC )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  E  e.  CC )
145, 9, 13subdid 10052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  ( C  -  E ) )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( A  x.  E )
) )
15 qsubcl 11245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  E  e.  QQ )  ->  ( C  -  E
)  e.  QQ )
167, 11, 15syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  e.  QQ )
17 qcn 11240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  -  E )  e.  QQ  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
1918, 5mulcomd 9646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  x.  A )  =  ( A  x.  ( C  -  E
) ) )
20 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
21 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  B  e.  QQ )
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  B  e.  QQ )
23 qcn 11240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  B  e.  CC )
255, 9mulcld 9645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  C )  e.  CC )
26 simp3l 1025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  D  e.  QQ )
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  D  e.  QQ )
28 qcn 11240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  QQ  ->  D  e.  CC )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  D  e.  CC )
305, 13mulcld 9645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
3124, 25, 29, 30addsubeq4d 10017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <->  ( D  -  B )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( A  x.  E ) ) ) )
3220, 31mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( A  x.  E
) ) )
3314, 19, 323eqtr4d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  x.  A )  =  ( D  -  B ) )
34 qsubcl 11245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( D  -  B
)  e.  QQ )
3527, 22, 34syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  e.  QQ )
36 qcn 11240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  -  B )  e.  QQ  ->  ( D  -  B )  e.  CC )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  e.  CC )
38 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  -.  C  =  E )
39 subeq0 9880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( C  -  E )  =  0  <-> 
C  =  E ) )
4039necon3abid 2649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( C  -  E )  =/=  0  <->  -.  C  =  E ) )
419, 13, 40syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  =/=  0  <->  -.  C  =  E )
)
4238, 41mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  =/=  0 )
4337, 18, 5, 42divmuld 10382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( ( D  -  B )  /  ( C  -  E )
)  =  A  <->  ( ( C  -  E )  x.  A )  =  ( D  -  B ) ) )
4433, 43mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( D  -  B
)  /  ( C  -  E ) )  =  A )
45 qdivcl 11247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  -  B
)  e.  QQ  /\  ( C  -  E
)  e.  QQ  /\  ( C  -  E
)  =/=  0 )  ->  ( ( D  -  B )  / 
( C  -  E
) )  e.  QQ )
4635, 16, 42, 45syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( D  -  B
)  /  ( C  -  E ) )  e.  QQ )
4744, 46eqeltrrd 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  QQ )
4847ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( -.  C  =  E  ->  A  e.  QQ ) )
493, 48mt3d 125 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  C  =  E )
50 simpl2l 1050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  B  e.  QQ )
5150, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  B  e.  CC )
5251adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  B  e.  CC )
53 simpl3l 1052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  D  e.  QQ )
5453, 28syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  D  e.  CC )
5554adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  D  e.  CC )
56 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  A  e.  ( CC  \  QQ ) )
5756eldifad 3425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  A  e.  CC )
58 simpl3r 1053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  E  e.  QQ )
5958, 12syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  E  e.  CC )
6057, 59mulcld 9645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
6160adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
62 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  C  =  E )
6362eqcomd 2410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  E  =  C )
6463oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  =  ( A  x.  C ) )
6564oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  E ) )  =  ( B  +  ( A  x.  C ) ) )
66 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
6765, 66eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  E ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
6852, 55, 61, 67addcan2ad 9819 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  B  =  D )
6968ex 432 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( C  =  E  ->  B  =  D ) )
7049, 69jcai 534 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( C  =  E  /\  B  =  D ) )
7170ancomd 449 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( B  =  D  /\  C  =  E ) )
7271ex 432 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  ->  ( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )
73 id 22 . . 3  |-  ( B  =  D  ->  B  =  D )
74 oveq2 6285 . . 3  |-  ( C  =  E  ->  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  E ) )
7573, 74oveqan12d 6296 . 2  |-  ( ( B  =  D  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
7672, 75impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <-> 
( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    \ cdif 3410  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521    + caddc 9524    x. cmul 9526    - cmin 9840    / cdiv 10246   QQcq 11226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-q 11227
This theorem is referenced by:  rmxypairf1o  35188  rmxycomplete  35194  rmxyneg  35197  rmxyadd  35198  rmxy1  35199  rmxy0  35200  jm2.22  35279
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