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Theorem qirropth 29094
Description: This lemma implements the concept of "equate rational and irrational parts", used to prove many arithmetical properties of the X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qirropth  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <-> 
( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )

Proof of Theorem qirropth
StepHypRef Expression
1 eldifn 3467 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  \  QQ )  ->  -.  A  e.  QQ )
213ad2ant1 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  -.  A  e.  QQ )
32adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  -.  A  e.  QQ )
4 simpll1 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  ( CC  \  QQ ) )
54eldifad 3328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  CC )
6 simp2r 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  C  e.  QQ )
76ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  C  e.  QQ )
8 qcn 10955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  CC )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  C  e.  CC )
10 simp3r 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  E  e.  QQ )
1110ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  E  e.  QQ )
12 qcn 10955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  QQ  ->  E  e.  CC )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  E  e.  CC )
145, 9, 13subdid 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  ( C  -  E ) )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( A  x.  E )
) )
15 qsubcl 10960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  E  e.  QQ )  ->  ( C  -  E
)  e.  QQ )
167, 11, 15syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  e.  QQ )
17 qcn 10955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  -  E )  e.  QQ  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
1918, 5mulcomd 9395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  x.  A )  =  ( A  x.  ( C  -  E
) ) )
20 simplr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
21 simp2l 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  B  e.  QQ )
2221ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  B  e.  QQ )
23 qcn 10955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  B  e.  CC )
255, 9mulcld 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  C )  e.  CC )
26 simp3l 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  D  e.  QQ )
2726ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  D  e.  QQ )
28 qcn 10955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  QQ  ->  D  e.  CC )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  D  e.  CC )
305, 13mulcld 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
3124, 25, 29, 30addsubeq4d 9758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <->  ( D  -  B )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( A  x.  E ) ) ) )
3220, 31mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( A  x.  E
) ) )
3314, 19, 323eqtr4d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  x.  A )  =  ( D  -  B ) )
34 qsubcl 10960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( D  -  B
)  e.  QQ )
3527, 22, 34syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  e.  QQ )
36 qcn 10955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  -  B )  e.  QQ  ->  ( D  -  B )  e.  CC )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  e.  CC )
38 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  -.  C  =  E )
39 subeq0 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( C  -  E )  =  0  <-> 
C  =  E ) )
4039necon3abid 2631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( C  -  E )  =/=  0  <->  -.  C  =  E ) )
419, 13, 40syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  =/=  0  <->  -.  C  =  E )
)
4238, 41mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  =/=  0 )
4337, 18, 5, 42divmuld 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( ( D  -  B )  /  ( C  -  E )
)  =  A  <->  ( ( C  -  E )  x.  A )  =  ( D  -  B ) ) )
4433, 43mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( D  -  B
)  /  ( C  -  E ) )  =  A )
45 qdivcl 10962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  -  B
)  e.  QQ  /\  ( C  -  E
)  e.  QQ  /\  ( C  -  E
)  =/=  0 )  ->  ( ( D  -  B )  / 
( C  -  E
) )  e.  QQ )
4635, 16, 42, 45syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( D  -  B
)  /  ( C  -  E ) )  e.  QQ )
4744, 46eqeltrrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  QQ )
4847ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( -.  C  =  E  ->  A  e.  QQ ) )
493, 48mt3d 125 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  C  =  E )
50 simpl2l 1034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  B  e.  QQ )
5150, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  B  e.  CC )
5251adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  B  e.  CC )
53 simpl3l 1036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  D  e.  QQ )
5453, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  D  e.  CC )
5554adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  D  e.  CC )
56 simpl1 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  A  e.  ( CC  \  QQ ) )
5756eldifad 3328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  A  e.  CC )
58 simpl3r 1037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  E  e.  QQ )
5958, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  E  e.  CC )
6057, 59mulcld 9394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
6160adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
62 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  C  =  E )
6362eqcomd 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  E  =  C )
6463oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  =  ( A  x.  C ) )
6564oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  E ) )  =  ( B  +  ( A  x.  C ) ) )
66 simplr 747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
6765, 66eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  E ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
6852, 55, 61, 67addcan2ad 9563 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  B  =  D )
6968ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( C  =  E  ->  B  =  D ) )
7049, 69jcai 533 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( C  =  E  /\  B  =  D ) )
7170ancomd 449 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( B  =  D  /\  C  =  E ) )
7271ex 434 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  ->  ( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )
73 id 22 . . 3  |-  ( B  =  D  ->  B  =  D )
74 oveq2 6088 . . 3  |-  ( C  =  E  ->  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  E ) )
7573, 74oveqan12d 6099 . 2  |-  ( ( B  =  D  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
7672, 75impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <-> 
( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596    \ cdif 3313  (class class class)co 6080   CCcc 9268   0cc0 9270    + caddc 9273    x. cmul 9275    - cmin 9583    / cdiv 9981   QQcq 10941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-q 10942
This theorem is referenced by:  rmxypairf1o  29097  rmxycomplete  29103  rmxyneg  29106  rmxyadd  29107  rmxy1  29108  rmxy0  29109  jm2.22  29189
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