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Theorem qirropth 30448
Description: This lemma implements the concept of "equate rational and irrational parts", used to prove many arithmetical properties of the X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qirropth  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <-> 
( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )

Proof of Theorem qirropth
StepHypRef Expression
1 eldifn 3627 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  \  QQ )  ->  -.  A  e.  QQ )
213ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  -.  A  e.  QQ )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  -.  A  e.  QQ )
4 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  ( CC  \  QQ ) )
54eldifad 3488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  CC )
6 simp2r 1023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  C  e.  QQ )
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  C  e.  QQ )
8 qcn 11192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  CC )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  C  e.  CC )
10 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  E  e.  QQ )
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  E  e.  QQ )
12 qcn 11192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  QQ  ->  E  e.  CC )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  E  e.  CC )
145, 9, 13subdid 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  ( C  -  E ) )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( A  x.  E )
) )
15 qsubcl 11197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  E  e.  QQ )  ->  ( C  -  E
)  e.  QQ )
167, 11, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  e.  QQ )
17 qcn 11192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  -  E )  e.  QQ  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
1918, 5mulcomd 9613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  x.  A )  =  ( A  x.  ( C  -  E
) ) )
20 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
21 simp2l 1022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  B  e.  QQ )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  B  e.  QQ )
23 qcn 11192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  B  e.  CC )
255, 9mulcld 9612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  C )  e.  CC )
26 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  D  e.  QQ )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  D  e.  QQ )
28 qcn 11192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  QQ  ->  D  e.  CC )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  D  e.  CC )
305, 13mulcld 9612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
3124, 25, 29, 30addsubeq4d 9977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <->  ( D  -  B )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( A  x.  E ) ) ) )
3220, 31mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( A  x.  E
) ) )
3314, 19, 323eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  x.  A )  =  ( D  -  B ) )
34 qsubcl 11197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( D  -  B
)  e.  QQ )
3527, 22, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  e.  QQ )
36 qcn 11192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  -  B )  e.  QQ  ->  ( D  -  B )  e.  CC )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  e.  CC )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  -.  C  =  E )
39 subeq0 9841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( C  -  E )  =  0  <-> 
C  =  E ) )
4039necon3abid 2713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( C  -  E )  =/=  0  <->  -.  C  =  E ) )
419, 13, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  =/=  0  <->  -.  C  =  E )
)
4238, 41mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  =/=  0 )
4337, 18, 5, 42divmuld 10338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( ( D  -  B )  /  ( C  -  E )
)  =  A  <->  ( ( C  -  E )  x.  A )  =  ( D  -  B ) ) )
4433, 43mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( D  -  B
)  /  ( C  -  E ) )  =  A )
45 qdivcl 11199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  -  B
)  e.  QQ  /\  ( C  -  E
)  e.  QQ  /\  ( C  -  E
)  =/=  0 )  ->  ( ( D  -  B )  / 
( C  -  E
) )  e.  QQ )
4635, 16, 42, 45syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( D  -  B
)  /  ( C  -  E ) )  e.  QQ )
4744, 46eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  QQ )
4847ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( -.  C  =  E  ->  A  e.  QQ ) )
493, 48mt3d 125 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  C  =  E )
50 simpl2l 1049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  B  e.  QQ )
5150, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  B  e.  CC )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  B  e.  CC )
53 simpl3l 1051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  D  e.  QQ )
5453, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  D  e.  CC )
5554adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  D  e.  CC )
56 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  A  e.  ( CC  \  QQ ) )
5756eldifad 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  A  e.  CC )
58 simpl3r 1052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  E  e.  QQ )
5958, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  E  e.  CC )
6057, 59mulcld 9612 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
6160adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
62 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  C  =  E )
6362eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  E  =  C )
6463oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  =  ( A  x.  C ) )
6564oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  E ) )  =  ( B  +  ( A  x.  C ) ) )
66 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
6765, 66eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  E ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
6852, 55, 61, 67addcan2ad 9781 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  B  =  D )
6968ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( C  =  E  ->  B  =  D ) )
7049, 69jcai 536 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( C  =  E  /\  B  =  D ) )
7170ancomd 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( B  =  D  /\  C  =  E ) )
7271ex 434 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  ->  ( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )
73 id 22 . . 3  |-  ( B  =  D  ->  B  =  D )
74 oveq2 6290 . . 3  |-  ( C  =  E  ->  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  E ) )
7573, 74oveqan12d 6301 . 2  |-  ( ( B  =  D  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
7672, 75impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <-> 
( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3473  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488    + caddc 9491    x. cmul 9493    - cmin 9801    / cdiv 10202   QQcq 11178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-q 11179
This theorem is referenced by:  rmxypairf1o  30451  rmxycomplete  30457  rmxyneg  30460  rmxyadd  30461  rmxy1  30462  rmxy0  30463  jm2.22  30541
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