MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qfto Structured version   Unicode version

Theorem qfto 5330
Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
qfto  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x R y  \/  y R x ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, R, y

Proof of Theorem qfto
StepHypRef Expression
1 opelxp 4980 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
2 brun 4451 . . . . 5  |-  ( x ( R  u.  `' R ) y  <->  ( x R y  \/  x `' R y ) )
3 df-br 4404 . . . . 5  |-  ( x ( R  u.  `' R ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )
4 vex 3081 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
5 vex 3081 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 5133 . . . . . 6  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
76orbi2i 519 . . . . 5  |-  ( ( x R y  \/  x `' R y )  <->  ( x R y  \/  y R x ) )
82, 3, 73bitr3i 275 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R )  <->  ( x R y  \/  y R x ) )
91, 8imbi12i 326 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x R y  \/  y R x ) ) )
1092albii 1612 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
x R y  \/  y R x ) ) )
11 relxp 5058 . . 3  |-  Rel  ( A  X.  B )
12 ssrel 5039 . . 3  |-  ( Rel  ( A  X.  B
)  ->  ( ( A  X.  B )  C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  `' R ) ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  `' R ) ) )
14 r2al 2877 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x R y  \/  y R x )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) ) )
1510, 13, 143bitr4i 277 1  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x R y  \/  y R x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1368    e. wcel 1758   A.wral 2799    u. cun 3437    C_ wss 3439   <.cop 3994   class class class wbr 4403    X. cxp 4949   `'ccnv 4950   Rel wrel 4956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-br 4404  df-opab 4462  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959
This theorem is referenced by:  istsr2  15511  letsr  15520
  Copyright terms: Public domain W3C validator