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Theorem qirropth 29396
Description: This lemma implements the concept of "equate rational and irrational parts", used to prove many arithmetical properties of the X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qirropth  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <-> 
( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )

Proof of Theorem qirropth
StepHypRef Expression
1 eldifn 3586 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  \  QQ )  ->  -.  A  e.  QQ )
213ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  -.  A  e.  QQ )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  -.  A  e.  QQ )
4 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  ( CC  \  QQ ) )
54eldifad 3447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  CC )
6 simp2r 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  C  e.  QQ )
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  C  e.  QQ )
8 qcn 11077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  CC )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  C  e.  CC )
10 simp3r 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  E  e.  QQ )
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  E  e.  QQ )
12 qcn 11077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  QQ  ->  E  e.  CC )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  E  e.  CC )
145, 9, 13subdid 9910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  ( C  -  E ) )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( A  x.  E )
) )
15 qsubcl 11082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  E  e.  QQ )  ->  ( C  -  E
)  e.  QQ )
167, 11, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  e.  QQ )
17 qcn 11077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  -  E )  e.  QQ  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
1918, 5mulcomd 9517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  x.  A )  =  ( A  x.  ( C  -  E
) ) )
20 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
21 simp2l 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  B  e.  QQ )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  B  e.  QQ )
23 qcn 11077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  B  e.  CC )
255, 9mulcld 9516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  C )  e.  CC )
26 simp3l 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  ->  D  e.  QQ )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  D  e.  QQ )
28 qcn 11077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  QQ  ->  D  e.  CC )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  D  e.  CC )
305, 13mulcld 9516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
3124, 25, 29, 30addsubeq4d 9880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <->  ( D  -  B )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( A  x.  E ) ) ) )
3220, 31mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( A  x.  E
) ) )
3314, 19, 323eqtr4d 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  x.  A )  =  ( D  -  B ) )
34 qsubcl 11082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( D  -  B
)  e.  QQ )
3527, 22, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  e.  QQ )
36 qcn 11077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  -  B )  e.  QQ  ->  ( D  -  B )  e.  CC )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( D  -  B )  e.  CC )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  -.  C  =  E )
39 subeq0 9745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( C  -  E )  =  0  <-> 
C  =  E ) )
4039necon3abid 2697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( C  -  E )  =/=  0  <->  -.  C  =  E ) )
419, 13, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( C  -  E
)  =/=  0  <->  -.  C  =  E )
)
4238, 41mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  ( C  -  E )  =/=  0 )
4337, 18, 5, 42divmuld 10239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( ( D  -  B )  /  ( C  -  E )
)  =  A  <->  ( ( C  -  E )  x.  A )  =  ( D  -  B ) ) )
4433, 43mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( D  -  B
)  /  ( C  -  E ) )  =  A )
45 qdivcl 11084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  -  B
)  e.  QQ  /\  ( C  -  E
)  e.  QQ  /\  ( C  -  E
)  =/=  0 )  ->  ( ( D  -  B )  / 
( C  -  E
) )  e.  QQ )
4635, 16, 42, 45syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  (
( D  -  B
)  /  ( C  -  E ) )  e.  QQ )
4744, 46eqeltrrd 2543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  -.  C  =  E )  ->  A  e.  QQ )
4847ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( -.  C  =  E  ->  A  e.  QQ ) )
493, 48mt3d 125 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  C  =  E )
50 simpl2l 1041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  B  e.  QQ )
5150, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  B  e.  CC )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  B  e.  CC )
53 simpl3l 1043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  D  e.  QQ )
5453, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  D  e.  CC )
5554adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  D  e.  CC )
56 simpl1 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  A  e.  ( CC  \  QQ ) )
5756eldifad 3447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  A  e.  CC )
58 simpl3r 1044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  E  e.  QQ )
5958, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  E  e.  CC )
6057, 59mulcld 9516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
6160adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
62 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  C  =  E )
6362eqcomd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  E  =  C )
6463oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( A  x.  E )  =  ( A  x.  C ) )
6564oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  E ) )  =  ( B  +  ( A  x.  C ) ) )
66 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
6765, 66eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  E ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
6852, 55, 61, 67addcan2ad 9685 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  /\  C  =  E )  ->  B  =  D )
6968ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( C  =  E  ->  B  =  D ) )
7049, 69jcai 536 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( C  =  E  /\  B  =  D ) )
7170ancomd 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  /\  ( B  +  ( A  x.  C )
)  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )  ->  ( B  =  D  /\  C  =  E ) )
7271ex 434 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  ->  ( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )
73 id 22 . . 3  |-  ( B  =  D  ->  B  =  D )
74 oveq2 6207 . . 3  |-  ( C  =  E  ->  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  E ) )
7573, 74oveqan12d 6218 . 2  |-  ( ( B  =  D  /\  C  =  E )  ->  ( B  +  ( A  x.  C ) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) ) )
7672, 75impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( D  e.  QQ  /\  E  e.  QQ ) )  -> 
( ( B  +  ( A  x.  C
) )  =  ( D  +  ( A  x.  E ) )  <-> 
( B  =  D  /\  C  =  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647    \ cdif 3432  (class class class)co 6199   CCcc 9390   0cc0 9392    + caddc 9395    x. cmul 9397    - cmin 9705    / cdiv 10103   QQcq 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-q 11064
This theorem is referenced by:  rmxypairf1o  29399  rmxycomplete  29405  rmxyneg  29408  rmxyadd  29409  rmxy1  29410  rmxy0  29411  jm2.22  29491
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